用向量求二面角大小的五种方法

在用两个面的法向量的夹角求二面角的大小时,通常需要判断二面角的大小与两个面的法向量的夹角是相等还是互补的关系,但“相等”还是“互补”这个问题始终困扰着我们,即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决．结合自己的教学实践经验,给出利用向量工具求解二面角大小的五种方法,从而有效地解决了上述难点．     

法向量与二面角大小关系的判定

用法向量求二面角的大小时,求得的两个半平面法向量的夹角与二面角大小是相等还是互补,往往困扰着我们．本文就这两种角之间的关系,给出判定方法,并举例说明方法的运用．     

利用法向量判定二面角的大小

利用法向量求二面角时,两平面的法向量所成角与二面角是“相等”还是“互补”成为难点和关键,文[1]、文[2]引入“卦限向量”来判定,本文依托线性规划中二元一次不等式表示平面区域的判定方法,运用“类比法”得到利用法向量求解二面角的一种简洁有效的方法．     

一个不可缺少的环节

利用二面角的两个平面的法向量的夹角求二面角的平面角是一种常用的通法，它不需作出二面角的平面角，直接通过计算解决问题，因每个平面的法向量有两种不同的方向，两法向量的夹角一共有4种情况，如图1-4所示，对图1、2情形，二面角的平面角等于法向量的夹角；对图3、4情形，二面角的平面角与法向量的夹角互补，法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补．具体解题时求出两法向量后，要先判断它们的方向，再根据它们的方向判定它们的夹角与平面角是相等还是互补．我们在解题时常常忽视这一环节，连高考题的标准答案也不例外（如下文例2），这是一个必不可少的环节，在解题时要明确书写表达出来．     

平面法向量在求角与距离中的应用

高中数学教材引入了向量，根据向量的知识我们知道，平面与平面所成的二面角与这两个平面的法向量所成的角相等或互补．于是我们可得。     

取“等”还是取“补”——求二面角大小释疑

随着新课程改革的深入,用向量法求二面角越来越重要了.它不仅能最大限度地避开思维的高强度转化和添加各种辅助线的困难,而且还将灵活的逻辑思维推理转化为机械的代数运算．但教材在处理用向量法求二面角大小时,对两个面的法向量所成角与二面角大小是相等还是互补的判断,不好操作．     

一个判定方法的改进

文[1]给出了二面角与其法向量所成角的关系的一种巧妙的判定方法,即当法向量的方向同时指向二面角的内部或外部时,二面角与其法向量所成角为互补关系;当法向量的方向一个指向二面角的内部,一个指向二面角的外部时,二面角与其法向量所成角为相等关系.此法不仅容易理解,且具有较强的实用性,但文[1]在如何判定法向量方向为同内同外或一内一外时,未给出具体的判定方法,而是通过观察图形作出判断,此法学生不易接受,也容易产生误判.     

利用“棱法向量”求二面角

二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角是"相等"还是"互补"的问题,一直困扰着大家.本文从二面角的定义出发,利用"棱法向量"求二面角,有效地解决了这个问题.     

向量法解决二面角大小问题的一点改进

向量法是研究二面角问题的有效工具,在应用中,学生困惑于两点:一、二面角的平面角的大小与其两个半平面法向量的夹角的是相等还是互补;二、部分学生因计算不过关,求平面的法向量时容易出错.基于学生出现的两个问题,笔者进行了思考研究,为学生出现的两个问题的解决做出改进办法.     

例析向量法求二面角的大小

用平面法向量求二面角大小,难点在于判断是"相等"还是"互补",试题一般都给出了平面法向量方向的判定方法,虽然简单可行,还要     

利用空间向量求二面角的判定方法

我们常用空间向量的方法求解立体几何的问题,在求解二面角α-l-β的大小时,常采用下面方法:设n₁,n₂分别为平面α,β的法向量,则两个法向量夹角的余弦值为cos〈n₁,n₂〉=（n₁·n₂）/（|n₁|·|n₂|）,进而求出两个法向量夹角〈n₁、n₂〉,而"二面角α-l-β的大小"与"两个法向量夹角〈n₁,n₂〉"相等或者互补.有些时候,题目     

利用向量度量二面角时应注意的两个问题

利用向量的数量积公式(?)求解二面角时,要弄清楚以下两方面的问题:(1)向量(?)、(?)的含义是什么? (2)二面角θ与向量(?)、(?)的夹角〈(?)〉有什么关系?公式中的向量(?)、(?)在实际应用中有两层     

空间平面向量方向判定的两种方法

二面角的平面角是高考的一个重点内容,也是热点内容,怎样利用平面的法向量求二面角的平面角呢？我们知道二面角的大小与法向量的夹角的关系＂同内同外是互补,一内一外是相等＂,关键是判定两个平面的法向量相对于二面角的面的方向,当平面与空间坐标系中的三个平面平行或重合时,平面的法向量很容易判定.下面介绍除此之外的平面的法向量的方向的两种判定方法.     

巧用空间向量求解二面角大小

新教材引入空间向量,大大降低了处理立体几何相关角的求解难度．但求解二面角时还需根据图形判断其平面角的范围．这又添加了难度．本文阐述巧用空间向量及其相关运算顺利且准确求解二面角大小．     

利用向量法解二面角问题研究

二面角是求解立体几何问题的一个"瓶颈",向量法是解决二面角问题的有效方法,向量法求二面角通常有三种转化方式,即先作平面角再求解;利用法向量求解;转化为异面直线夹角再求解.研究用向量法解决立体几何二面角问题,能提高学生的解题能力.     

选择法向量方向，准确求解二面角

利用向量法求证空间位置关系及求解距离与角为大家所熟知,cos<→n1,→n2>＝→n1·→n2→n1││→n2求出余弦值后,有时不能确定究竟是钝二面角还是锐二面角,仅仅是通过观察,凭直觉来判断是钝角还是锐角.事实上,我们在设置法向量时,可以通过选择法向量的方向来准确求解二面角的大小.     

换一对法向量，再求二面角

利用法向量求二面角时,两半平面的法向量所成角与二面角"相等"或"互补",如何取舍?没有既方便又严谨的判别方法.有些教科书[1]上只是"结合图"观察决定取"锐角"或"钝角",有违数学的严密性.     

利用向量积巧求法向量解决二面角问题

纵观历年高考试题,二面角问题在立体几何解答题中占有很大的分量;而二面角问题又因其灵活性极强、计算量较大的特点成为学生望而生畏的一类问题．本文介绍一种利用向量积求法向量解决二面角的方法,精简了分析计算的过程、省去了判断法向量方向的步骤,便于在短时间内求解二面角．     

浅谈向量法求二面角

求二面角是立体几何的重点,用“从形到形”地传统做法需要学生作图能力较强。立体几何的理论知识丰富,对多数学生来说比较困难．用向量法求二面角操作较简单．学生容易掌握．本文立足于二面角的求法,并巧妙利用向量知识、两条异面直线所成的角、两个平面内所在直线的方向向量所成的角、两个平面法向量所成的角很快地求出二面角的值,让学生掌握起来简单易行．     

新课标下利用空间向量求二面角大小的几种方法

二面角是空间几何中重要的知识之一,也是三种空间角中比较难求的一个.而在新课程的课本中除了必修二课本中学到了传统几何的做法以外,在选修2-1中课本还提供了用空间向量求二面角大小的方法.但由于空间向量所成角的范围和二面角的范围都是[0,π],这给二面角大小是平面的法向量所成角还是法向量所成角的补角的判断产生了困难.下面作者就自己在教学过程中,和学生共同探讨中产生的几种用空间向量解二面角的方法进行评说,希望对大家的教学有一些帮助.1利用空间向量数量积求二面角平面角的大小在传统的立体几何中,在作出并且证明了二面角的平面角…