构造二次齐次方程解一类解析几何问题

定理若直线lx+my+n=0(n≠0)和曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0有两个交点P,Q,O为坐标原点,则直线OP,OQ上的点均满足方程Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)(-lx+nmy)+F(-lx+nmy)2=0.(*)证设点P的坐标为(x1,y1),则lx1+my1+n=0,即-lx1+nmy1=1(1)Ax12+Bx1y1+Cy12+Dx1+Ey1+F=0(2)又直线OP上的点均可表示为(tx1,ty1),其中t为任意实数.∵当x=tx1,y=ty1时,方程(*)的左端Ax2+Bxy+Cy2+(Dx+Ey)(-lx+nmy)+F(-lx+nmy)2=t2[Ax12+Bx1y1+Cy12+(Dx1+Ey1)(-lx1+nmy1)+F(-lx1+nmy1)2]=t2(Ax12+Bx1y1+Cy12+Dx1+Ey1+F)=0,∴直线OP上的点都在方程(*)表示的曲线上…     

关于直线x=a对称的函数的一个性质

本文介绍关于直线x=a对称的函数的一个性质,并说明它在解题中的应用.……     

与椭圆焦点弦长相关的几个结论及应用

本文给出与椭圆焦点弦长相关的几个结论,并说明它们在解题中的应用．     

有心圆锥曲线顶点三角形的一个性质

连结有心圆锥曲线上任一点与长轴或实轴端点的三角形叫做有心圆锥曲线顶点三角形,本文介绍有心圆锥曲线顶点三角形的一个性质.     

求异面直线所成角的一个简便公式及应用

定理设两条异面直线a,b所成的角为θ,由b上两点A,B引a的垂线,垂足分别是A1,B1.则cosθ=(A1B1/AB) (*) 证若A1、B1为相异两点,如图1,过A作     

有心圆锥曲线顶点三角形的一个性质

连结有心圆锥曲线上任一点与长轴或实轴端点的三角形叫做有心圆锥曲线顶点三角形,本文介绍有心圆锥曲线顶点三角形的一个性质.性质1如图1,已知椭圆     

直线与抛物线相切的一个性质及应用

定理设抛物线的焦点为F,直线l′过F且与直线l平行.过顶点的切线与l′,l分别相交于M′,M.则直线l与抛物线相切的充要条件是FM′→·FM→=0.证明设抛物线方程y2=2px(p>0),焦点Fp2,0.直线l:y=kx+m.直线l′:y=kx-p2.过顶点的切线是x=0.FM′→·FM→=-p2,-pk2·-p2,m=14(p2-2pkm).由y2=2pxy=kx+m消去x,得ky2-2py+2pm=0.Δ=4(p2-2pkm),于是有Δ=16FM′→·FM→.∴FM′→·FM→=0Δ=0直线l与抛物线相切.下面举例说明定理在解题中的应用.例1判定直线l:x-y+1=0与抛物线y2=4x是否相切?解∵F(1,0),直线l:y=x+1,直线l′:y=x-1,过顶点的切线x=0.…     

“替换-消项”巧求摆动数列的通项

文[1]介绍了用（-1）^n求摆动数列的通项，本文介绍另一种方法，即通过“替换-消项”构造公比为-1的等比数列巧求摆动数列的通项．此法简便，易于操作．     

有心圆锥曲线与焦点准线相关的一个定值性质

性质1已知椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,点O是椭圆的中心,点F是椭圆的一个焦点,M是相应于焦点F的准线l上的任一点,过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,则｜ON｜=a．