正n边形中四边形计数问题

文[1]探究了正n边形中三角形计数问题，受其启发笔者探究了正n边形中四边形计数问题． 引理1圆内接四边形为平行四边形（矩形），当且仅当该四边形的两条对角线为该外接圆的两条直径．     

四点共圆及其应用(上)

<正>顶点在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形.我们也可以说圆内接四边形的四个顶点共圆.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形对角互补.圆内接四边形外角等于内对角.由此可以推论出:内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.     

运用化归思想解排列组合题

例 1　正方体八个顶点的连线中 ,异面直线有多少对 ?分析　因为一个三棱锥各对棱所在直线均异面 ,有 3对异面直线 .受这一结果的启发 ,原问题可化归为 :正方体八个顶点中任取 4个点 ,可构成多少个三棱锥 ?于是因由正方体的顶点构成的三棱锥的个数为Ｃ4 8- 12 ,故所求异面直线的对数为 :3(Ｃ4 8-12 ) =174 (对 ) .例 2　圆内接八边形的任意三条对角线不在圆内共点 ,那么所有对角线在圆内共有多少个交点 ?分析　因为圆内接四边形的两条对角线的交点位于圆内 ,故问题化归为只需考虑以圆内接八边形的顶点为顶点可构成多少个圆内接四边形 .因从圆…     

中考中的中点四边形

<正>一、中点四边形及性质顺次连接多边形各边中点所得的新多边形叫做原多边形的中点多边形.性质1中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系:(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形;(2)对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形;(3)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;(4)对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.     

对边乘积相等的圆内接四边形

正方形所在平面内任一点（不在其外接圆上）和正方形各顶点的联线所在直线与正方形外接圆的交点为顶点构成的四边形,则其对边乘积相等,且其两对角的平分线的交点在另一对顶点的对角线上．     

配极四边形面积研究

<正>配极四边形定义四边形ABCD内接于圆,以该四边形的顶点为切点,作外接圆的四条切线,四条切线构成的封闭图形为圆外切四边形EFGH,此圆外切四边形与原内接四边形互为配极四边形.定理1内外配极四边形面积的关系式为     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

一道试题的探究

<正>一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是:在△ABC中,BC=2(1/2),AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,线段CD长的最大值为.二、背景探究本题的背景是托勒密定理:凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

初二几何第二学期期中自测题

Ａ组　　一、填空题 (每小题 3分 ,共计 3 6分 )1 .四边形共有条对角线 ,并把四边形分成个三角形 .2 .内角和是外角和 3倍的多边形是边形 .3 . ＡＢＣＤ中 ,∠Ａ =3∠Ｂ ,则∠Ｃ =度 ,∠Ｄ =度 .4 .要证明一个四边形是菱形 ,可以先证明这个四边形是 ,再证明这个四边形 .(只需要填写一种方法 )5.已知正方形的一条对角线长为 4ｃｍ ,则它的面积是ｃｍ2 .6.已知菱形的面积为 80ｃｍ2 ,两对角线的比值为0 .8,则这个菱形的边长为ｃｍ .7.正方形的边与对角线的夹角的度数是 .8.直角三角形的两直角边的长为 6ｃｍ和 8ｃｍ ,则斜边上的中线长为 .9.…     

正方形中的等腰直角三角形

<正>正方形既具有了平行四边形的中心对称性,又具有菱形和矩形的两种轴对称性,利用这种对称性我们可以将正方形根据需要分解成不同的等腰直角三角形,进而可以达到简化问题、方便思路探寻、易于抓住几何变换中的不变量的目的,使问题得到解决.1常见模型(1)正方形的分解(1)正方形的一条对角线可以将其分成两个全等的等腰直角三角形.     

平行四边形被分割的两个面积性质

<正>矩形内任意一点与四个顶点相连,把该矩形划分成四个三角形,那么两组不共边三角形的面积之和相等．把这个结论拓展到平行四边形,就有一个可以巧用的结论——性质1如图1,若点P为?ABCD内的任意一点,PA,PB,PC,PD把该四边形分割为四个三角形,则共顶点且相对的两个三角形面积之和都等于平行四边形面积的一半,     

当圆与四边形相遇时

新课程要求学生经历图形抽象与分类的过程,参与探讨图形的性质、运动与位置关系,从而掌握几何图形的基本性质及研究图形的基本方法.圆与四边形都是初中阶段数学研究的重要图形,有关问题都要转化为三角形的问题解决,当圆与四边形相遇时,包括平行四边形、矩形、菱形、正方形、正多边形,我们该如何解决问题呢?     

巧用托勒密定理解代数题

托勒密定理:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,由于这个定理所揭示的是圆内接四边形的边与对角线的特定关系,因而在证明与圆有关的线段关系的几何命题中有着独特的作用,若     

四边形中的趣味竞赛题(上)

<正>在平面上由首尾相连的四条线段组成的封闭图形,叫做四边形.四边形可以分为凸四边形,凹四边形和交叉四边形.四边形具有四个顶点和四条边,我们一般研究凸四边形,也就是将每条边延长为直线后,其余各边都在这条边所在直线的一侧,四边形中没有公共顶点的两条边叫做对边,没有公共边的两个角叫做对角,对角顶点的连接线段叫做四边形的对角线.没有特别声明,今后     

初二年级数学科第一学期期中自测题

A组一、选择题1 .要使正十二边形旋转后与自身重合 ,至少应将它绕中心顺时针旋转的角度为 (　 ) .A .1 5 0°　　B .3 0°　　C .45°　　D .60°2 .下面的说法中 ,正确的是 (　 ) .A .有一个角是直角的四边形是矩形B .平行四边形的四个内角都相等C .两条对角线互相垂直的四边形是菱形D .等腰梯形同一底上的两个角相等3 .下列图形中 ,既是旋转对称图形 ,又是轴对称图形的有 (　 ) .4.不等式 4( 1 -x)≥ 2 (x +5 )的解集在数轴上表示为 (　 ) .5 .菱形的相邻两个内角的比是 2∶1 ,且周长为1 2cm ,那么此菱形的较短的对角线长为 (　 ) .A …     

一道试题的探究

一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是：在△ABC中,BC=√2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧）.当∠C变化时,线段CD长的最大值为______.二、背景探究本题的背景是托勒密定理：凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

几个新发现的几何定理

在给初三学生专题讲授命题:“圆上任一点到某切线的距离等于该点到该切线的切点的距离的平方除以圆直径所得的商。”(应用三角形相似证明,这里略)时,我高兴地发现了如下几个定理及其推广。为稳妥起见,我又反复查阅了许多文献资料,均未发现有此定理,故斗胆抛砖引玉介绍如下,不足之处,请读者指正。定理1 圆内接四边形外接圆上任一点至各顶点所作切线的距离之积与该点至各条对角线的距离之积的平方相等。证明如右图,设四边形A_1A_2A_3A_4的外接圆上一点P至各顶点所     

圆内接五边形的一个性质

我们知道,圆内接四边形有一个性质即:两条对角线的乘积等于该四边形两对对边乘积的和(托勒迷定理).近日笔者对圆内接五边形进行了类比研究,得到了圆内接五边形的一个优美性质,现归纳出来以飨读者.     

圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.本文给出它的另外两个性质:     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…