一道亚太数学奥赛题的推广

2004年3月第16届亚太地区数学奥林匹克竞赛第5题为证明:对任意正实数a,b,c,均有(a2 2)(b2 2)(c2 2)≥9(ab bc ca).文[1]对该题提供了一种证明方法,从证明来看,该题貌似简单,实际上却有难度,本文从该题的本质考虑,得到一个一般性的结论.引理设hi>-1,(i=1,2,…,n),且hihj≥0,则ni=1(1 hi)≥1 ni=1hi,证用数学归纳法即可.定理设n为正整数,xi≥0(i=1,2,…,n 1),则n 1i=1(xi2 n)≥(n 1)n2n1≤i相似文献   

要正确理解符号“≤”的含义

要正确地使用一个数学符号 ,首先要正确理解它的含义 .“≤”是一个完整的和独立的数学符号 ,不是两个符号“<”和“ =”的合写 .它表示左边的数量小于或等于 (即不大于)右边数量 ,读作“小于等于”(“小于或等于”) ,也可以记为“≯” ,读作“不大于”.如 3≤ 2 (3≯2 ) ,a≤b (a≯b) ,R2 ≤ 1 (R2 ≯ 1 )等[1 ] [2 ] .上面的关于符号“≤”的定义是清晰和无歧义的 .符号“≤”用于数量关系可比、能分清楚小于或等于或大于的场合 ,是对大于的否定 .若 |f(2 ) |≤7,则 |f(2 ) |不大于 8,即 |f(2 ) |≤ 8成立 ,所以文 [3]关于这个问题的看法…     

关于幂平均值的两个不等式

在代数和几何问题中,常要用到基本的幂平均值(ar+ br2 ) 1r,其中a>0 ,b>0 ,r≠0 .对于它的估值,除了利用min{ a,b}≤(ar+ br2 ) 1r≤max{ a,b} ,(aα+ bα2 ) 1α≤ab≤(aβ+ bβ2 ) 1β(a<0 <β)和幂平均不等式[1](ar1+ br12 ) 1r1≤(ar2 + br22 ) 1r2 　(r1≤r2 )之外,其它方法甚少.针对这种幂平均值,本文建立了两个不等式,为这种幂平均值提供了一种新的估值方法,利用它们并配合上面列出的不等式,常能很方便地得到满意的估值效果.定理1　设a>0 ,b>0 ,a≠b,则当0 2时(ar+ br2 ) 1r<12 (a+ b) 2 + (r- 1) (a- b2 ) .当1相似文献   

争鸣

问题　　问题61　笔者在教学中,遇到了这样一个有趣的问题,同学们给出了三种不同的解法,都认为自己的解法有道理.然后,我们几个老师在一起讨论,也有所分歧.现请贵刊予以讨论.题目　设函数y=F(x) ,其定义域为[0 ,+∞) ,值域为R,已知F(x2 - 2 mx+ m+ 2 )的值域为R,求m的取值范围.解法1　令f(x) =x2 - 2 mx+ m+ 2 ,则可转化为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立.故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 )≤0 ,∴- 1≤m≤2 .解法2　由题意,y=f(x)的图象与直线y=0相切,即f(x)的最小值为0 (x∈R) .故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 ) =0 ,∴m=- 1或m=2 .解法3　由题意,只要保证f(x)能取遍…     

模糊推理α-反向三I支持算法的一般表示

讨论模糊推理α-反向三I支持算法的表示问题,基于正则蕴涵算子建立α-反向三I支持算法的一般表示。如此,现有的α-反向三I支持算法的统一表示被推广到一种新的形式。