| 一道Lebesgue积分题目的注记 |
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| 引用本文： | 沈晨,吕炜,王清河,宋冬梅. 一道Lebesgue积分题目的注记[J]. 高等数学研究, 2016, 0(1): 49-50. DOI: 10.3969/j.issn.1008-1399.2016.01.011 |
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| 作者姓名： | 沈晨 吕炜 王清河 宋冬梅 |
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| 作者单位： | 1. 中国石油大学 理学院,山东 青岛,266580;2. 中国石油大学 地球科学与技术学院,山东 青岛,266580 |
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| 基金项目： | 中央高校基本科研业务费专项基金(11CX05015A)；地震动力学国家重点实验室开放基金(LED2012B02)；中国石油大学(华东)研究生教学研究与教育改革资助项目(YJ－C1114) |
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| 摘 要： | 设E为n维欧氏空间Rn的可测子集,m E+∞,f(x)为E上的非负可测函数,并记Ek=E{x|k≤f(x)k+1}(k=0,1,2,…),利用Lebesgue积分的性质,通过构造反例,指出"级数∑k km Ek收敛"并不是f(x)在E上Lebesgue可积的充分条件.进一步,通过增加条件"f在E上a.e.有限",得到相应的充分必要条件.
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| 关 键 词： | 实变函数 Lebesgue积分 几乎处处有限 |
Remarks on a Problem of Lebesgue Integral |
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| Abstract: | Let E be a measurable subset ofRn with mE <+∞ . Let f(x) be a non-negative measurable function on E and Ek = E{x | k ≤ f(x) < k + 1}( k = 0,1,2…) . This paper uses a counterexample to show that the convergence of the series∑kmEk does not imply the integrability of f(x) . Furthermore, this paper obtains a k necessary and sufficient condition for its integrability. |
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| Keywords: | Real variable function Lebesgue integral Almost everywhere finite |
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