复弯矩表示的非圆截面杆平衡的Schrdinger方程及其半解析解

弹性细杆的平衡和稳定性问题的研究在工程和分子生物学中有重要的应用背景。利用文中提出的复柔度概念,建立了用复弯矩表示的非圆截面杆平衡的Schrdinger方程。借助复曲率概念,导出以杆的曲率、挠率和截面相对Frenet坐标系的扭角为未知变量的2阶常微分方程,此方程与传统使用的Kirchhoff方程等价。文献中仅适用于圆截面杆平衡问题的Schrdinger方程为本文导出方程的特例。对于准对称截面杆,用小参数法分别建立了零次和一次近似方程,其中零次近似方程存在解析解。对于截面的主轴坐标轴与中心线的Frenet坐标轴重合的无扭转杆特殊情形,Schrdinger方程转化为Duffing方程,应用数值方法作出了Duffing杆变形后的三维几何图形。     

Kovalevskaya弹性杆

应用Kirchhoff比拟讨论Kovalevskaya情况弹性细杆的平衡稳定性问题．导出Kirchhoff方程的解析积分．对于杆截面的主轴与Frenet坐标轴重合的无扭转杆的特殊情形作定性分析，讨论其平衡状态的稳定性与分岔．证明了判断受拉扭作用的圆截面直杆平衡稳定性的Greenhill公式也适用于Kovalevskaya情形的非圆截面杆．     

超细长弹性杆的分析力学问题

超细长弹性杆作为DNA等生物大分子链的力学模型，其平衡和稳定性问题已成为力学与分子生物学交叉的研究热点．虽然在Kirchhoff动力学比拟的基础上，用分析力学方法讨论弹性杆的文章已见诸文献，但尚未形成弹性杆分析力学的严格理论．本文研究了超细长弹性杆分析力学的若干基础性问题．对杆截面的自由度、虚位移、约束方程及约束力等基本概念给出严格的定义和表达式．建立弹性杆平衡的D’Alembert-Lagrange原理、Jourdain原理和Gauss原理；从D’Alembert-Lagrange原理导出Hamilton原理．从变分原理出发导出Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程和Hamilton正则方程；对于受约束的弹性杆，导出了带乘子的Lagrange方程．讨论了Lagrange方程的首次积分．对于杆中心线存在尖点的情形，导出了微段杆平衡的近似方程。     

轴向受压螺旋杆的动态稳定性与振动

基于Kirchhoff理论讨论端部受轴向压力作用的圆截面弹性螺旋杆的动态稳定性问题。以杆中心线的Frenet坐标系为参考系,建立用欧拉角描述的弹性杆动力学方程。杆的螺旋线平衡状态由方程的特解确定。基于静力学分析的结论,在动力学范畴内继续讨论轴向受压螺旋杆平衡状态的稳定性。在一次近似意义下证明了螺旋杆在空间域内的欧拉稳定性条件为时域内的Lyapunov稳定性条件。从而进一步认识Lyapunov和欧拉两种不同稳定性概念之间的相互关系。导出轴向受压螺旋杆弯扭耦合振动固有频率的近似解析表达式。     

非圆截面弹性细杆的螺旋线平衡及稳定性

本文研究端部受力和力矩作用，且存在初曲率和初扭率的非圆截面弹性细杆的螺旋线平衡及其稳定性。描述弹性细杆平衡状态的Kirchhoff方程存在与杆的螺旋线平衡状态相对应的特解。直杆和圆环杆为螺旋线状态的两种特例。文中分析了螺旋线的几何特性与作用力和力矩之间的相互关系，并导出螺旋线平衡的一次近似解析形式稳定性判据。分析表明，松弛状态下弹性杆可处于螺旋线状态，直杆只有在轴向压力的作用下才能保持螺旋线平衡。无初曲率和初扭率弹性杆的螺旋线平衡稳定性必要条件是杆截面绕副法线轴的抗弯刚度大于或等于绕法线轴的抗弯刚度。此条件也适用于带初扭率的圆环杆及更普遍情形。无初曲率和初扭率的圆截面杆的螺旋线平衡恒稳定。     

圆截面弹性细杆的平面振动

基于Kirchhoff理论讨论圆截面弹性细杆的平面振动．以杆中心线的Frenet坐标系为参考系建立动力学方程．杆作平面运动时,其扭转振动与弯曲振动解耦．讨论任意形状杆的扭转振动和轴向受压直杆在无扭转条件下的弯曲振动,证明直杆平衡的静态Lyapunov稳定性与欧拉稳定性条件为动态稳定性的必要条件．考虑轴向力和截面转动惯性效应的影响,导出弯曲振动的固有频率．     

受圆柱面约束弹性杆的平衡与稳定性

讨论受圆柱面约束的圆截面弹性杆的平衡与稳定性。以描述截面姿态的欧拉角为变量,建立受约束弹性杆的平衡方程。利用方程的初积分导出约束力、截面内力及挠性线的解析表达式。作为特殊的平衡状态,讨论杆的螺旋线平衡的存在条件。用相平面法分析螺旋线平衡的稳定性,导出解析形式的稳定性条件。     

螺旋细杆的均匀扭转振动

讨论螺旋细杆的特殊形式扭转振动，即均匀扭转振动．以非圆截面杆和有原始曲率的圆截面杆为研究对象．杆作均匀扭转振动时各截面有相同的扭角变化规律，且杆中心线的几何形状不受振动过程的影响．研究表明，扭振来源于杆截面的非对称性及杆的原始曲率．杆的扭振规律与单摆运动相似，其动力学方程存在精确解．圆环杆的均匀扭振为螺旋杆的倾角为零时的特例．     

Kirchhoff弹性杆分析动力学的准坐标表达

作为DNA的力学模型,依据Kirchhoff动力学比拟思想建立的弹性细杆的分析力学方法已从静力学深入到动力学。由于静力学平衡微分方程与刚体动力学相当,因此,弹性细杆动力学的分析力学方程必是以弧坐标和时间为双自变量的偏微分方程。以横截面的形心速度以及弯扭度和角速度沿主轴的分量为准速度,定义了准坐标,导出了准坐标的微分和变分运算的交换关系。从Hamilton原理出发,利用准坐标的微分和变分运算的交换关系,导出了Kirchhoff弹性杆动力学准坐标下的Boltzmann-Hamel方程,并由此导出Lanrange方程。指出了Boltzmann-Hamel方程显式即为弹性杆动力学的Kirchhoff方程。定义关于弧坐标和时间的正则变量和Hamilton函数,导出Boltzmann-Hamel方程的正则形式。本文结果是以弹性杆静力学和刚性杆动力学为其特例。作为例子,建立了垂挂的在重力作用下作平面运动的弹性细杆的动力学微分方程以说明本文方法的应用。     

轴线存在应变时弹性杆力学的两个概念

讨论Kirchhoff弹性杆力学向精确Cosserat弹性杆推广中的两个概念: 轴 线切向量对截面法向量是怎样偏离以及本构方程中应变矢和弯扭度的基准问题. 从单元体的 剪应变出发, 导出了截面法矢、轴线切矢以及剪应变矢三者关系, 即Cosserat弹性杆的变形 几何关系;从Hook定律出发, 论证了在一次近似下本构方程中的截面弯扭度和形心应变矢都 以原始弧坐标为基准.