数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

巧用切线的性质定理

切线是和圆有唯一公共点的直线,它的性质定理是:圆的切线垂直于经切点的半径。对于某些与圆的切线有关的证明问题,巧用切线性质定理,可找到很好的解题途径。一、线段垂直问题图1例1　如图1,AB为⊙O的直径,CE切⊙O于C点,过B点的直线BD交直线CE于D点,如果BC平分∠ABD,求证:BD⊥CE证明:连OC∵CE切⊙O于C点　∴OC⊥CE∵OB=OC　∴∠OCB=∠OBC∵∠OBC=∠DBC∴∠OCB=∠DBC,OC∥BD　∴BD⊥CE图2二、线段平行问题例2　如图2,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE,求证:BE∥…     

比例在几何证题中的应用

学习了《相似形》一章后，我们可以借助比例来证明很多类型的几何题．一、证明两线段相等例1如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于E，BM交CN于F．求证：CE＝CF．证明　由已知易得二、证明两角相等例2　已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC求证：∠B＝∠C．证明　　延长BA、CD交于点E（如图2）．三、证明线段不等例3　在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，DE交AC于点F．求证：AE＜AF．证明　　过B作BG∥EF交AC延长线于G（如图3），则AG＞AC＝AB．四、证明线段和…     

浅析一道几何题的证明方法

题目:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,过D点作DE⊥AC,垂足为E.BE交⊙O于F.AF的延长线交DE于G.求证:     

数学奥林匹克问题

本期问题 初189 如图1，在△ABC中，AB：BC：CA=3：5：4，⊙O1、⊙O2是两个互相外切的等圆，且都与边BC相切，其中，⊙O1，又与边AB相切，⊙O2又与边AC相切．已知直线O1O2分别交两圆于点P、Q，分别过点P、Q作BC的垂线，垂足为M、N.求证：NC=2BM．     

中学生课外基本练习题

初中部分1.1分解因式：1.2父母年龄的和是子女年龄和的6倍，两年前父母年龄的和是子女年龄和的10倍，六年后父母年龄的和将是子女年龄和的3倍。问共有子女多少人？2.1解方程2.2如图，在四边形ABCD中，BH⊥AC，垂足分别是E、F、G、H．求证：DE DF＝DG BH．3.1如图，△ABC中，已知BC＝a，AD＝h，P是BC边上的一点，且PE∥DA，PF∥CA，如果设PC＝x,（1）用含x的代数式表示△PEF的面积；（2）当点P取在何处时，△PEF的面积最大？3.2如图，AC为⊙O的直径，ED⊥AC交⊙O于G，ET切⊙O于T．EC交⊙O于B，AB交ED于F．求证：…     

数学问题与解答

726．如图1，己知直线l与⊙O相离，AB为⊙O的直径，且AB⊥l，C为⊙O上异于A、B的一点，连AC交直线l于D，直线DE⊙O于E点．直线EB交直线l于F，直线AF交⊙O于G1直线GH//l，交⊙O于点H．求证：H、C、F三点共线．     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

数学奥林匹克问题

本期问题图1初167如图1,过⊙O外一点P引⊙O的两条割线PAB、PCD,分别交⊙O于点A、B、C、D,弦AD、BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交⊙O于点E、F,过点D作DM∥PF交⊙O于点M.求证:MB平分EF.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初168如图2,在等腰Rt△ABC中,D1为直角边AC上任意一点,D1G⊥B     

两圆外切的一个基本图形及其应用

学习平面几何,如果能积累一些重要的、常见的基本图形,熟悉它们的有关性质,对开拓解题思路,提高证题技巧是大有益处的.初中几何(人教版)第三册有这样一道题:题目如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.证明过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC     

数学综合题归纳与训练 二、几何综合题

几何综合题大多是圆与平行线、三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用 .同学们在总复习阶段 ,适量地研究一些不同类型综合题的解法 ,有助于对几何图形的识别 ,有助于加强对重要定理的理解 ,有助于所学知识的融会贯通 ,更有助于对不同类型习题解题规律的掌握 .图 1例 1　如图 1,AC切⊙O于点A ,AB、AD为⊙O的弦 ,AB =AC ,AD∥BC ,BC交⊙O于点E ,AO的延长线交BE于F ,AO与DE交于G .求证 :(1)四边形ADEC是平行四边形 ;(2 )EG2 =18CF·CB .证明 :(1)由已知 ,有∠B =∠C .又∠B =∠D ,则∠D =∠C .因为AD…     

一道由考试题的解法探究

题目（2013南京）如图1,AD是⊙0的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D．连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且〈BCP=〈ACD。     

借平行四边形解题

一、证明两条线段相等例１如图１，AD∥BC，若以梯形ABCD的边AB和对角线AC为边作ABEC，连结DE交BC于F．求证：DF＝EF．略证：过点D作DG∥AB交BC于G，连结GE，则四边形ABGD为，∴ABDG．∵四边形ABEC是，∴ABCE，∴DGCE，∴四边形DGEC为，∴DF＝EF．二、证不等量关系例２如图２，AD∥BC，BE＝CF，AB＝DC．求证：EF＞BC．略证：过点B、F分别作CF和BC的平行线交于G，连结GE交BC于H，则BE＝CF＝BG，∠１＝∠２＝∠３．∴△BEG为等腰三角形，∴BH⊥GE，∴GF⊥EG，故在Rt△GEF中，EF＞GF，即EF＞B…     

公切线在解两圆问题中的桥梁作用

<正>在解决有关两圆相切的问题时,公切线作为作辅助线,是解决问题的关键.当题目的已知条件中有两圆相切时,过切点作两圆的公切线,构造弦切角,从而架设两圆之间的桥梁,常常会使问题迅速获解.例1如图1,⊙O'与⊙O内切于点A,⊙O的弦BC切⊙O'于点D,AB、AC分别交     

一道中考几何题的多种解法

题目:如图1,AC切⊙O于C点,CP为⊙O直径,AB切⊙O于D,与CP延长线交于B.若AC=PC,求证: (1)BD=2BP; (2)PC=3BP. (1999,天津市中考题)     

对一道几何例题的思考

几何第二册P121有一道例题：例题已知⊙O1和⊙O2切于C,AB是两圆的外公切线。A、B是切点.求证：AC⊥BC关于这道题，证法较多，也较简单，为了便于对这道例题做进一步的研究，不妨采用下面的证明方法．证连O1O2并延长交⊙O1与⊙O2于M、N，如图1，连AM、AO1、BN、BO2，则O1A⊥AB,O2B⊥AB，∴OA1∥O2B．∵∠BAC＝∠AMC＝∠AO1C，∠ABC＝∠BNC＝∠BO2C，∴∠BAC＋∠ABC＝(∠AO1C＋∠BO2C）＝×180°＝90°，∴AC⊥BC．问题解决了，回味一下，图1中，因为MA⊥AC，BC⊥AC，∴AM∥BC．由于CB⊥BN，∴MA⊥BN（…     

以相似三角形为基点 探圆中等积式的证明

多年来 ,圆中等积式的证明问题 ,一直是各省市中考几何压轴题中的一种常见题型 .本文试以相似三角形作为问题化归的基点 ,通过三种代换 ,进而向基点转化的方法 ,对圆中等积式的常见类型的证法进行探讨 .1　基本型 :a·b=c·d或 ab =cd1.1　直接证相似例 1　已知 :如图 1,⊙O1 与⊙O2 内切于P点 ,过P点作直线交⊙O1 于A点 ,交⊙O2 于B点 ,C为⊙O1 上一点 ,过B点作⊙O2 的切线交直线AC于Q点 .求证 :AC·AQ =AP·AB .(2 0 0 4年武汉市中考题 )分析　要证AC ·AQ =AP ·AB △ACP∽△ABQ .连结PC ,过点P作两圆的外公切线MN ,则…     

有关圆的问题辅助线的作法

在解决圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,圆中辅助线的作法较多,变化万千,这里举例介绍几种常见的辅助线的作法.例1如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证证法:A一C平分∠DAB.连结BC.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠1 ∠B=90°.又AD⊥DC,∴∠ADC=90°,∴∠2 ∠3=90°,又DC为⊙O切线,∴∠3=∠B.由上可知:∠1=∠2,∴AC平分∠DAB.点拨当圆中出现直径时,常构造“直径上的圆周角”,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.证法二连结OC.∵DC为⊙O的切线,∴OC⊥DC.∵AD⊥DC,∴OC∥AD,…     

一个练习结论的类比推广和运用

练习题 如图1，PA切⊙O于A，弦AB，AC交OP于M，N，BC交OP于Q，求证：∠1=∠2←→∠3=∠4。     

与弧的中点有关的两个基本图形及应用

一、基本图形 基本图形1：如图1,A、B、C为⊙O上三点,点D为BC的中点,过点D作直线AB、AC的垂线,E、F分别为垂足,则AE=AF,BE=CF,DE=DF,AB＋AC=2AE=2AF．