基于圆平均的带参数非线性细分法

为了使细分法具有更多可控性,提出一种基于圆平均带参数的非线性细分法.首先介绍一种基于2点及其法向量对的非线性加权平均,即圆平均;然后将线性细分法改写为线性平均的重复binary细分,并用圆平均替代线性平均,得到了新的带参数非线性4点插值细分法和3点逼近细分法;最后分析了新细分法的收敛性、保圆性、C1连续性.数值例子表明,当初始控制多边形的长度变化较大时,利用该细分法产生的极限曲线可以避免自交;同时,参数和初始法向量的选取可有效地控制极限曲线的形状,由曲率变化图可知,该细分法产生的极限曲线比线性4点插值细分法更加光顺.     

静态ternary逼近细分格式的连续性分析和构造

提出了一般的三点三重、四点三重逼近细分格式,利用稳定细分格式Ck连续的充要条件,分析了细分法各阶连续时参数的取值范围。利用提出的一般细分法,可以造型光滑逼近曲线;当某些细分参数取特殊值时,还可以用来造型插值曲线。为便于应用,还对Hassan的3点ternary逼近细分法进行了改进,使其带有一个全局张力参数,通过它更易控制曲线的形状。在全局张力参数的一定范围内可以生成C1,C2连续的极限曲线。     

带法向约束的圆平均非线性细分曲线设计

目的 对采样设备获取的测量数据进行拟合,可实现原模型的重建及功能恢复。但有些情况下,获取的数据点不仅包含位置信息,还包含法向量信息。针对这一问题,本文提出了基于圆平均的双参数4点binary非线性细分法与单参数3点ternary插值非线性细分法。方法 首先将线性细分法改写为点的重复binary线性平均,然后用圆平均代替相应的线性平均,最后用加权测地线平均计算的法向量作为新插入顶点的法向量。基于圆平均的双参数4点binary细分法的每一次细分过程可分为偏移步与张力步。基于圆平均的单参数3点ternary细分法的每一次细分过程可分为左插步、插值步与右插步。结果 对于本文方法的收敛性与C¹连续性条件给出了理论证明;数值实验表明,与相应的线性细分相比,本文方法生成的曲线更光滑且具有圆的再生力,可以较好地实现3个封闭曲线重建。结论 本文方法可以在带法向量的初始控制顶点较少的情况下,较好地实现带法向约束的离散点集的曲线重建问题。     

五点二重逼近细分法

提出了一种新的构造曲线的算法——五点二重逼近细分法。利用细分格式 的生成多项式讨论了该细分格式的一致收敛性及Ck 连续性。该细分格式带有一个张力参数 μ, 通过选取不同的μ值,可以分别生成C1~C5 连续的极限曲线。特别是当μ=9/256 时, 细 分格式生成的极限曲线可以达到C7 连续。最后给出了五点二重逼近曲线细分的实例,表明 了这种细分格式是有效的。     

一类多参数的曲线细分格式

构造了一类收敛的多参数差分格式,根据细分格式和差分格式的关系以及连续性条件可得到任意阶连续的多参数曲线细分格式.通过选取合适的参数可以得到一些经典的曲线细分格式,如Chaikin格式、三次样条细分格式和四点插值格式等;同时设计了一种C1连续的不对称三点插值格式,可以生成不对称的极限曲线.给出了同阶差分格式线性组合的性质,从而可设计出更多收敛的多参数曲线细分格式.     

基于插值细分的逼近细分法

通过在Hassan的四点三重插值细分法中引入一个偏移变量,推导出了一种逼近细分法,从而使三重逼近细分和插值细分统一到一个细分格式.该方法利用细分格式的生成多项式,在理论上分析了提出的细分格式的一致收敛性和Ck连续性;通过对细分格式中参数u取不同的值,可对生成的极限曲线形状进行控制.数值实验结果表明,文中方法是合理有效的.     

一类由Laurent多项式诱导的带参数二重细分

为了提高细分曲线的设计灵活性,根据Laurent多项式与细分生成多项式的关系,构造一个可以生成一类多参数细分格式的Laurent多项式.该多项式生成的格式包含许多现有的对称细分,可以用来构造非对称细分;针对一种三参数五点细分格式,分析其产生的极限曲线的光滑性和连续性.通过数值实例分析特定情形下参数对极限曲线的影响,并说明非对称细分有时比对称细分逼近效果更好.     

细分参数对细分曲线形状的控制作用分析

多数有关细分法的文献侧重于研究细分法的构造、收敛性光滑性分析及其在光滑曲线曲面造型中的应用,少有文献致力于细分参数对细分曲线形状影响的理论分析。首先引入仿射坐标的观点,从几何直观的角度对三点ternary插值细分法中细分参数的几何意义进行研究。接着通过对细分法的C0和C1参数域及新顶点域的等价描述,从理论化的角度对细分参数对细分曲线形状的局部和整体控制作用进行分析,描述它们对细分曲线行为的影响。在给定初始数据的条件下,可通过对形状参数的适当选择来有的放矢地实现对三点ternary插值细分曲线曲面的形状调整和控制。该结果可用于工业领域中产品的外形设计及形状控制。     

一类保细节特征的双参数m重融合型细分

基于B样条的光滑性,利用Laurent多项式与细分生成多项式之间的关系,构造出可生成一类m重融合型细分格式的Laurent多项式.构造的Laurent多项式不仅包含了较多经典格式,还可衍生出C~3连续且保持细节特征的新格式;特别地,分析了双参数四点三重融合型格式的支集和连续性,并给出和证明了格式C~3连续的充分必要条件.最后通过大量数值实例展示了参数对极限曲线的影响;对比图例表明,文中格式生成的极限曲线能较好地保持细节特征.     

带松弛参数的Hermite插值细分

为了精确表示分别由{1,x,x2,x3},{1,x,esx,e-sx}和{1,x,eisx,e-isx}张成的线性空间,提出一类Hermite插值的动态细分格式,并证明了它至少是C1收敛的.该细分格式提供了一个松弛参数,当恰当地选择松弛参数时,该细分格式可以生成三次多项式曲线、三角曲线和双曲曲线;特别地,能够精确描述圆锥曲线.最后给出一些实例来说明松弛参数和切向量对细分曲线的影响.     

基于顶点法向量约束的Catmull-Clark细分插值方法

提出一种基于顶点法向量约束实现插值的两步Catmull-Clark细分方法.第一步,通过改造型Catmull-Clark细分生成新网格.第二步,通过顶点法向量约束对新网格进行调整.两步细分分别运用渐进迭代方法和拉格朗日乘子法,使得极限曲面插值于初始控制顶点和法向量.实验结果证明了该方法可同时实现插值初始控制顶点和法向量,极限曲面具有较好的造型效果.     

基于形状控制的细分曲面的局部渐进插值方法

提出一种基于形状控制的 Catmull-Clark 细分曲面构造方法,实现局部插值任意拓扑的四边形网格顶点。首先该方法利用渐进迭代逼近方法的局部性质,在初始网格中选取若干控制顶点进行迭代调整,保持其他顶点不变,使得最终生成的极限细分曲面插值于初始网格中的被调整点;其次该方法的 Catmull-Clark 细分的形状控制建立在两步细分的基础上,第一步通过对初始网格应用改造的 Catmull-Clark 细分产生新的网格,第二步对新网格应用 Catmull-Clark 细分生成极限曲面,改造的 Catmull-Clark 细分为每个网格面加入参数值,这些参数值为控制局部插值曲面的形状提供了自由度。证明了基于形状控制的 Catmull-Clark 细分局部渐进插值方法的收敛性。实验结果验证了该方法可同时实现局部插值和形状控制。     

Surface interpolation of meshes by geometric subdivision

Subdivision surfaces are generated by repeated approximation or interpolation from initial control meshes. In this paper, two new non-linear subdivision schemes, face based subdivision scheme and normal based subdivision scheme, are introduced for surface interpolation of triangular meshes. With a given coarse mesh more and more details will be added to the surface when the triangles have been split and refined. Because every intermediate mesh is a piecewise linear approximation to the final surface, the first type of subdivision scheme computes each new vertex as the solution to a least square fitting problem of selected old vertices and their neighboring triangles. Consequently, sharp features as well as smooth regions are generated automatically. For the second type of subdivision, the displacement for every new vertex is computed as a combination of normals at old vertices. By computing the vertex normals adaptively, the limit surface is G¹ smooth. The fairness of the interpolating surface can be improved further by using the neighboring faces. Because the new vertices by either of these two schemes depend on the local geometry, but not the vertex valences, the interpolating surface inherits the shape of the initial control mesh more fairly and naturally. Several examples are also presented to show the efficiency of the new algorithms.     

Conjugate-Gradient Progressive-Iterative Approximation for Loop and Catmull-Clark Subdivision Surface Interpolation

Loop and Catmull-Clark are the most famous approximation subdivision schemes, but their limit surfaces do not interpolate the vertices of the given mesh. Progressive-iterative approximation (PIA) is an efficient method for data interpolation and has a wide range of applications in many fields such as subdivision surface fitting, parametric curve and surface fitting among others. However, the convergence rate of classical PIA is slow. In this paper, we present a new and fast PIA format for constructing interpolation subdivision surface that interpolates the vertices of a mesh with arbitrary topology. The proposed method, named Conjugate-Gradient Progressive-Iterative Approximation (CG-PIA), is based on the Conjugate-Gradient Iterative algorithm and the Progressive Iterative Approximation (PIA) algorithm. The method is presented using Loop and Catmull-Clark subdivision surfaces. CG-PIA preserves the features of the classical PIA method, such as the advantages of both the local and global scheme and resemblance with the given mesh. Moreover, CG-PIA has the following features. 1) It has a faster convergence rate compared with the classical PIA and W-PIA. 2) CG-PIA avoids the selection of weights compared with W-PIA. 3) CG-PIA does not need to modify the subdivision schemes compared with other methods with fairness measure. Numerous examples for Loop and Catmull-Clark subdivision surfaces are provided in this paper to demonstrate the efficiency and effectiveness of CG-PIA.     

A Colour Interpolation Scheme for Topologically Unrestricted Gradient Meshes

Gradient meshes are a 2D vector graphics primitive where colour is interpolated between mesh vertices. The current implementations of gradient meshes are restricted to rectangular mesh topology. Our new interpolation method relaxes this restriction by supporting arbitrary manifold topology of the input gradient mesh. Our method is based on the Catmull‐Clark subdivision scheme, which is well‐known to support arbitrary mesh topology in 3D. We adapt this scheme to support gradient mesh colour interpolation, adding extensions to handle interpolation of colours of the control points, interpolation only inside the given colour space and emulation of gradient constraints seen in related closed‐form solutions. These extensions make subdivision a viable option for interpolating arbitrary‐topology gradient meshes for 2D vector graphics.     

法向约束的隐式曲面多边形化

提出一种隐式曲面多边形化的方法,将隐式曲面的多边形化分为2个阶段:首先根据法向约束对隐式曲面进行采样,得到稳定的采样粒子表示;然后在每个采样粒子处沿法线正负方向分别在隐式曲面内部和外部延伸一段距离,得到2个曲面法向附加点.将法向附加点和采样顶点进行四面体化,删除法向顶点及其相关联的边,最终得到隐式曲面的三角形网格模型.最后用实例表明了该方法的有效性.     

形状可调的Loop 细分曲面渐进插值方法

针对Loop 细分无法调整形状与不能插值的问题,提出了一种形状可调的Loop 细分 曲面渐进插值方法。首先给出了一个既能对细分网格顶点统一调整又便于引入权因子实现细分曲 面形状可调的等价Loop 细分模板。其次,通过渐进迭代调整初始控制网格顶点生成新网格,运 用本文的两步Loop 细分方法对新网格进行细分,得到插值于初始控制顶点的形状可调的Loop 细分曲面。最后,证明了该方法的收敛性,并给出实例验证了该方法的有效性。     

带法向量的曲面简化

提出一种网格曲面简化方法.为了得到简化后曲面好的显示效果,在简化时考虑保持曲面特征和曲面顶点法向量的计算.把提取出来的曲面特征加到网格曲面中,在简化的同时利用了法向量的经纬度表示为法向量的计算提出了显式表达式,并把经纬度表示用在简化曲面的加细上.最后的实验结果表明此方法得到好的显示效果.     

Surface modeling with ternary interpolating subdivision

In this paper, a new interpolatory subdivision scheme, called ternary interpolating subdivision, for quadrilateral meshes with arbitrary topology is presented. It can be used to deal with not only extraordinary faces but also extraordinary vertices in polyhedral meshes of arbitrary topologies. It is shown that the ternary interpolating subdivision can generate a C¹-continuous interpolatory surface. Some applications with open boundaries and curves to be interpolated are also discussed.