如何确定双曲线定长焦点弦的条数

问题过双曲线x2/a2-y2/b2=1的右焦点的直线z被曲线截得的弦长为d,则这样的直线l有多少条?设过右焦点F(c,0)的直线z的方程为y=k(x-c)(为便于研究,l⊥x轴时,认为k→∞),将其代入x2/a2=y2/b2=1并化简得:(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-a2c2k2-a2b2=0(*),设直线l与双曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达     

7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

综合题新编选登

题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

2012年福建省高考数学试题一对姊妹题的探究

题1(2012年福建理19)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆方程.(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;     

2008年安徽卷(理)题22探幽

1 探秘 　　(08安徽,理22) 设椭圆C: x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过点M((2),1),且左焦点为F1(-(2),0). 　　(Ⅰ)求椭圆C的方程; 　　(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A、B时,在线段AB上取点Q,满足|(AP→)|·|(QB→)|=|(AQ→)|·|(PB→)|,证明点Q总在某条定直线上.……     

一道高考题的反思及结论探究

(2007年天津卷(理)22题)设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为1/3| OF1 |.(1)证明a=√(2b);(2)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.这里的D点轨迹是一个圆:x2+y2=2b2/3,是本题中由于a,b关系的特殊性决定了存在这样的圆,还是对于一般的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)皆有这样的结论呢?     

一类解几问题的拓广

文[1]对下列问题进行了探讨,即 　　问题1设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),椭圆内有一定点P(m,0),过该点作直线交椭圆A,B两点,又在该直线上另有一点Q,满足|AP/PB|〗=|AQ/QB|,求Q点的轨迹方程.……     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

双曲线定义的变式

本刊文 [1]介绍了椭圆定义的几个变式 ,它为同学们学习椭圆拓宽了知识空间 .那么 ,双曲线定义的变式又如何呢 ?本文来研究这个问题 .为了讨论方便 ,先将课本对双曲线方程的推导过程摘录如下 :以两定点F1,F2 所在直线为x轴 ,线段F1F2中点为坐标原点 ,建立直角坐标系 ,设M (x ,y)是双曲线上任一点 ,F1(-c ,0 ) ,F2 (c,0 ) (c>a) ,则由双曲线定义得|MF1| - |MF2 | =± 2a (1)而 |MF1| =(x +c) 2 + y2 (2 )|MF2 | =(x -c) 2 + y2 (3)故得(x +c) 2 + y2 - (x -c) 2 + y2 =± 2a (4)移项平方得cx -a2 =±a (x -c) 2 + y2 (5 )再平方整理得(c…     

“设且求”寻求一类解析几何题求解新途径

1 困惑 2012年江苏高考第19题: 如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和e,√3/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.     

椭圆的又一个有趣性质

椭圆有很多有趣的性质,本文再给出一个.性质1过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的焦点斜率为k1的直线交椭圆于A、B两点,若C为线段AB的中点且直线OC的斜率为k2,则椭圆的离心率e满足e2=1 k1k2.证明设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x21a2 y21b2=1,x22a2 y22b2=1.两式相减得x21-x     

2013年高考江西卷理科第20题的推广

2013年高考江西卷理科第20题为：如图1,椭圆C：x2/a2＋经过y2/b2=1（a〉b〉0）点P（1,3）,离心率1e=,直线l的方程为x=4.22（1）求椭圆C的方程;（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问：是否存在常数λ,使得k1＋k2=λk3？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.将该题推广可得：     

共焦点的圆锥曲线的切线性质

共焦点的圆锥曲线有如下几个重要性质. 　　定理1 设椭圆x2/a12+y2/b12=1(a1>b1>0)和双曲线x2/a22-y2/b22=2(a2>0,b2>0)共焦点E(-c,0),F(c,0)(c>0),P是两曲线的一个交点,经过P点的椭圆和双曲线的切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-1.……     

圆锥曲线的又一性质

有众多文献给出了圆锥曲线(即椭圆、双曲线、抛物线的统称)的美妙性质,本文再给出一条.定理　自圆锥曲线的准线与对称轴的交点引这条圆锥曲线的切线,则切线斜率的平方等于这条圆锥曲线离心率的平方.证　1)当圆锥曲线是椭圆时,不妨设椭圆的方程是x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,只考虑点A(- a2c,0 )(其中a2 =b2 +c2 ,c >0 )处的切线.可设切线的方程为y =k(x + a2c) ,将其代入x2a2 + y2b2 =1,得(b2 +a2 k2 )x2 + 2a4k2c x + a6k2c2 -a2 b2 =0 .令Δ=2a4k2c2 - 4(b2 +a2 k2 )·a6k2c2 -a2 b2 =0 ,可得k2 =ca2 ,即k2 =e2 .2 )当圆锥曲线是双曲线时,…     

从消参的角度探析一道解析几何题的简解

2011年郑州市高中毕业年级第三次质量预测理科第20题(文科压轴题)是一道较难的解析几何题.该题主要考查直线与椭圆的位置关系,其解答的核心思想是消去"非对称目标函数"中的参数.试题和标准答案如下:已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点.过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点.记直线AD、BC的斜率分别为k1、k2.     

运用几何画板对一道高考题的推广

1问题呈现2012年江苏高考数学第19题:如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和(e,(3(1/2))/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.     

数形结合巧解一题(二)

问题已知a、b、c∈R,a+b+c=1,a2+b2 +c2=1,求证:-1/3≤c≤1. 证明∵点P(a,b)是直线x+y=1-c 和圆x2+y2=1-c2上的点,即P是直线和圆的公共点,     

圆锥曲线焦点弦的一组统一性质

<正>2018年北京市房山区高三理科一模圆锥曲线解答题为:已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)过点(0,-1),离心率e=22=1(a>b>0)过点(0,-1),离心率e=2^(1/2)/2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点F(1,0)作斜率为k(k≠0)的直线l,l与椭圆C交于M,N两点,若线段MN的垂     

对一道高考解析几何题的深度探析

题目(2013江西高考文-20)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/2,a+b=3. (1)求椭圆C的方程; (2)如图1,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-k为定值.