带法向约束的圆平均非线性细分曲线设计

目的 对采样设备获取的测量数据进行拟合,可实现原模型的重建及功能恢复。但有些情况下,获取的数据点不仅包含位置信息,还包含法向量信息。针对这一问题,本文提出了基于圆平均的双参数4点binary非线性细分法与单参数3点ternary插值非线性细分法。方法 首先将线性细分法改写为点的重复binary线性平均,然后用圆平均代替相应的线性平均,最后用加权测地线平均计算的法向量作为新插入顶点的法向量。基于圆平均的双参数4点binary细分法的每一次细分过程可分为偏移步与张力步。基于圆平均的单参数3点ternary细分法的每一次细分过程可分为左插步、插值步与右插步。结果 对于本文方法的收敛性与C¹连续性条件给出了理论证明;数值实验表明,与相应的线性细分相比,本文方法生成的曲线更光滑且具有圆的再生力,可以较好地实现3个封闭曲线重建。结论 本文方法可以在带法向量的初始控制顶点较少的情况下,较好地实现带法向约束的离散点集的曲线重建问题。     

基于圆平均的带参数非线性细分法

为了使细分法具有更多可控性,提出一种基于圆平均带参数的非线性细分法.首先介绍一种基于2点及其法向量对的非线性加权平均,即圆平均;然后将线性细分法改写为线性平均的重复binary细分,并用圆平均替代线性平均,得到了新的带参数非线性4点插值细分法和3点逼近细分法;最后分析了新细分法的收敛性、保圆性、C1连续性.数值例子表明,当初始控制多边形的长度变化较大时,利用该细分法产生的极限曲线可以避免自交;同时,参数和初始法向量的选取可有效地控制极限曲线的形状,由曲率变化图可知,该细分法产生的极限曲线比线性4点插值细分法更加光顺.     

曲线插值的一种保凸细分方法

为了弥补以四点插值细分方法为代表的线性细分方法在形状控制方面的缺陷,提出一种基于几何的插值型保凸细分方法.细分过程每一步中,每条边所对应的新控制顶点由原控制顶点及其切向共同确定;每点处的切向由其邻近的点所确定,并且随细分过程逐步调整.理论分析表明,该方法的极限曲线是G1连续的保凸曲线.如果所有的初始点取自圆弧段,则极限曲线就是该圆弧段.数值实例表明,采用文中方法得到的曲线较为光顺.     

一类多参数的曲线细分格式

构造了一类收敛的多参数差分格式,根据细分格式和差分格式的关系以及连续性条件可得到任意阶连续的多参数曲线细分格式.通过选取合适的参数可以得到一些经典的曲线细分格式,如Chaikin格式、三次样条细分格式和四点插值格式等;同时设计了一种C1连续的不对称三点插值格式,可以生成不对称的极限曲线.给出了同阶差分格式线性组合的性质,从而可设计出更多收敛的多参数曲线细分格式.     

非静态混合细分法

提出了一种含参数b 的非静态Binary 混合细分法,当参数取0、1 时,分别对应已 有的非静态四点C1 插值细分法及C-B 样条细分法。用渐进等价定理证明了对任意 (0,1]区间的 参数其极限曲线为C2 连续的。从理论上证明了细分法对特殊函数的再生性,及其对圆和椭圆等 特殊曲线的再生性,并通过实验对比说明了对任意的[0,1]区间的参数,该细分法都能再生圆和 椭圆等特殊曲线,而与其渐进等价的静态细分法则不具备该性质。将该细分法推广为含局部控 制参数的广义混合细分法,从而可以达到局部调整极限曲线的目的。     

双参数四点细分法及其性质

在经典4点插值细分法的基础上，提出一类既能造型光滑插值曲线，又能造型光滑逼近曲线的双参数4点细分法．采用生成多项式等方法对细分法的一致收敛性、C^k连续性及保凸性进行了分析，给出并证明了极限曲线存在、C^k连续及均匀控制顶点情形下保凸的充分条件．在给定初始数据的条件下，可通过对形状参数的适当选择来实现对极限曲线的形状调整和控制．     

四参数六点细分法

提出一类包含4个参数的六点细分法,它以双参数四点法和三参数六点法作为特殊情况,可以构造光滑插值曲线和光滑逼近曲线,并且可以通过调整4个参数的取值使得曲线达到C4连续。讨论了细分参数对细分法的收敛性及连续性的影响,给出了细分法Ck连续性的充分条件及一些数值算例。     

静态ternary逼近细分格式的连续性分析和构造

提出了一般的三点三重、四点三重逼近细分格式,利用稳定细分格式Ck连续的充要条件,分析了细分法各阶连续时参数的取值范围。利用提出的一般细分法,可以造型光滑逼近曲线;当某些细分参数取特殊值时,还可以用来造型插值曲线。为便于应用,还对Hassan的3点ternary逼近细分法进行了改进,使其带有一个全局张力参数,通过它更易控制曲线的形状。在全局张力参数的一定范围内可以生成C1,C2连续的极限曲线。     

基于插值细分的逼近细分法

通过在Hassan的四点三重插值细分法中引入一个偏移变量,推导出了一种逼近细分法,从而使三重逼近细分和插值细分统一到一个细分格式.该方法利用细分格式的生成多项式,在理论上分析了提出的细分格式的一致收敛性和Ck连续性;通过对细分格式中参数u取不同的值,可对生成的极限曲线形状进行控制.数值实验结果表明,文中方法是合理有效的.     

保形五次插值参数样条曲线

１．引 言 参数曲线的保形插值一直是计算几何中的一个重要研究课题［１－２］．目前已有的研究结果主要是分段插值，给每个参数曲线段以充分的限制使整个插值曲线达到Ｃ２（或Ｇ２－）连续并且具有保形性［３－８］．这种插值方法要么计算复杂要么曲线的形状无法作局部修改，使其在应用上受到限制． 对于一组有序的型值点列Ｐｉ（ｉ＝０，１，…，ｎ），在第二、三节，本文充分利用相邻四个型值点的几何信息，由其构造一段参数曲线，所有这些参数曲线段组成一条样条曲线．这种样条曲线具有两个重要的性质：凸包性和 Ｃ２连续性．在第四节，…     

The generation of circular arcs and conics by subdivision via averaging normal vectors

We propose a nonlinear interpolatory curve subdivision based on averaging normal vectors, which can reproduce circular arcs when straight edges exist in the original control polygon and generate conics when initial control points are sampled uniformly. Corresponding proofs and examples are also given for verifying the correctness of this scheme.     

基于双参数的几何细分法

提出一种基于两个参数的几何细分方法。首先,借助于标准型的二次有理Bézier 曲 线公式,以相邻的两个初始控制点及其切向量所在直线的交点作为该二次有理Bézier 曲线的控制 顶点;同时,选取分点参数值t  0.5,并以该曲线的权因子作为控制顶点的参数λ,计算新增控 制顶点。其次,定义每个顶点的临时切向量,以每点及其相邻两点确定该点的圆切向;引入切向 量的控制参数,从而确定该顶点新切向量的计算公式。然后,从理论上证明了该方法的保凸性 与收敛性。取定切向量参数=0,重新定义每步的权因子参数λ,其极限曲线是C1连续的分段二 次有理Bézier 曲线;令=1,在每一步骤中采用不同的权因子参数λ 求新增点,具有保圆性。最 后,通过一些实例说明了该方法的有效性。     

光滑曲线生成的一类保凸插值细分方法及其性质

在分析平面参数型离散点列凸性的基础上,提出了光滑曲线生成的一类局部保凸插值散细分方法,使得文献［１,２］提出的方法成为特例,当选取合适的参数时,文中格式能重视Ｄｙｎ的经典４点插值格式,还给出了一种可避免自绕且极限曲线是Ｃ＾１连续的改进格式,另外,还讨论了格式的一些有趣性质,并给出了一些实例。     

细分参数对细分曲线形状的控制作用分析

多数有关细分法的文献侧重于研究细分法的构造、收敛性光滑性分析及其在光滑曲线曲面造型中的应用,少有文献致力于细分参数对细分曲线形状影响的理论分析。首先引入仿射坐标的观点,从几何直观的角度对三点ternary插值细分法中细分参数的几何意义进行研究。接着通过对细分法的C0和C1参数域及新顶点域的等价描述,从理论化的角度对细分参数对细分曲线形状的局部和整体控制作用进行分析,描述它们对细分曲线行为的影响。在给定初始数据的条件下,可通过对形状参数的适当选择来有的放矢地实现对三点ternary插值细分曲线曲面的形状调整和控制。该结果可用于工业领域中产品的外形设计及形状控制。     

Curve subdivision with arc-length control

In this paper we present a new nonstationary, interpolatory, curve subdivision scheme. We show that the scheme converges and the subdivision curve is continuous. Moreover, starting with the chord length parametrization of the initial polygon, we obtain a subdivision curve parametrized by a multiple of the arc-length. The proposed method focuses on convexity preservation, limiting the oscillations of the subdivision curve and avoiding artifacts. A bound for the Hausdorff distance between the limit curve and the initial polygon is also obtained.     

Gregory-Qu算法与Hermite细分曲线构造法的比较

首先分别介绍了Gregory-Qu算法和Hermite细分曲线构造法的细分规则，以及各自生成C^1连续曲线的条件范围，通过对两种算法的比较得出：定常Gregory-Qu算法是定常Hermite细分算法的一个特例。Hermite细分曲线构造法不仅有更弱的C^1连续性的条件，而且生成C^1连续性光滑曲线的细分取点规则更加灵活。     

可再生混合高阶指数多项式的插值细分法

通过引入新的形状控制参数,提出一类可以精确插值混合型指数多项式的非静态插值细分法。其基本思想是,通过生成指数多项式空间的指数B样条细分法,得到具有相同空间再生性的插值细分法。与具有相同再生性的其他插值细分法相比,所提细分法具有更小的支撑与更大的自由度。从理论上对细分法的再生性进行了分析,并进一步通过图例分析了初始形状控制参数及自由参数对极限曲线的影响。最后展示了取特殊的初始形状控制参数时,所提细分法对于一些特殊曲线的再生性。     

Generalization of the incenter subdivision scheme

We introduce a new interpolatory subdivision scheme generalizing the incenter subdivision [8]. The proposed scheme is equipped with a shape controlling tension parameter, is Hermitian, and reproduces circles from non-uniform samples. We prove that for any value of the free parameter the limit curve is G¹ continuous. The scheme is shape preserving and avoids undesirable oscillations by producing curves with a finite number of inflection points at the regions where the control polygon suggests a change of convexity. Several examples are presented demonstrating the properties of the scheme.     

A 4-point interpolatory subdivision scheme for curve design

A 4-point interpolatory subdivision scheme with a tension parameter is analysed. It is shown that for a certain range of the tension parameter the resulting curve is C¹. The role of the tension parameter is demonstrated by a few examples. The application to surfaces and some further potential generalizations are discussed.