基于结式方法的代数曲面拼接

以同伦连续映射理论为基础,构造代数曲面拼接应该满足的代数方程组。然后,利用结式方法消去相关变元得到拼接曲面方程。两代数曲面拼接时,方程组是两个关于单位区间变元的方程。利用Sylvester结式消去该变元即可得到曲面拼接方程。对于多代数曲面,拼接过程可以考虑为不同种的连续映射。由此得到三种不同的曲面拼接方法,即串接法、过渡法和提升法。串接法可得到较低次的拼接曲面,但适用于代数曲面两两拼接且过渡曲面不相交的情况;过渡法适用于所有情况,但得到拼接曲面比较复杂;提升法是一种较好的算法,拼接时逐个将代数曲面并入拼接曲面中。该算法既可得到最低次拼接方程又适用于一般情况。上述方法的优点是无需考虑代数曲面方程中的变元,仅考虑对新增单位区间变元的处理。因此,算法的计算量小,并且能够预先得到拼接曲面时的计算量。     

基于结式的曲面拼接与三维造型

针对很多几何造型是带有约束条件的曲面拼接问题,在线性连续同伦的基础上提出了利用非线性同伦连续计算拼接曲面以进行三维造型的方法。首先,根据得到的截面(切片)的位置及其曲线方程确定插值点并得到插值多项式;其次,将此插值多项式作为非线性连续同伦映射函数并分别代入主曲面和辅助曲面的多项式方程得到过渡曲面的方程;然后,仅将插值变元作为变元而主、辅助曲面方程的变元作为参数,利用Sylvester结式消去过渡方程中的变元得到关于主曲面的拼接方程即造型曲面。利用该方法能实现带有控制点的曲面造型以及多曲面约束的几何造型,而且它可以确定造型过程中的中间形状及中间形状的位置,从而更加具有实用性。     

代数拼接曲面的参数调整

针对代数曲面拼接中存在直接通过符号计算方法得到的拼接曲面有时不能满足实际拼接需求的问题,提出2种对二次曲面的拼接曲面进行调整的方法:1)计算拼接曲面之前,在构造的方程中加入参数,然后利用结式能够对含有参数的代数方程进行消元的性质得到带有参数的过渡曲面,调整参数的值改变从一个曲面过渡到另一个曲面的速度使得曲面形状改变;2)在计算出结式后,通过增加补偿参数或函数使得曲面的形状改变.文中还从理论上分析并证明了这2种方法可以保持原来拼接曲面光滑连续性的阶数.实验结果表明,文中方法具有很强的通用性且易于实现.     

插值曲率线与特征线的B样条曲面构造

插值三维线框模型的曲面构造是几何建模中的一个重要研究问题.对于给定的三维线框模型,利用B样条乘积理论、微分几何的基础知识以及薄板样条能量,提出一种构造插值三维线框模型的B样条曲面的算法.首先将线框模型中的曲线分为曲率线(曲面以该线为曲率线)、特征线(曲面在该线处为G0连续)及光滑拼接线(曲面在该线处为G1连续),并对于曲率线及光滑拼接线推导了B样条曲面控制顶点所满足的条件;然后利用薄板样条能量求解出满足约束条件的光顺B样条曲面.上述算法能够构造出更光顺的曲面,被广泛地应用于B样条曲面构造领域.通过对若干模型进行测试,结果验证了文中算法的正确性与有效性.     

边界满足C0或C1连续条件的光顺过渡面的构造

针对联结两个曲面片的过渡曲面构造问题,使用偏微分方程中的热传导方程,详细研究了如何构造边界满足C⁰或C¹连续条件的光顺过渡面的偏微分方程模型,讨论了初始曲面及方程参数对光顺过渡面的影响。     

三角网格上五次组合形式的代数曲面重构

提出了三角网格上代数曲面重构的一种方法。构造三个与任意两条边界GC1光滑拼接,与另一条边界GC0拼接的四次代数曲面,将这三个四次代数曲面分别与相应截面相乘并作线性组合,即可得到与三条边界光滑拼接的一个具有组合形式的五次代数曲面。所构造代数曲面具有二次精度、较好局部性、计算复杂度低、较大灵活性等优点。     

多项式混合曲线曲面方法构造

针对混合曲线表示及其求导和求积困难的问题,通过计算构造出一种多项式混合曲线曲面形式.当待混合曲线是多项式时,混合曲线也为多项式形式.该多项式混合公式可以推广得到任意参数连续C(n)和几何连续G(n)的混合曲线曲面.另外,在得到的混合曲线曲面族中构造出了新的更优能量光顺方程,通过设置参数可得到合适的混合曲线曲面.实验结果表明,文中提出的混合曲线曲面造型方法稳定、有效.     

光顺过渡面的热传导方程-能量优化构造方法

首先运用热传导方程、初值条件和带有固定边界的边值条件,建立过渡面的偏微分方程模型.再对方程像空间中的曲面簇,采用关于时间t的曲面能量表达式作为曲面光顺准则,建立起满足热传导方程的光顺过渡面的优化构造模型,即带有固定边界的光顺过渡面的热传导方程-能量优化构造模型,此模型的解即为满足连续性和光顺性要求的过渡面.数值实验表明这种光顺过渡面的构造方法是可行与有效的.     

PDE造型方法在复杂曲面设计中的应用

研究了偏微分方程曲面造型方法在飞机外形设计中的应用.该飞机模型的机翼具有边条,因而给曲面造型带来一定的困难.本文应用周期PDE曲面片,构造出了机身与机翼之间G1光滑拼接的过渡面.同时,用PDE方法构造出机身与前小翼及尾翼间的过渡面.实践表明,PDE方法在光滑拼接过渡面的设计中简便实用.     

用分片代数曲面构造管道曲面的过渡曲面

借助围绕一个顶点处代数曲面的光滑拼接条件,提出并研究了用分片代数曲面构造三通管道的过渡曲面问题。首先对空间区域进行适当的剖分以确定分片代数曲面的定义区域。然后,通过求解一个线性方程组来构造出光滑拼接的分片代数曲面,同时还了在代数曲面片的Ｂ－Ｂ表示下,Ｂｅｚｉｅｒ纵标对过渡曲面的形状的局部控制问题。结果表明,用分片代数曲面构造过渡曲面不仅可以降低曲面的次数,而且更有利于曲面形状的控制。     

Controllable C1 continuous blending of time-dependent parametric surfaces

This paper proposes the concept of blending time-dependent varying surfaces, and develops a new method to create a controllable C1 continuous blending surface between primary parametric surfaces whose position and shape change with time. We treat it as a boundary-valued problem defined by the mathematical model of a vectored dynamic fourth-order partial differential equation subjected to time-dependent C1 continuous blending boundary constraints. High performance blending surface generation is achieved through the development of an approximate analytical solution of the mathematical model. We investigate the accuracy and efficiency of the solution, study the effective shape control of the blending surfaces, and apply the obtained solution to tackle surface blending problems. The applications demonstrate that our proposed approach is very effective and efficient in dealing with controllable C1 continuous surface blending between time-dependent varying parametric surfaces.     

Generating Blending Surfaces with a Pseudo-Lévy Series Solution to Fourth Order Partial Differential Equations

In our previous work, a more general fourth order partial differential equation (PDE) with three vector-valued parameters was introduced. This equation is able to generate a superset of the blending surfaces of those produced by other existing fourth order PDEs found in the literature. Since it is usually more difficult to solve PDEs analytically than numerically, many references are only concerned with numerical solutions, which unfortunately are often inefficient. In this paper, we have developed a fast and accurate resolution method, the pseudo-Lévy series method. Due to its analytical nature, the comparison with other existing methods indicates that the developed method can generate blending surfaces almost as quickly and accurately as the closed form resolution method, and has higher computational accuracy and efficiency than existing Fourier series and pseudo-spectral methods as well as other numerical methods. In addition, it can be used to solve complex surface blending problems which cannot be tackled by the closed form resolution method. To demonstrate the potential of this new method we have applied it to various surface blending problems, including the generation of the blending surface between parametric primary surfaces, general second and higher degree surfaces, and surfaces defined by explicit equations.     

一种带形状参数的奇异混合拟Bézier曲线

利用权的思想并结合奇异混合技术,对传统的拟Bézier曲线进行扩展,构造了一种带形状参数的奇异混合拟Bézier曲线。首先将奇异混合函数和三角多项式空间的拟三次Bézier基函数相结合得到奇异混合拟Bézier曲线的定义,进而根据奇异混合拟Bézier曲线的定义反推出奇异混合拟Bézier基函数;接着讨论了奇异混合拟Bézier基函数及其对应曲线的性质,并探究了奇异混合函数及参数对二者的影响;最后给出了奇异混合拟Bézier曲线曲面的设计实例。实验结果表明,与传统Bézier曲线相比,本文构造的曲线在具有传统Bézier曲线实用性质的同时还具有灵活的形状可调性,新曲线不仅能够精确表示二次曲线,并且在满足特定条件时曲线还能够达到G1及G2连续,将曲线运用张量积方法拓展到曲面还可以精确表示椭球面及球面。大量的分析以及实例表明,本文构造的曲线在几何造型设计中十分有效。     

形状调配中带参数的过渡曲线设计

为提高过渡曲线在端点处的连续阶,并赋予过渡曲线相对于固定基曲线的形状调 整能力,从过渡曲线的方程出发,根据预设的连续性目标反推调配函数需满足的基本条件,将 调配函数表达成 Bernstein 基函数的线性组合,组合系数待定,由基本条件和 Bernstein 基函数 的端点性质得出关于待定系数的方程组,解该方程组得出调配函数初步表达式,再借助Bernstein 基函数的升阶公式将初步表达式的次数提高两次,进而在表达式中引入自由参数。调配函数具 有对称性、中点性、单调性、有界性,分析了保证调配函数图形只存在唯一拐点的自由参数取 值范围。取一般参数时,过渡曲线在端点处可达拟 3 C 连续,取特殊参数时可达拟 4 C 连续,分 析了过渡曲线的形状特征,数值实例验证了方法的正确性和有效性。     

Blending surface generation using a fast and accurate analytical solution of a fourth-order PDE with three shape control parameters

In this paper, we propose to use a fourth-order partial differential equation (PDE) to solve a class of surface-blending problems. This equation has three vector-valued shape control parameters. It incorporates all the previously published forms of fourth-order PDEs for surface blending and can generate a larger class of blending surfaces than existing equations. To apply the proposed PDE to the solution of various blending problems, we have developed a fast and accurate resolution method. Our method modifies Naviers solution for the elastic bending deformation of thin plates by making it satisfy the boundary conditions exactly. A comparison between our method, the closed-form solution method, and other existing analytical methods indicates that the developed method is able to generate blending surfaces almost as quickly and accurately as the closed-form solution method, far more efficiently and accurately than the numerical methods and other existing analytical methods. Having investigated the effects that the vector-valued shape parameters and the force function of the proposed equation have on the blending surface, we have found that they have a significant influence on its shape. They provide flexible user handles that surface designers can use to adjust the blending surface to acquire the desired shape. The developed method was employed in the investigation of surface-blending problems where the primary surfaces were expressed in parametric, implicit, and explicit forms.     

利用形状参数构造保凸插值的双曲多项式B样条曲线

把一个参数化的奇异多边形与双曲多项式B样务按某一个因子调配，可自动生成带形状参数且插值给定平面点列的C^2（或G^1）连续的双曲多项式B样条曲线．把这一曲线的曲率符号函数写为Bernstein多项式形式，并利用Bernstein多项式的非负性条件，得到形状参数的合适取值来保证样条曲线对插值点列的保凸性．此方法简单、方便，无需解方程组或迭代计算，生成的插值曲线具有较均匀的曲率．大量实例验证了算法的正确与有效．     

应用NURBS曲面磨光多面体

本文应用ＮＵＲＢＳ曲面磨光多面体,产生了处处Ｃ′连续的过渡曲面．多面体的磨光分为边的磨光和顶点的磨光两种情形,边的磨光相对较容易,而顶点的磨光则很困难．本文所采用的应用ＮＵＲＢＳ曲面磨光多面体的顶点和边的方法,不仅可以统一实现二者的磨光操作,而且方法简单且统一,产生了Ｃ′连续的过渡面．较之以前的方法,首先,利用ＮＵＲＢＳ曲面可以精确地描述对边磨光所用的柱面（等半径或非等半径）,其次,在对顶点的磨光中,同以往的方法不同,将与该顶点相邻的边的过渡曲面相互分离,并首次引入了“补面”的概念,使得对该点所产生的过渡曲面处处Ｃ′连续．本算法首先构造用以磨光多面体顶点和边的ＮＵＲＢＳ曲面的边界曲线网络图产生边界曲线的控制点及其权值（ＮＵＲＢＳ表示）,然后依据连续性准则,产生ＮＵＲＢＳ曲面的控制信息．     

带形状参数的双三次三角多项式Coons曲面片

给出一类含参数的三角多项式混合函数,在此基础上构造一类三角多项式混合Coons曲面片,提出带形状参数的双三次三角多项式Coons曲面片的表达式。所构造的曲面不仅具有双三次Coons曲面片的相似的结构,可以通过改变参数,得到不同的曲面片,而旦还能精确地表示圆环面、球面、椭球面等二次曲面。