例谈解分式方程中的拆项意识

解分式方程的基本思想是去分母转化为整式方程,常用的转化途径是在方程的两边都乘以最简公分母.对于某些问题,利用拆项方法,可使解分式方程的过程巧妙、简捷.例1.解方程xx-5=xx--62解:不难发现,xx-5=(x-x-5)5 5=1 x-55,x-2x-6=(x-x6-)6 4=1 x-46∴1 5x-5=1 x-46∴x-55=x-46∴5(x-6)=4(x-5)解之,得x=10经检验,x=10是已知方程的解.例2.解方程x-4x-5-xx--65=xx--87-xx--98解:已知方程化为(1 1x-5)-(1 x-16)=(1 x-18)-(1 x-19)∴1x-5-x-16=x-18-x-19∴-1x2-11x 30=x2-1-71x 72∴x2-11x 30=x2-17x 72解之,得x=7.经检验,x=7是已知方程的解.例3.解…     

与分式方程的增根有关的问题

<正>在初中数学教材中先后出现了可化为一元一次方程的分式方程和可化为一元二次方程的分式方程的相关问题.其中,让学生一直感到困惑的是与增根有关的问题.下面就常见的几种情况加以分析.题型一、解分式方程例1(2008南京中考)解方程:2/x+1-x/x~2-1=0.错解方程两边同乘(x-1)(x+1),得2(x-1)-x=0.解这个方程,得x=2.所以,x=2是原方程的解.     

分式方程的增根及其应用

首先让我们来看一道例题:例:解分式方程2x 1 x-31=x26-1①.解:方程两边都乘以(x 1)(x-1),得2(x-1) 3(x 1)=6.解这个整式方程,得x=1.检验:当x=1时,(x 1)(x-1)=0,∴x=1是增根,故原分式方程无解.从解方程的过程可以看到:为解分式方程,需要在①的两边都乘以最简公分母(x 1)(x-1),达     

分式方程中一个例题的纠正及其思考

某出版社的义务教育标准实验教科书《数学》(七年级下册)“分式方程”一节中的例1如下:例1 解分式方程(x+3)/(2x-4)=3/4.解:方程两边同乘4(2x-4),得4(x+3)=3(2x-4).去括号,得4x+12=6x-12.移项,合并同类项,得2x=24.∴x=12.把 x=12代入原方程检验,     

一元一次方程错解例析

在一元一次方程的求解过程中,一些初学者由于忽视了变形前后的同解性,常会出现这样那样的错误.现就几类比较常见的病例,简要分析如下.一、解题格式不对致错例1解方程5x-2=3x 4.错解:5x-3x=4 2=2x=6=x=3.评析:这里混淆了方程的同解变形和代数式的恒等变形,解方程进行同解变形时不能用等号连等.二、移项不变号致错例2解方程5x 1=3x 7.错解:5x 3x=7 1.解得:x=1.评析:移项法则掌握不牢,方程中的项从等式的一端移到另一端时,一定要改变原来的符号.三、去括号忘记法则致错例3解方程5x-2(8-x)=6x-3(4-x).错解:5x-16-x=6x-12-x.移项、合并同类项,得-…     

分式方程错解剖析

分式方程是初中数学的重要知识点,也是中考命题的热点.初学分式方程,有部分同学或因概念模糊、或因考虑不周、或因思维定势,解题时常会发生各种各样的错误.现就比较常见的问题分类剖析如下,望同学们能引以为鉴,防患于未然.一、忽视对方程根的检验例1解方程xx-2-3=2x-2.错解:去分母,得x-3(x-2)=2.去括号、移项、合并同类项,得-2x=-4.解得x=2.所以,原方程的解为x=2.剖析:分式方程转化为整式方程,     

巧移项 妙解题

移项是解方程的一个重要步骤,灵活运用移项的方法可以使运算简化.现举几例说明.例1解方程:3-x=4x-2.解法一:移项,得-x-4x=-2-3.合并同类项,得-5x=-5.系数化为1,得x=1.解法二:移项得:3+2=4x+x.合并同类项,得5=5x.系数化为1,得x=1.同学们把两种解法比较一下,哪种方法更好些?显然解法二更好,这样可避免符号出现差错.例2解方程:x-13〔x-13(x-9)〕=19(x-9).分析:先去中括号,把右边的19(x-9)作为一个整体移到左边,这样比较简便.解:去中括号,得x-13x+19(x-9)=19(x-9).移项,得x-13x+19(x-9)-19(x-9)=0.合并同类项,得23x=0.数学系数化为1,得x=0.例3已…     

分式方程验根三法

分式方程转化为整式方程时,未知数的取值范围发生变化,有可能产生增根.因此,解分式方程必须验根,就八年级而言,分式方程有哪些验根方法呢?一、代入检验法.将解得的根代入原方程的左、右两边,若左、右相等,则此根为原方程根,否则,此根为原方程的增根.例1.解方程xx-5=xx--62解:方程两边同乘以(x-5)(x-6)得x(x-6)=(x-2)(x-5)解得:x=10检验:当x=10时,左边=xx-5=2右边=xx--26=2,左边=右边∴x=10是原方程的根.评注:此验根方法不仅能检验出原方程的增根,而且可以检验出所求得根是否正确.二、增根比较法.所谓增根即使分式的分母为零的数.因此,令方程…     

分式方程验根五法

将分式方程转化为整式方程,未知数的取值范围发生了变化,有可能产生增根.因此,解分式方程必须验根.下面介绍分式方程验根的五种方法.一、直接验根法将解得的根代入原方程,若左边等于右边,则此根为原方程的根,否则为原方程的增根.例1解方程x4--3x-1=x-14.解:方程两边同乘以(x-4)     

分式方程常见错解剖析

一、忽略了对根的检验例1解方程:6/(x~2-1)-3/(x-1)=2/(x 1).错解:方程的两边同乘以最简公分母(x 1)(x-1),得6-3(x 1)=2(x- 1).解这个方程,得x=1.所以原方程的根是x=1.剖析:分式方程是通过转化为整式方程来求解的,解题过程中有可能产生增根,所以求出的根必须检验.正解:方程的两边同乘以最简公分母(x 1)(x-1),得6-3(x 1)=2(x- 1).解这个方程,得x=1.     

解分式方程的错误分析

解可化为一元一次方程的分式方程时,常常出现这样或那样的错误,主要有以下几种情况.一、确定的公分母并非最简例1.解方程4x-3-x3=3-8x.错解:方程两边同乘以x(x-3)(3-x),去分母,得4x(3-x)-3(x-3)(3-x)=8x(x-3),整理,得x2-2x-3=0,分解化为(x 1)(x-3)=0,故x=-1或x=3.经检验,x=3是增根,原方程的根是x=-1.剖析:最终答案无错,但在去分母时,由于没有注意到分母x-3与3-x可以统一化为x-3,即有3-x=-(x-3),致使公分母比最简公分母多了一个因式(3-x),从而出现了增根,造成了不必要的麻烦;另一方面,如果确定的公分母不是最简的,那么在化为整式方程后往往会…     

常用的六种换元方法

一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法…     

判定方程无解的几种方法

一、运用算术平方根的性质例1 解方程解: 原方程无解. 二、运用配方法例2解方程x2-4x+5=0. 解:原方程可化为x2-4x+4=-1.     

分式方程的增根及其应用

分式方程通常用去分母法转化为整式方程来解。解由分式方程转化为整式方程时可能会产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根,下面谈谈分式方程的增根及其应用,供同学们参考。一、增根产生的原因增根是怎么产生的呢?简单地说,就是在将分式方程转化为整式方程时,由于方程两边都需乘以最简公分母,这样往往会扩大未知数的取值范围,从而可能产生增根,如在方程1x-2=1-x2-x-3中,未知数x的取值范围是x≠2。解此方程时,需在其两边都乘以(x-2)将它化为整式方程1=x-1-3(x-2),解此方程,得x=2。因x=2不在原方程未知数的取值范围内,故它是原方程的增…     

分式方程的一个定理及其应用

定理关于x的方程x+nx=a+na(an≠0)的解为x=a或x=na.证明:将原方程去分母,得ax2+an=a2x+nx,即ax2-(a2+n)x+an=0,所以(x-a)(ax-n)=0,解得x=a或x=na.经检验,x=a和x=na都是原方程的解.由这个定理,可以得到下面的推论.推论关于x的方程x+1x=a+a1的解为x=a或x=1a.掌握上述定理和推论,可以帮助我们巧解一些分式方程和分式求值问题.一、解分式方程例1解关于x的方程x+1x-1=a+a-11.解:原方程可化为(x-1)+1x-1=(a-1)+1a-1.由上述推论,得x-1=a-1或x-1=1a-1.由x-1=a-1,得x=a;由x-1=1a-1,得x=aa-1.经检验,x1=a,x2=a-a1均是原方程的解.例2解方程3xx2-1+x32-x…     

分式方程中的常见四大误区导析

1.去分母时漏乘项. 例1.解分式方程5-x/x-4+1/4-x=1 错解:两边同时乘以最简公分母(x-4)得:5-x-1 =1 即:x=3 检验:x=3时,x-4=3-4=-1≠0 所以:x=3是原方程的根. 错因分析:最简公分母是(x-4),方程的两边同时(x-4)时,右边的1漏乘了(x-4),所以是漏乘项导致错误.     

分式方程常见错解剖析

分式方程是每年各地中考的重要考点之一,但在解分式方程的过程中,常出现这样或那样的错误,下面举例归类剖析.一、忽视验根或验根不正确致错例1解方程x-2/x+2-x+2/x-2=16/x~2-4.错解1方程两边同乘(x+2)(x-2),得(x-2)~2-(x+2)~2=16.解这个方程,得x=-2,     

一元一次方程错例解析

一、移项不变号 例1解方程5x-2=6x＋13． 错解：移项,得5x＋6x=13-2, 合并同类项,得11x=11, 系数化为1,得x=1．     

不必开始就通分

解分式方程常用一次性通分,化为整式方程再求解,本文说明:要注意方程的结构,不必开始就通分,可适当变形求解．本文介绍一些方法,供同学们参考．1．移项例1解方程:1/x-1 x=2-x/1-x.分析两个分母位于等号两侧,且互为相反数．将两分式移项到等号一侧,其余项移到另     

浅谈辅助方程法

用适当方法构造与原问题有关的方程,利用方程的知识使原题获解,此为“辅助方程法”。一、解方程(组) 例1 解关于x的方程 x~4 6x~3-2(a-3)x~2 2(3a 4)x 2a a~2=0 解:化为a的方程: a~2-2(x~2-3x-1)a (x~4-6x~3 6x~2 8x)=0解得a=x~2-4x,a=x~2-2x-2。故得原方程的解x_(1,2)=2±4~(1/2) a,x_(3,4)=1±(3 a)~(1/2)(注;a<-3时,有虚根)