加权Moore-Penrose逆的扰动理论

§1.引言设A∈C~(m×n),M和N分别为m和n阶Hermite正定阵,则存在唯一的K∈C~(n×m),满足AXA=A,XAX=X,(MAX)=MAX,(NXA)=NXA.这里X称为A的加权Moore-Penrose逆,记作X=A_(MN)~+. 当M和N分别为m和n阶单位阵I_m和I_m时,A_(Im)~+=A~+,A~+称为A的Moors-Penrose逆,当A为非异方阵时,A~+=A~(-1).     

复矩阵和的Drazin逆

1引 言设Cn×n为n×n复矩阵的集合,对A∈Cn×n,满足rank(Ak+1 )=rank( Ak)的最小非负整数k称为A的指标,记为Ind(A)=κ,则存在唯一矩阵AD∈Cn×n,满足下列矩阵方程组[1]:Ak=Ak+1AD AD=ADAAD AAD=ADAAD称为A的Drazin逆.若Ind(A)=1,则AD称为A的群逆,记为A#.显然Ind(A)=0当且仅当A非奇异,此时AD =A-1.     

幂等矩阵下Yang-Baxter-like方程解的新的显式表达式

正1引言设C~(m×n)表示m×n阶复矩阵的集合,I_n表示n阶单位矩阵.对于矩阵A∈C~(m×n),A~*表示它的共轭转置矩阵.设矩阵A∈C~(n×n),如果A~2=A,则称矩阵A为幂等矩阵;如果A~2=A=A~*,则称矩阵A为正交投影矩阵.设A∈C~(n×n)本文主要研究下面的二次矩阵方程AXA=XAX,(1.1)称之为Yang-Baxter-like方程,因为其与统计物理中分别由Yang[1]和Baxter[2]独立得到的经典Yang-Baxter方程相似.     

加权Moore-Penrose逆的一些进展

1引言 本文中,Cm×n代表复数域C上的所有m×n阶矩阵的集合.对A∈Cm×n,A*、R(A)、N(A)、rank(A)分别代表A的共轭转置、列空间、零空间、秩.使得rank(Ak)=rank(Ak+1)成立的最小正整数k称为A的指标,记作ind(A).     

求解多项式特征值问题的部分正交投影方法及其变形

正1引言为表述方便,用C~(m×n)表示m×n复矩阵的全体,C~m=C~(m×1).‖·‖表示向量或矩阵的2-范数.对A∈C~(m×n),v∈C~m及正整数m,K[A,v,m]=[v,Av,A~2v,...,A~(m-1)v]称为Krylov矩阵,span(K[A,v,m])就是由A和v生成的Krylov子空间.e_j是适当阶单位矩阵的第j列.设A_i∈C~(m×n)(i=0,1,…,d)是给定的矩阵,记     

线性流形上矩阵方程BTXB=F的双对称最小二乘解

1引言令R~(n×m)、OR~(n×n)、SR~(n×n)(SR_0~(n×n))分别表示所有n×m阶实矩阵、n阶实正交阵、n阶实对称矩阵(实对称半正定阵)的全体,A~ 表示A的Moore-Penrose广义逆,I_k表示k阶单位矩阵,S_k表示k阶反序单位矩阵。R(A)表示A的列空间,N(A)表示A的零空间,rank(A)表示矩阵A的秩。对A=(a_(ij)),B=(b_(ij))∈R~(n×m),A*B表示A与     

实对称矩阵在相合分解下的Moore-Penrose型广义逆的通式

1引言与符号说明对m×n矩阵A,下列矩阵方程：(1)AXA=A,(2)XAX=x,(3)(AX)~T=AX,(4)(XA)~T=XA称为Penrose方程．如果X满足上述方程(i)(j),…(k),则称X为(ij…k)逆,其全体记为A(ij…k)．(1234)逆常记为A~ ．所有这种矩阵叫广义逆(矩阵)或Moore- Penrose型逆(矩阵)．广义逆矩阵在许多数学领域有广泛应用．它在解矩阵方程中的作用     

幂等算子乘积的群逆的表示

正1引言设X为Banach空间,B(X)表示Banach空间X上有界线性算子的全体.设A∈B(X),则满足方程ABA=A的有界线性算子B∈B(X)称为A的{1}-逆,记作A~-;满足方程ABA=A,BAB=B的有界线性算子B∈B(X)称为A的自反广义逆或A的{1,2}-逆,通常记作A~+.若B∈B(X)满足下列方程     

关于矩阵切触有理插值

1 矩阵切触插值连分式 设实区间[a,b]中由不同点组成的插值结点为x_1,x_2,…,x_n,它们的重数分别为a_1,a_2,… ,a_n,M=sum from i=l to n(a_i-1),与之对应的待插值矩阵集为 {A_i~(k):k=0,1,…,a_i-1,i=1,2,…,n,A_i~(k)=A~(k)(x_i)∈R~(d×d)}. 设方阵A=(a_(ij)),它的广义矩阵逆定义为 A~(-1)= A/‖A‖~2 (A≠0) (1.1)     

反三角算子矩阵的Drazin可逆性及其表示

本文讨论了反三角算子矩阵■的Drazin可逆性及其Drazin逆的表达式.在CB=CAB=CA~2B,A~3=A~2条件下,采用预解式的Laurent展开方法证明了反三角算子矩阵M是Drazin可逆的,并给出M的含有A~D和(CB)~D的Drazin逆的表达式.最后给出算例,说明了结果的有效性.     

矩阵的逆

§1.方阵众所周知,n阶方阵A的逆通常采用以下定义。定义1 设A是一个n阶方阵,如果存在有一个n阶方阵B,使得 AB=BA=I,其中I是n阶单位方阵,则A称为可逆方阵,而B称为A的逆,记作A~(-1)。上述定义中,用了两个矩阵方程AX=I,XA=I,其中X为n阶未知矩阵。容易产生的问题是:能否只用一个方程,例如AX=I,来定义方阵的逆?答案是肯定的。下面给出方阵的逆的另一定义: 定义2 设A是一个n阶方阵,如果存在有一个n阶方阵B,使得 AB=I,其中I是n阶单位方阵,则A称为可逆方阵,而B称为A的逆。为区别起见,A在定义2意义下的逆B记作A_2~(-1)。给出方阵的逆的定义之后,自然应讨论定义的合理性。这就需要讨论:(ⅰ)可逆方阵的存在性:即的     

不可约与几乎可约布尔矩阵的幂敛指数

§1.引言 布尔矩阵是指元素按如下规则运算的(0,1)矩阵:a+b=max{a,b},a·b=min{a,b}(a,b∈{0,1}),n阶布尔方阵的集合记为B_n。一个布尔方阵A的幂敛指数k(A)是满足如下条件的最小非负整数k: 条件:存在正整数p,使A~k=A~(k+p), (1.1)而称满足条件A~(k(A))=A~(k(A)+p)的最小正整数p为A的周期,记作p(A)。 对布尔矩阵的幂序列及幂敛指数的研究在有限自动机理论、二元关系理论及遍历指     

一类矩阵的Drazin逆

本得到了一类环上矩阵Drazin的一个定理：设N表有单位元环R中零元、可逆元集合与R的中心Z(R)的交集，M表R的子域与Z（R)的交集，A∈Rn×n，若f(λ)=cλ(1-λq(λ))是A的化零多项式，其中q(λ)的系数属于N，且c∈N，则A的Drazin逆存在，且X=A^k[q(A)]k 1是A的唯一的一个Drazin逆。     

广义逆A(2)T,S的子式

1.引言 设A∈Cm×n,M和N分别为m和n阶Hermite正定阵,考虑下列方程 (1) AXA = A (2) XAX = X (3) (AX)* = AX (4) (XA)* = XA (3M) (MAX)* = MAX (4N) (NXA)* = NXA 如果X∈Cm×m满足条件(1)和(2),则称X为A的自反广义逆,记作X=A(1,2);如果X满足条件(2),则称X为A的{2}逆,记作X=A(2);如果X满足(1)-(4),则称X为A的M-P逆,记作X=A+;如果X满足(1)、(2)、(3M)、(4N),则称X为A的加权M-P逆,记作A+MN.     

矩阵双侧旋转与逼近

首先,引入一些符号.用C~(m×n)表示m×n复矩阵的集合,U~(i×m)={A∈C~(l×m)│A~(II)A=I_m(l≥m)}.I_m表示m阶单位矩阵,A~H表示矩阵A的共轭转置矩阵,tr(A)表示矩阵A的迹,Re[tr     

Banach空间中线性算子的带权Drazin逆和Drazin逆的逼近

引言 Drazin逆的概念最初是建立在可结合环和半群上的[1].后来,对于方阵的Drazin逆的性质和应用作了研究,这方面的文献主要有[2]、[3]和[4]. 对于A∈C~(10×n),若存在X∈C~(10×n)满足:     

关于加边矩阵的奇异性问题的注记

在文[1]的基础上,这篇注记给出了m×m复矩阵A的一类非奇异加边矩阵的特征,得到了利用这种加边矩阵的逆阵的子块求全体(1,2)-逆与Moors—Penrose逆所关联的两个定理。 本文约定:C~(m×n)表示m×n复矩阵的集合,C_r~(m×n)表示C~(m×n)的秩r的矩阵的子集,设A∈C~(m×n),通常把Penrose方程     

长方矩阵加权群逆的迭代法

1引 言与引理 最近,文[1]定义了长方矩阵的一种加权群逆:设A∈Cm×n,W∈Cn×m.称满足下列矩阵方程组的矩阵X∈Cm×n为A的加W权群逆:(W1)AWXWA=A, (W2)XWAWX=X, (W3)AWX=XWA通常记A的加W权群逆为A#W.若A#W存在,则它是唯一的.     

EP矩阵与矩阵方程的解

证明了如下结论:设A∈C~(n×n)是群可逆矩阵,则(i)A为EP矩阵当且仅当矩阵方程A~HXA=XAA~H在χ_A至少有一个解;(ii)A为EP矩阵当且仅当矩阵方程A~HXA=AA~HX在χ_A至少有一个解,其中χ_A={A,A~#,A~+,A~H,(A~#)~H,(A~+)~H}.     

等式约束加权线性最小二乘问题的解法

1 引言 在实际应用中常会提出解等式约束加权线性最小二乘问题 min||b-Ax||_M,(1.1) x∈C~n s.t.Bx=d, 其中B∈C~(p×n),A∈C~(q×n),d∈C~p,b∈C~q,M∈C~(q×q)为Hermite正定阵. 对于问题(1.1),目前已有多种解法,见文[1—3).本文将利用广义逆矩阵的知识,给出(1.1)的通解及迭代解法.本文中关于矩阵广义逆与投影算子(矩阵)的记号基本上与文[4]的相同.例如,A~+表示A的MP逆,P_L表示到子空间L上的正交投影算子,λ_(max)(MAY)表示矩阵M~(1/2)AY的最大特征值.我们还要用到广义BD逆的概念: 设A∈C~(n×n),L为C~n的子空间,则称A_(L)~(+)=P_L(AP_L+P_L⊥)~+为A关于L的广义BD逆.