切点弦长等于通径的一个性质

定理 过圆锥曲线的准线与对称轴的交点作曲线的两条切线，则切点弦长等于该圆锥曲线的通径．     

圆锥曲线的焦点弦长是否以通径最短

圆锥曲线的通径:通过圆锥曲线的焦点且垂直于该焦点所在的对称轴的直线与圆锥曲     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

也谈圆锥曲线焦点弦长的最小值

最近,读2008年第11期《中学生数学》祝世清老师的《通径是圆锥曲线最短的焦点弦》一文,深受启发,下面对这一问题作进一步的探讨．     

圆锥曲线通径端点的一个性质与应用

经过圆锥曲线焦点且与对称轴垂直的直线被圆锥曲线截得的线段长叫通径．该线段的端点叫做通径端点．本文介绍它的一个有趣性质与应用，供读者参考．     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦具有不少性质 ,均散见在各类书刊上 .本文将系统地归纳集中 ,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的、更深刻的了解 .从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力 .( 1 )1　焦点弦 (通径 )的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行 )被抛物线截得的线段 ,叫做抛物线的焦点弦 ,如图 (1 ) .线段 AB叫做抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点弦 . (当AB垂直于抛物线的对称轴时 ,AB叫做抛物线的通径 ) .2　焦点弦的性质定理 1　抛物线焦点弦长等于 2 p(1 1k2 )或2 psin2 α并且以通径长为最小 ,最小…     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质:已知A,B是圆锥曲线C上关于x轴对称的任意两个不同的点,点P是C的准线与x轴的交点,直线PB交C于另一点E,则直线AE恒过曲线C的(与准线相对应的)焦点F.显然,AE是圆锥曲线的一条焦点弦.通过研究该性质的逆命题,我们可以得到如下的与焦点弦有     

关注圆锥曲线中的三类弦问题

圆锥曲线的弦是考查直线与圆锥曲线的位置关系的重要知识背景,因此抓住圆锥曲线的有关特征弦,是解决这类问题的关键,圆锥曲线中主要以焦点弦、原点弦、中点弦等进行考查,下面采撷六例予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

圆锥曲线焦点弦与相应准线的关系

文[1] 探讨了抛物线焦点弦与其准线之间的性质,耐人寻味.笔者经过探究,圆锥曲线焦点弦与焦点相应准线存在如下一些性质.……     

巧解圆锥曲线中的“焦点分弦所成比”问题

我们把圆锥曲线(椭圆、双曲线或抛物线)中过焦点的弦称为它的焦点弦,焦点弦AB被焦点F分成两段AF和FB,则把满足(→AF)=λ(→FB)(λ＞0)的λ称为"焦点分焦点弦所成的比",简称"焦点分弦所成比".在近几年的高考中,对圆锥曲线的"焦点分弦所成比"问题(已知(→AF)=λ(→FB)求圆锥曲线的离心率、方程及直线AB的斜率等)的考查成为一个热点问题,对于这类问题,若用纯解析几何知识来解决,则通常需要大量的代数运算才能完成.     

焦半径公式及其应用

众所周知,横向型圆锥曲线的焦半径可由焦点弦端点的横坐标方便地表示出来．其实,焦点弦被焦点分成的两条焦半径还可由该弦的倾斜角表示,并且运用这一关系处理涉及倾斜角问题时更显快捷．     

圆锥曲线阿基米德焦点三角形的一个性质

圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形,这条弦叫做阿基米德三角形的底,两切线的交点叫做阿基米德三角形的顶点.特别地,我们把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形.笔者借用几何画板研究发现圆锥曲线阿基米德焦点三角     

圆锥曲线焦点弦弦长定理及其应用

所谓圆锥曲线的焦点弦,就是一直线经过圆锥曲线的焦点且与圆锥曲线相交于两点所成的线段。焦点弦弦长公式可由下面的定理和推论给出。定理苦e是圆锥曲线的离心率,p是焦点到准线的距离,则与圆锥曲线的对称轴的夹角为θ的焦点弦的长为:l=2ep/(1-e~2cos~2θ) 证明:如图1, 以圆锥曲线的焦点F为极点O,焦点向准线所作垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系,则圆锥曲线的极坐标方程     

回归定义妙解高考题三例

近年来涉及圆锥曲线焦点弦问题成为高考热点,常规思路是设焦点弦所在直线方程与圆锥曲线方程联立求解,运算量大且非常繁琐．若能回归圆锥曲线定义及解直角三角形则问题迎刃而解,有事半功倍之效．下面举例如下：     

与焦点弦有关的一个定比

在圆锥曲线中,焦点弦是一种比较特殊的线段,笔者发现焦点分焦点弦所得的两线段的长度,与焦点弦弦长之间存在如下的一个定比关系:定理已知圆锥曲线的离心率为e,焦准距(焦点到对应准线的距离)为|FM|,过焦点F的直线交圆锥曲线于两点A,B,则有     

抛物线焦点弦的教学探究课

圆锥曲线这一章是解析几何的重头戏.下面是一节“探究抛物线焦点弦性质”的课堂实录.我从学生较熟悉的抛物线的通径、焦点弦入手,尝试探究性教学,在用联系的观点巩固所学内容的同时,激发学生独立思考和创新的意识,开发学生的自我潜能.学习目标:1.知识目标:使学生进一步理解抛物线的定义,了解抛物线焦点弦的有关性质,并掌握这些性质的证明方法.体会数形结合思想与分类讨论思想在解决解析几何问题中的指导作用.2.能力目标:使学生学会研究数学问题的基本过程,培养学生自主学习与创新的能力.3.情感目标:培养学生科学探索精神,体验合作与分享的快…     

圆锥曲线"准点弦"的几个性质

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则｜AB｜=2p(1 k2)(e2-k2)｜1 k2-e2｜=2pe2-tan2θ｜secθ-e2cosθ｜.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直…     

圆锥曲线的三类弦问题

<正>解析几何是高考数学的重要考查内容,常作为试卷中选拔高分的试题.而直线与圆锥曲线位置关系问题又是解析几何中常见的重要类型,纵观近年来的高考题,圆锥曲线三类弦问题须引起我们关注.本文例谈这几类问题,并探究其求解策略.在解直线与圆锥曲线的弦长问题时,通常应用韦达定理与弦长公式.若涉及到"三类弦"(焦点弦、中点弦、原点弦)问题,则可根据各自     

圆锥曲线离心率的统一性质及其应用

<正>在教学中,笔者发现圆锥曲线过焦点的弦所在直线的斜率k,以及焦点内分弦的两个焦半径所成的比值λ,与圆锥曲线的离心率e有一个关联的性质,此性质能让我们快速、高效地解决一类关于圆锥曲线的离心率问题,供大家学习参考.性质1设圆锥曲线C的焦点F在x轴上,过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、     

挖掘本质，类比探究——圆锥曲线焦点弦的一个优美定值

借助一道有关椭圆焦点弦问题的解决与分析,回归问题本质,归纳拓展结论,从椭圆角度全面推广到双曲线、抛物线,以及更具一般的圆锥曲线问题,得到圆锥曲线焦点弦的一个优美定值,全面深化解题效益,提升解题品质与数学能力,引领并指导数学教学与解题研究.