| 浅谈柯西不等式的证明及应用 |
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| 引用本文： | 刘治和.浅谈柯西不等式的证明及应用[J].数学通报,2000(5):44-46. |
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| 作者姓名： | 刘治和 |
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| 作者单位： | 江西省萍乡市莲花中学!337100 |
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| 摘 要： | 柯西(Cauchy)不等式(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)(ai,bi∈R,i=1,2…,n),当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.现将它的证明介绍如下:证明1(构造法):构设二次函数f(x)=(a1x b1)2 (a2x b2)2 … (anx bn)2=(a12 a22 … an2)x2 2(a1b1 a2b2 …anbn)x (b12 b22 … bn2),∵a12 a22 … an2>0,f(x)≥0恒成立,∴△=4(a1b1 a2b2 … anbn)2-4(a12 a22 … an2).(b12 b22 … bn2)≤0,即(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当aix bi=0(i=1,2,…,n),即a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.证明2(数学归纳…
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| 关 键 词： | 柯西不等式 证明 应用 构造法 数学归纳法 |
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