空间距离的统一向量公式及应用

立体几何中的空间距离(指点线距离,点面距离,线面距离,异面直线距离及平行平面距离;下同)是用数量刻划点、线、面的空间位置关系,也是空间垂直关系的运用和拓展,在立体几何中有着重要的地位.由于空间距离涉及到诸多的线与线,线与面、面与面的垂直关系,求空间距离成为了学习几何的难点.笔者在教学实践中,体会到用向量恰好能避免这一难点,归纳出空间距离的统一向量公式:d=|n0·p|=|n·p||n|,其中p为两个图形任意两点的连线向量,n0为平面(或直线)单位法向量,n为平面(或直线)法向量.1证明下面分四种情况说明.(Ⅰ)点到直线距离:如图1,n为l的法向…     

借助空间向量速求立体几何中的距离

空间向量的引入,有效降低了立体几何问题的思维难度,使有关问题的求解程序化.高考对立体几何的考查,侧重于位置关系与数量关系,而数量关系中的"距离"问题主要有:两点间距离;点线距离;点面距离;线线(异面直线)距离;平行线面的距离;平行的面面距离等,其中,两点之间距离、点线的距离易求,线面距离、面面距离都可转化为点面距离,本文例析借助空间向量,快速求解立体几何中的两种距离:异面直线之间的距离和点到平面的距离.     

空间距离的统一向量公式及应用

立体几何中的空间距离(指点线距离，点面距离，线面距离，异面直线距离及平行平面距离；下同)是用数量刻划点、线、面的空间位置关系，也是空间垂直关系的运用和拓展，在立体几何中有着重要的地位，由于空间距离涉及到诸多的线与线，线与面、面与面的垂直关系，     

空间中的距离和角

1　空间中的距离1)对于空间距离 ,我们主要研究异面直线的距离、点到平面的距离、直线和平面的距离以及两个平行平面的距离 .其中核心问题是点到直线、点到平面的距离 .2 )对于点面、线面、面面距离的计算 ,既要掌握其概念 ,又要能进行它们之间的转化 ,还要能通过作辅助图形及应用解三角形的方法求出这些距离 .3)异面直线的距离的计算是一个难点 ,常用的方法有直接法、转化法、极值法等 .4 )体积法是求距离的一种间接方法 ,也是一种常用的方法 ,要注意灵活运用 .2　空间中的角1)空间中的角主要有 :异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及…     

空间直线与平面

1.本单元重、难点分析点、直线、平面是立体几何中最基本的概念,平面的基本性质是学习立体几何的基础,也是正确处理空间图形中点、直线、平面之间关系以及识图、画图、推理、证明的依据.本单元的重点有:直线和直线、直线和平面、平面和平面之间的特殊关系(平行与垂直)的判定和性质;空间角(两条异面直线的夹角,直线和平面所成的角,二面角)和空间距离(点到直线的距离,点到平面的距离,两条异面直线之间的距离,直线和平面之间的距离,两个平行平面之间的距离)的计算.三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的重要工具,也是构造…     

巧用共线向量确定空间垂足位置

在立体几何中,求斜线与平面所成的角、二面角、点面距离以及两异面直线的距离时通常要确定线面垂直与线线相交垂直时的垂足,而垂足的确定又是难点.有什么办法解决这个问题吗?新课程版高中《数学》第二册(下B)第九章《直线、平面、简单几何体》是用空间向量来处理立体几何问题的,这种处理办法起到了避开     

浅谈点面距离的求法

点面距离是空间距离中比较重要的问题 ,求点面距离方法灵活 ,空间想象能力要求高 ,往往难以把握 .下面就近年的高考试题谈谈其解法 .1　定义法过平面外一点作平面的垂线 ,直接求出这点到垂足间的距离即可 .例 1　 ( 1990年上海试题 )如图 1,平面α ,β相交于直线ＭＮ ,点Ａ在平面α上 ,点Ｂ在平面 β上 ,点Ｃ在直线ＭＮ上 ,∠ＡＣＭ =∠ＢＣＮ =4 5° ,Ａ ＭＮ Ｂ是 6 0°的二面角 ,ＡＣ =1,求点Ａ到平面 β的距离 .图 1　例 1图解　如图 1,作ＡＤ⊥平面 β于点Ｄ ,作ＡＥ⊥ＭＮ于点Ｅ ,连结ＤＥ ,则ＤＥ⊥ＭＮ .于是∠ＡＥＤ为二面角Ａ Ｍ…     

空间距离问题

立体几何研究的对象是空间图形中各元素之间的位置关系和数量关系 .由于位置关系可由数量关系来描述 ,因而立体几何研究归根到底还是数量关系 .空间距离是数量关系中最为基本的一个 .我们常见的空间距离有 :1 )两点间的距离 ;2 )点到直线的距离 ;3 )两条平行线间的距离 ;4)两条异面直线间的距离 ;5 )点到平面的距离 ;6)直线与平面平行时 ,线面间的距离 ;7)两平行平面间的距离 ;8)球面上两点间的距离 .在上述几种距离中 ,以两点间的距离和点到直线及平面的距离最为基本 ,而异面直线间的距离问题最为综合 .例 1　 (1 996年全国高中数学联赛试…     

巧设法向量求点面距与线面角

学习了高中数学试验修订本第二册下Ｂ第九章空间向量及其运算后 ,笔者认为以向量为工具 ,解决立体几何中求角度、距离等问题 ,减少了辅助线的添加 ,避开了一些较复杂的空间想象 ,降低了解题的难度 .且思路明确 ,易于下手 ,过程程序化 ,易于接受 .下面以例说明利用法向量求点面距及线面角 .例　已知棱长为 1的正方体ＡＣ1 ,Ｅ ,Ｆ分别是Ｂ1 Ｃ1 和Ｃ1 Ｄ1 的中点 .(1 )求证 :Ｅ、Ｆ、Ｂ、Ｄ共面 .(2 )求点Ａ1 到平面ＢＤＦＥ的距离 .(3 )求直线Ａ1 Ｄ与平面ＢＤＦＥ所成的角 .解　 (1 )略(2 )建立如图所示的空间直角坐标系Ｄ -ｘｙｚ,则Ｂ(1 …     

例谈用法向量解高考题

全日制普通高级中学教科书(试用修订本)数学第二册(下B)P42对法向量这样定义:如果a⊥α,那么向量a叫平面α的法向量. 可以运用法向量来处理下列问题:求线面角,求点面距离,求二面角,证明面面垂直,证明线面垂直.     

确定垂足位置的两个基本图形

在立体几何中两异面直线间的距离、点面距离、线面距离、面面距离基本上都是转化为点与点之间距离来解决;直线与平面所成的角的确定、二面角平面角的确定(主要是三垂线定理及其逆定理法)也都涉及到由平面外一点向平面引垂线的垂足问题,所有这些使确定过一点向一个平面所引垂线的垂足的位置变得非常关键.     

由一道高考题探讨点面距离求法

求点到平面距离是高考常考题型,既可以考查学生的空间想象能力,也可以考查学生的转化能力,方法多样.本文就07年高考辽宁卷第18题为例,谈点面距离求法.     

简单几何体与球

1 重点、难点分析 本单元以常见的几何体为载体,一是继续研究如何证明线线、线面、面面平行与垂直,如何求空间的各种距离,如何求空间的各种角,二是研究这些几何体的性质、侧面积、全面积及体积等.本单元的重点是棱柱、正棱锥、正多面体、球的概念;棱柱、直棱柱、棱锥、正棱锥、正四面体、长方体、正方体的性质;球的性质、体积、表面积.难点是正确判断简单几何体中的点、线、面之间的关系,如何把空间问题转化为平面问题及球体积、表面积公式的推导方法的理解.     

空间两个平面

本单元知识点及重要方法两个平面的位置关系 ,平行平面的判定和性质 ,平行平面间的距离 ,二面角及其平面角 ,两个平面垂直的判定与性质 ,异面直线上两点间的距离是本单元的知识点 ;其重点是两平面平行与垂直的判定和性质 .由于二面角度量是转化到平面内完成 ,而面面平行问题可转化为线面或线线平行来研究 ,面面垂直问题可转化为线面的垂直问题来研究 ,故转化思想与转化的方法在本单元尤为重要 .练　习选择题1　α和 β是两个不重合的平面 ,在下列条件中可判断平面α与 β平行的是 (　　 )(Ａ)α ,β都垂直于平面γ .(Ｂ)α内不共线的三点到 …     

以基本图形为载体增强立体几何复习的有效性

众所周知,立体几何是一门以探究"空间线面平行垂直关系"为主要内容的学科,而转化与化归的思想又是立体几何的核心思想方法.比如:空间线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化;角、距离、体积的计算转化为空间线面垂直关系的讨论;角、距离、体积的计算转化为平面法向量的直接应用,等等.实践表明,以"基本图形"为载体,深入探究它们的内在本质,将是增强立体几何复习有效性的一条可行的途径.     

高考专题复习系列讲座(6)——立体几何

1.高考热点和复习建议近几年来,各地立体几何高考试题总体保持稳定,难度适中,考试题型既有选择题和填空题,又有解答题,分数一般在20分以上,归纳分析各地高考试题,立体几何部分主要有以下热点.1)空间线线关系、线面关系、面面关系,其中平行与垂直的判定和性质应用是重点;2)空间角、空间距离的计算问题;3)棱柱、棱锥等简单几何体的有关面积与体积计算及有关截面问题;4)球的知识主要侧重于计算表面积、体积及球面距离;5)作为B版教材,越来越重视向量在证明和计算中的工具作用;6)开放型命题、存在型命题渐成命题热点.在复习备考过程中,除了要明…     

空间两个平面

1　考点简析1 .1　知识点剖析本单元共有这样几个知识点 :以公理 2为基本理论基础而构建的空间两平面的位置关系 ,两平面平行的判定定理和性质定理 ,两平行平面的距离 ,二面角及二面角的平面角 ,两平面垂直的判定定理和性质定理 .这些知识点都是高考重点考查的内容 ,因为它们是沟通立体几何知识网络的立交桥 :既是线线和线面位置关系的发展 ,又是继续研究多面体、旋转体的理论基础 .例如 ,可由线面平行证明面面平行 (面面平行的判定定理 ) ,又可由面面平行证明线面平行 (α∥β ,ａ α ,则ａ∥β)和线线平行 (面面平行的性质定理 ) ,而面面…     

用向量法求空间距离的5条定理

求空间距离(点到平面距离、直线与与之 平行的平面间的距离、两平行平面间的距离、 点到空间直线的距离,两异面直线间的距离) 的问题是立体几何中常见的一种题型,其解题 步骤一般是:一作、二证、三计算.解这种题型 的困难之处在于要作出该距离,是否存在一种 不需作出该距离的既简单又通用的解法呢?     

由一个基本图形构造的若干命题

如图 1,三棱锥A BOD中 ,AB⊥面BOD ,∠BDO =90 .以此三棱锥作为模型的载体是处理线线角、线面角、二面角、线线距离、线面距离的最佳图形 .由这一图形构建的下列命题可以看作是以往一些定理的推广或延伸 .1　空间四边形正弦定理如图 1,过点B作BE⊥AO ,垂足为E ,过点D作DF⊥AO ,垂足为F ,设BE =mB,DF =mD ,BD=m ,二角面B AO D为θ ,BD与平面ADO所成角为θB ,DB与平面ABO所成角为θD ,则 msinθ=mBsinθB=mDsinθD.证　过点B作BN⊥AD于N ,∵AB⊥平面BOD ,且OD⊥BD ,由三垂线定理知OD⊥AD ,∴OD⊥平面ABD .∴…     

点面距离，一招三式

求点到平面的距离是立体几何的重要内容 ,在高考中也经常出现 ,并且直线到平面的距离 ,两个平面间的距离也可以转化成点到平面的距离去求解 .因此 ,点面距离就成了这一类距离问题的交汇点 .直接作出点面距离而得解的例题不多 ,很多情况下都必须把点面距离通过转化变换成较为熟悉简单的模型求解 .本文给出求解点面距离的一招三式———一招 :转化思想 ;三式 :等积转化 ,平行转化 ,比例转化 .下面通过几个具体例子一起来探索题型规律 ,掌握相应的解题方法 .1　等积转化———构造三棱锥模型通过三棱锥模型 ,把点面距离看成棱锥的顶点到对面三…