定积分计算中的若干技巧

在微积分基本定理——计算定积分的基本公式——牛顿-莱布尼兹公式和计算定积分的2个常用积分公式:分部积分公式、换元积分公式基础之上,总结归纳了对具有某种性质的被积函数在某些特殊区间上的定积分的计算方法,以及在定积分的计算中常常被忽略的技巧。提出了在定积分计算中可以充分地利用被积函数的奇偶性、周期性、积分区间的对称性,以及定积分的几何意义(平面图形所围区域的面积)。也可以利用一些已经被证明的相关结论来计算定积分。这些方法的使用可以使定积分的计算量大大减少,从而提高运算效率,减少计算时间。     

区域对称性和函数奇偶性在积分计算中的应用

积分区域的对称性和被积函数的奇偶性不仅体现了数学美,而且可以使积分的计算变得简单又方便.通过对积分区域的对称性和被积函数的奇偶性的讨论,从积分区域关于坐标平面、坐标轴和坐标原点对称出发,建立了简化各类积分计算的常见公式,并用例子展示了公式的有效性.     

计算瑕积分的几个近似方法(Ⅰ)

引言我们知道,在许多情况下,可以借助于分部积分法或在积分中进行变量替换将瑕积分变成正常积分。这样便可以借助于通常的机械求积公式近似地计算瑕积分了。在被积函数含有一足够光滑因子的情况下,为了以求积和代替定积分在精确度上达到要求,最方便能行的还是Л.В.Канторович的奇点分离法。一言以蔽之,这些方法的实质在于改造被积函数,以便充分地,有效地利用通常的求积公式。人们自然会想到,是否     

基于留数定理的固定收益期权定价公式的简化

在期权定价公式的傅立叶变换积分公式中,运用留数定理将公式中的两个积分式子化简成一个被积函数衰减较快的积分函数式,从理论上提高了计算效率,缩短了计算时间,为投资者快速计算期权价值节约了时间．     

定积分的计算方法

定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常丰富.本文主要介绍了Newton-Leibniz公式法、换元积分法和分部积分法,总结归纳了一些具有特殊性质的被积函数的定积分的计算方法,提出了可以充分利用被积函数的奇偶性、周期性、积分区间的对称性和一些已经被证明的相关结论来计算定积分,并通过一些很有代表性的例题说明了上述计算方法在简化定积分计算中的强大功能.     

格林公式及其在微分方程中的应用

格林公式沟通了被积函数在积分区域上的积分和边界积分的关系。在一维函数中,格林公式即为定积分的分部积分法,在高维函数中,分部积分法与格林公式不再相同。首先给出一维分部积分法并加以证明,其次给出二维格林公式及其证明并利用高维函数分部积分法证明一般形式的格林公式,最后给出格林公式在微分方程变分问题中的一些应用。     

基于留数定理的固定收益期权定价公式的简化

在期权定价公式的傅立叶变换积分公式中，运用留数定理将公式中的两个积分式子化简成一个被积函数衰减较快的积分函数式，从理论上提高了计算效率，缩短了计算时间，为投资者快速计算期权价值节约了时间．     

关于复数域上Banach空间上的向量值函数的一些注记

首先证明了取值于Banach空间上强连续的向量值函数是可积分的;然后用初等方法证明了向量值函数的柯西积分公式和高阶导数公式;最后讨论了取值于l^p（p≥1）空间上的向量值函数解析、可积、柯西积分公式和高阶导数公式与其各分量函数的关系和表示形式,并且给出了有限维赋范线性空间上的向量值函数连续、解析、可积、柯西定理、柯西积分公式和高阶导数公式与其各分量函数的关系和表示形式．     

关于复数域上Banach空间上的向量值函数的一些注记

首先证明了取值于Banach空间上强连续的向量值函数是可积分的;然后用初等方法证明了向量值函数的柯西积分公式和高阶导数公式;最后讨论了取值于l^p（p≥1）空间上的向量值函数解析、可积、柯西积分公式和高阶导数公式与其各分量函数的关系和表示形式,并且给出了有限维赋范线性空间上的向量值函数连续、解析、可积、柯西定理、柯西积分公式和高阶导数公式与其各分量函数的关系和表示形式．     

第二类平面曲线积分的计算探讨

针对第二类平面曲线积分的计算进行了探讨,指出计算时可以把积分曲线代入被积函数中,且可以利用轮换对称性及奇偶性来简化计算,并提出可以利用公式法、格林公式及曲线积分与路径的无关性三种方法来计算第二类平面曲线积分.     

牛顿-莱布尼兹公式的推广

在一元函数中，被积函数在闭区间上连续是牛顿一莱布尼兹公式成立的重要条件。本文通过减弱该条件使牛顿一莱布尼兹公式得到推广，并给出了应用实例。同时，讨论了二重积分和曲线积分的牛顿一莱布尼兹公式。     

泊松积分的几种简便证明

在一般的《高等数学》教材中对于泊松积分的计算少有涉及,而在实际问题中,例如在研究热传导或是概率问题的时候,都会遇到泊松积分。但由于其被积函数的原函数不是初等函数,因此,不能用牛顿-莱布尼茨公式来计算其积分值。而一般证明方法比较繁锁,笔者在此给出泊松积分的几种较为简便的证明方法。     

多元函数积分计算的一种形式统一法

定积分的计算中,要求积分号的个数、被积函数自变量的个数以及积分变量的个数具有严格的形式统一性.多元函数积分并不具有这个特点,但是它们的计算往往需要利用这个特点化简为多次积分来求值.通过分析发现,形式统一法为多元函数积分的计算提供了一种操作性较强的方法.     

椭圆积分的一种新型计算法

首先通过推导单摆振动周期公式以及计算椭圆的弧长，介绍了椭圆积分的由来，并给出第一类、第二类椭圆积分的一般表达式；然后利用蹇级数展开方法将被积函数表示为级数的形式；再经过简单的积分计算将椭圆积分表示为级数；最后通过一简单的程序，利用微计算出积分值。     

用逆矩阵求某些函数的不定积分

当包含被积函数的实连续函数空间的子空间是求导变换的不变子空间,且求导变换在不变子空间的基下的矩阵可逆时,根据求导变换和积分变换是互逆变换,给出利用逆矩阵求不定积分的一般理论和方法.     

一类二重积分不等式中未知函数的估计

利用变量替换技巧、放大技巧和反函数技巧等方法, 研究了一类被积函数中含有未知函数及其导函数、积分项外包含了非常数项的非线性二重积分不等式,给出该类不等式中未知函数的显上界估计,并举例说明所得结果可以用来研究微分-积分方程解的估计.     

关于黎曼-斯蒂尔切斯积分近似计算的注记

研究了黎曼-斯蒂尔切斯（Riemann-Stieltjes）积分的近似计算，对于被积函数，f（x）为Lipschitz连续以及高阶导数有界的情形分别得出的两种近似计算公式：矩形计算公式和梯形计算公式及其误差估计，并且通过实际例子的两种近似计算方法的不同精度，验证了文中的结果。     

一类含有未知导函数的三重积分不等式中未知函数的估计

研究了一类非线性三重积分不等式,其中被积函数中含有未知函数及其导函数,积分项外包含了非常数项.利用变量替换技巧、放大技巧和反函数技巧等分析手段,给出了三重积分-微分不等式中未知函数的显上界估计,推广了已有结果.最后举例说明所得结果可以用来研究微分-积分方程解的估计.     

Jensen类一重积分不等式的改进

主要研究了一类Jensen一重积分不等式的改进问题.其中,所研究的积分不等式的被积函数为不含导数的二次型函数.首先,采用新的函数构造方法,对现有改进的该类型Jensen不等式给出了一种较为简洁的证明方法.然后,基于上述证明方法,结合自由矩阵思想和积分不等式计算技巧,得到一类含有自由矩阵的新的Jensen类一重积分不等式.最后,从理论上分析了该新不等式的有效性、可行性、优越性和具有更低的保守性.