关于一类不等式的再推广和引伸

文[1]通过对中学数学教材一类熟知的不等式的结构的分析,作了如下的推广和引伸: 设a_1,a_2,b_1,b_2具有结构:     

一道分式不等式的概率证明及推广

设 xi ∈ ( 0 ,1 ) ,i =1 ,… ,n,且∑ni=1xi =a,∑ni=1x2i =b,求证∑ni=1x3i1 - xi≥ a2 ab - nbn - a ,( 1 )文 [1 ]～ [3]给出了 ( 1 )式不同的初等证明 ,文 [4 ]利用柯西不等式将 ( 1 )式加强为　　　 ∑ni=1x3i1 - xi ≥ b2a - b ( 2 )本文利用概率方法对 ( 2 )式作指数推广 .为此 ,作为引理 ,给出概率的 Jensen不等式 .引理　设随机变量ξ取值于区间 ( a,b) ,-∞≤ a≤ b≤ ∞ ,g是 ( a,b)上连续的凸函数 ,则当 Eξ,Ε[g(ξ) ]存在时 ,有g( Eξ)≤ E[g(ξ) ].证明　任取 x0 ∈ ( a,b) ,设曲线 y =g( x)在点 x0 的切线斜率为 k( x…     

一个简单的证明

贵刊1987年第二期刊登杨俊英同志的文章《选择题的合理评分标准及其概率证明》。为了充分地考查学生掌握知识的情况,杨认为在选择题时应该这样说明:“请在下列(n个)答案中将正确的挑选出来。”(不应在题目中给出正     

组合数的一项性质的概率证明

文 [1 ]用数学归纳法证明了组合数的一项性质 :∑ｎｉ =0ｉｒ(-1 ) ｉＣｉｎ =0 ,　　　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !(-1 ) ｎ,　当ｒ =ｎ本文给出此性质一个概率证明 .为此作变换ｉｎ-ｋ ,易见上式等价于∑ｎｋ=0(-1 ) ｋＣｋｎ(ｎ-ｋ) ｒ =0 ,　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !,　当ｒ =ｎ (1 )考虑随机试验 :从 1到ｎ这ｎ个自然数中每次任取一数 ,有放回地抽取ｒ次 ,令Ａｉ={取出的ｒ个数均不等于ｉ},ｉ =1 ,… ,ｎ,则Ｐｋ=Ｐ(Ａｉ1 Ａｉ2 …Ａｉｋ) =ｎ-ｋｎｒ,(1≤ｉ1<ｉ2 <… <ｉｋ ≤ｎ,ｋ =1 ,2… ,ｎ)由概率的一般加法公式Ｐ ∑ｎｉ=1Ａｉ…     

也谈巧算“百分比”──“百分比”问题的另一解法

《数理统计与管理》1988年第6期发表了勤学同志的文章《巧算“百分比”》,文中采用从”中心”向外推算的办法计算出“三大件”齐备的家庭所占的百分比。如果利用概率的一般加法公式计算将更简便。 设A=｛有彩电｝,B=｛有冰箱｝,C=｛有洗衣机｝,已知P(A)=0.34, P(B)=0.38,P(C)=0.56,P(A∩B)=0.09,P(B ∩ C)=0.11,P(A∩C)=0.13,P(A∩B∩C)= 0.02.注意到 A ∩ B ∩ C= A∪B∪C,可知 P(A ∪ B ∪ C)= 0. 98,将上述结果代入一般加法公式P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(A∩C)+P(A∩B∩C)立得 P(A∩B∩C)=0.…     

代数不等式概率证法举例

本文仅借助初等概率论中的一些简单性质，简洁巧妙地证明一些代数不等式．     

一道新编应用题的概率解法

《数学通讯》2 0 0 2年第 1期Ｐ2 4刊登了一道据报刊信息而设计的应用题 :题　洪山镇改革开放后 ,农民的生活发生了巨大的变化 ,…… ,该镇拥有洗衣机、冰箱、彩电的农户分别占全镇农户总数的77% ,80 % ,91 % ,又知已拥有冰箱和洗衣机、彩电和洗衣机、彩电和冰箱的分别占 59% ,70 % ,72 % ;“三大件”都没有的农户仅占1 % ,从这条消息中你能否给出家中恰有“三大件”、“两大件”的农户在全体农户中各占百分之几 ?该题的设计人胡理华老师是用集合计数的方法求解此题的 ,高中数学新教材添加初等概率论的内容 ,不妨尝试用概率方法处理此问题 .…     

凸函数的两个性质的控制证明

利用受控理论给出有关凸函数的两个性质的新颖而简洁的证明.     

关于广义对数平均的一个不等式的加细

In this article,we show that the generalized logarithmic mean is strictly Schurconvex function for p＞2 and strictly Schur-concave function for P＜2 on R2+.And then we give a refinement of an inequality for the generalized logarithmic mean inequality using a simple majoricotion relation of the vector.     

幂平均不等式的最优值

设Mn[r](a)为a的r阶幂平均,0<α<θ<β,那么满足不等式[Mn[α](a)]1-λ.[Mn[β](a)]λ≤Mn[θ](a)的最大实数λ是λ≥{1+(β-θ)/[m(θ-α)]}-1.这里m=min{[2+(n-2)tβ]/[2+(n-2)tα],t∈R++};满足反向不等式的最小实数λ是λ=[β(θ-α)]/[θ(β-α)].本文的方法基于优势理论与解析技巧,对于建立不等式的最优化思想作了尽可能多的展示.作为应用,得到了一些涉及和、积分与矩阵的新不等式(含Hardy不等式的推广与加强).