用定比分点公式巧解一题

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1),对一切实数x都成立,求f(x).分析本题显然是一道不等式恒成立问题,利用一元二次不等式恒成立知识点来解决,其运算量较大,如果用定比分点公式来解,求解过程就会变得简单、明了.解设A(x),B(f(x)),C(12(x2 1))为数轴上的三点,则ABBC=,λ由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∵λ≥0,由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ,又∵曲线y=f(x)经过点(-1,0),∴0=-1 λ1 λλ=1,∴f(x)=14x2 12x 14.本题若结合1≤f(1)≤1 f(1)=1,又f(-1)=0来求解,其运算量也较…