Banach空间的凸性和光滑性及其应用

简要概述国际和国内 Banach空间理论的研究状况,综述对 Banach空间的凸性和光滑性所做的工作：用线性泛函的函数值作元素构成的行列式、单位球的切片、一致凸定义的形式以及特征函数等形式 ,分别刻划及定义空间的 k—严格凸、 (局部 )k—致凸、 k—强凸、 (局部 )近—致凸、近强凸等凸性以及 (局部 )k—致光滑, k—强光滑 (局部 )近－致光滑等光滑性,并讨论以上空间的关系及性质;给出弱 Banach— Saks性质的新特征,引入 B— NUC和 g— NUCε空间概念.证明：具有 Banach— Saks性质的近－致凸空间等价于 B— NUC空间、具有 Banach— Saks性质的 NUCε空间等价于 g— NUCε空间.举例说明非 k— NUC空间的 B— NUC空间的存在性;研究近强凸、近非常凸空间的几何性质、拓朴性质,并得到：近强凸空间中的度量投影具有上半连续性,近非常凸空间中的度量投影具有弱上半连续性.     

局部凸空间光滑的充分条件

研究局部凸空间的光滑性，给出光滑的一个等价定义，简化了徐天芳论中主要定理的证明，并给出一点为光滑点和强光滑点的充分条件。     

关于k-非常光滑的Banach空间

非常光滑的概念推广,给出了Banach空间中k-非常光滑性的定义.并讨论了它与光滑性、非常光滑性以及局部k-一致凸性之间的关系.     

赋范线性空间的伪光滑性

在本文中,我们引入赋范线性空间的伪光滑性概念,并建立若干关于伪光滑性的性质定理,最后指出,它是介于k—光滑性与近光滑性之间的一个新的光滑性概念。     

关于随机光滑点

提出随机赋范模中随机光滑点的概念,利用随机赋范模与经典赋范空间的联系,给出了随机光滑点和经典光滑点的关系。最后,利用有限生成随机赋范模的代数结构,给出了几个随机光滑点的基本性质。这些结果将进一步丰富随机赋范模几何学已有的内容。     

k-非常凸、k-非常光滑与(弱)中点局部k-一致光滑空间

引入推广的Banach空间的k-非常凸、k-非常光滑、(弱)中点局部k-一致光滑性的概念,讨论了它们与其它k-凸性(k-光滑性)之间的关系,证明k-非常凸性和k-非常光滑性具有对偶性质,(弱)中点局部k-一致光滑性与(弱)中点局部k-一致凸性具有对偶性质.     

Banach空间中k强光滑性与局部k一致光滑性

给出了X为k强光滑空间的等价条件及其性质,并指出二种局部k一致光滑性定义之间的关系.     

平均一致凸空间与平均一致光滑空间

引进平均一致光滑空间的概念,证明了引进的平均一致光滑空间与已有文献中引进的平均一致凸空间恰好是一对对偶概念,并且X*是平均一致凸空间当且仅当X是平均一致光滑空间,X*是平均一致光滑空间当且仅当X是平均一致凸空间.研究了平均一致光滑与其他光滑性之间的关系.     

关于端点与光滑点的一个注记

设X为Banach空间,X~*为X的共轭空间,以U(X),U(X~*)分别表示X、X~*的闭单位球。设x_0∈X,‖x_0‖=1,如果U(X)在x_0处有唯一的支撑超平面,则称x_0为U(X)的一个光滑点,U(X)的光滑点全体记为Sm(U(X))。由[1]知x_0为U(X)的光滑点当且仅当X的范数在x_0处是Gateaux可微的。对于一个Banach空间X,U(X)是否一定有光滑点呢?如果X是可分的,回答是肯定的。Mazur稠性定理表明,这时U(X)有光滑点并且Sm(U(X))为U(X)={x∈X;‖x‖=1}的剩余子集(residual subset)。     

对光滑空间的性质讨论

本文证明了如下一些结果1)如X是H-B光滑,且X*具有(k)性质,则X*具有(**)性质.2)设X为一致极光滑的Banach空间,则X*具有(k)性质.     

k-接近一致光滑Bananch空间

定义k-接近一致光滑模,利用其给出k-接近一致光滑(k-NUS)空间的概念,证明k-接近一致光滑空间与k-接近一致凸空间是对偶概念,同时引入具有wk*性质的空间,给出k-接近一致光滑空间的一个特征刻画,并讨论(k 1)-接近一致光滑空间与接近一致光滑和k-一致光滑(kUS)空间的关系.     

局部一致光滑空间与局部完全k光滑空间

讨论了局部一致光滑、局部完全k光滑、局部k一致光滑、一致极光滑与(WM)*性质的关系.利用Banach空间理论的方法,得到了自反局部一致光滑空间的一个充分必要条件.在自反空间假设下,得到了局部一致光滑空间的另一个充分必要条件.     

有关Musielak-Orlicz序列空间光滑性质的注记

给出了十分好用的Musielak—Orlicz序列空间光滑性的判别条件，并从点态角度给予了证明．同时，改进且纠正了文献[2]中主要结果．     

Banach空间的光滑性

本文引入了k—很光滑空间和弱完全k凸空间。k—很光滑空间是很光滑空间的推广。证明了Banach空间是极端光滑空间和k—很光滑空间的三个充分条件。     

特征函数与 Banach 空间的 k-光滑性

利用Ｂａｎａｃｈ空间的特征函数［１］及其对偶空间中的切片刻划ｋ－光滑点［２］与ｋ－强光滑点［２］，从而给出刻划Ｂａｎａｃｈ空间的ｋ－光滑性与ｋ－强光滑性的另外两种方法。     

具有可列个型值点的m阶光滑的插值函数及其构造方法

构造具有珂列个型值点和一定光滑性要求的插值函数，是解决一元函数极限与二元有限之关系的关键，首先讨论了具有可列个型值点的插值函数的光滑性问题：然后利用分析的方法构造了具有可列人型值点且具有一定光滑性要求的插值分段多项式，结论是无穷数列单调上升且收敛于Ｘ０／ｙｎ／是任给的无穷数列，则可以构造以（ｘｎ，ｙｎ）为型值点的五阶光滑的插值分段多项式（ｎ＝１，２，３，…）；并且应用该结论证明了一元函数极限与二元     

Banach空间凸性光滑性的进一步探讨(Ⅰ)各类光滑空间的等价性

引入和中点局部一致凸（弱中点局部一致凸）空间对偶的中点局部一致光滑（弱中点局部一致光滑）空间，讨论了它们的性质及其和已知光滑空间的联系，给出各种光滑性的一系列等价条件。     

2可光滑空间中的拟鞅变换

Ｂｕｒｋｈｏｌｄｅｒ利用Ｐｉｓｉｅｒ关于一致凸空间中鞅的结果讨论了空间的２可光滑性与鞅变换的一些性质之间的等价关系，本文证明了在２可光滑空间中拟鞅变换具有类似于鞅变换的一些性质，从而推广了Ｂｕｒｋｈｏｌｄｅｒ－Ｐｉｓｉｅｒ定理。     

k-非常光滑空间的若干新特征

利用局部自反原理,获得k-非常光滑空间的一个新特征:X是k-非常光滑空间当且仅当对(A)x∈S(X),有dimSx=r≤k且是X**的r-光滑点.此外,还深入研究了k-非常光滑空间,又得到了k-非常光滑空间的若干新特征.     

极大右光滑链

设k为一正整数,介绍了高度为k的极大右光滑(maximal right smooth extension, MRSE)链的概念,然后证明了高度为k的MRSE链可以看作高度k的光滑字的一种分割,对每一个正整数k都给出了高度为k的极大右光滑链的数量公式.对每一个正整数n,长度为n的光滑字的极小高度和极大高度的MRSE链是建立长度n的光滑字数量下确界和上确界的好工具.该方法简单、直观.