残数基本定理的推广与应用

本文引入单值解析函数在非弧立奇点的残数概念,并且把残数基本定理推广到函数在区域内可以有非孤立奇点的情形。最后,作为推广的残数基本定理的应用,我们导出了一些级数求和公式。     

Grace定理的推广

Grace 定理的内容如下[1,P.164.例12].定理1 设 f(z)至多是 n+1(n>0)次多项式。若存在 a,b 两点,使得 f(a)=f(b),连接 a,b 得到一直线,以这直线的中点为园心,以仅与 a,b 和 n 有关的 R(n,a,b)为半径作一园,则在这个园内或其境界上至少有一点 z,使得 f′(z)=0.本文证明,多项式的限制条件可以去掉,而代之以正则函数即可.我们有下面的定理.定理2 设函数 f(z)在区域 E 内正则,a 为 E 内任意一点,则在点 a 的某个邻域 G(?)E 内,对于任意点 b∈G/{a},必存在点 z∈G,使得     

Schwarz-Christoffel变换的一个注记

<正> Schwarz-Christoffel变换是把复平面的上半平面单叶保角地变为多角形内部的变换,这种变换无论在理论上还是在实践上都有很多应用。因此现行复变函数的教材都安排了这部分内容,例如见〔1〕、〔2〕和〔3〕。其内容是这样说的:把上半平面单叶保角地变为内角为ακπ(Κ=1,2,…,n)的     

Cauchy型积分高阶导数公式的一个证明

<正> 在现行《复变函数论》教材中,Cauchy 型积分的高阶导数公式一般都不证明,最多仅仅指出证明的方法——数学归纳法.而用数学归纳法证明比较繁.下面介绍一个较简单的证明方法(主要取材于 J.B.Conway,Function of One Complex variable).这个方法不仅使 Cauchy 型积分的高阶导数公式得到圆满的证明,而且使 Cauchy 积分的高阶导数公式作为它的特殊情形而得到证明.下面就来证明这个公式.     

一个单叶函数族的星形半径

设函数F(习在E上具有展开式F(z)=二 习b.z一”(1)我们知道,若F(习在E上单叶,则戈立不等式〔1,418万n lb。!’(‘(2) 1970年,Jl.A.A:ce。T、e。等在〔2〕中证明,存在:。=丫百,使得不等式(2)也是函数(1)在E(r。)上单叶的充分条件,并且证明了下面的定理. 定理1若函数F(劝在E上具有展开式(1),其系数满足条件(2),则存在r。=了百,使得F(习在E(r。)上单叶.在F(劝的映照下,E(r。)的象域到整个平面的余集关于原点为星形.界限r。是准确的. 关于定理1的证明,〔2〕中不是直接给出灼,而是在讨论了别的结果的情况下得到的.本文用另外的方法,给出定…     

关于导数模的估计式的一个改进

<正> 利用解析函数实部的最大值来估计导数的最大模,是函数论中常用到的一个重要估计式.其内容如定理1.设函数 f(z)在|z|≤R 上解析,且 A(R)≥0,则对于任意自然数 n,     

Radius of Starlikeness for Class S(a,n)and Its Extension

This paper obtain that the radius of starlikeness for class S(α,n)in [1] is,tespectivety,where α_ is unique solution of equation (αα)~(1/2)=σwith a in (0.1),and α-[1+(1-2α)r~(2n)]/(1-r~(2n)),σ=[1-(1-2α)r~]/(1+r~).Futhermore,we consider an extension of class S(α,n):Let S(α、β、n)denote the class of functions f(z)=z+α_z~(n+1)+…(n≥1)that are analytie in |z|<1 such that f(z)/g(z)∈p(α,n)[1],where g(z)∈S~*(β)[2].This paper prove that the radius of starlikeness of class S(α,β,n) is given by the smallest positive root(less than 1)of the following equations(1-2α)(1-2β)r~(2)-2[1-α-β-n(1-α)]r~+1=0.0≤α≤α_0,(1-α)[1-(1-2β)r~]-n[r~(1+r~)=0.,α_0≤α<1.where α=[1+(1-2α)r~(2)]/(1-r~(2)(0≤r<1),α_0(?(0,1) is some fixed number.This result is also thecxtension of well-known results[T.Th3] and [8,Th3]