双圈图的距离无符号拉普拉斯谱半径

连通图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵定义为$\mathcal{Q}(G)=Tr(G)+D(G)$, 其中$Tr(G)$和$D(G)$分别为连通图$G$的点传输矩阵和距离矩阵. 图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值称为$G$的距离无符号拉普拉斯谱半径. 本文确定了给定点数的双圈图中具有最大的距离无符号拉普拉斯谱半径的图.     

可迹图的谱充分条件

设G是一个简单图,A(G),Q(G)以及Q(G)分别为G的邻接矩阵,无符号拉普拉斯矩阵以及距离无符号拉普拉斯矩阵,其最大特征值分别称为G的谱半径,无符号拉普拉斯谱半径以及距离无符号拉普拉斯谱半径.如果图G中有一条包含G中所有顶点的路,则称这条路为哈密顿路;如果图G含有哈密顿路,则称G为可迹图;如果图G含有从任意一点出发的哈密顿路,则称G从任意一点出发都是可迹的.主要研究利用图G的谱半径,无符号拉普拉斯谱半径,以及距离无符号拉普拉斯谱半径,分别给出图G从任意一点出发都是可迹的充分条件.     

具有固定围长的单圈图的无号拉普拉斯谱半径

研究了单圈图的无号拉普拉斯谱半径,给出了具有固定围长的单圈图的无号拉普拉斯谱半径最大的图.     

三圈图的无符号拉普拉斯谱半径

假设图G的点集是V(G)={v_1,v_2,…,v_n},用d_(v_i)(G)表示图G中点v_i的度,令A(G)表示G的邻接矩阵,D(G)是对角线上元素等于d_(v_i)(G)的n×n对角矩阵,Q(G)=D(G)+A(G)是G的无符号拉普拉斯矩阵,Q(G)的最大特征值是G的无符号拉普拉斯谱半径.现确定了所有点数为n的三圈图中无符号拉普拉斯谱半径最大的图的结构.     

具有固定直径的树的拉普拉斯谱半径

一个图称为毛毛虫,如果从它删去所有的悬挂点后得到的图是一个路.研究了具有固定直径的毛毛虫树的拉普拉斯谱半径,确定了其中具有最大拉普拉斯谱半径的毛毛虫树并且讨论了该树的一些性质.     

无符号拉普拉斯谱半径的新上界

如果一个图存在定向满足其最大出度△~＋不超过最大度△的一半,则通过估计图的半边路径（semi-edge walk）的个数,得到了该图的无符号拉普拉斯谱半径的一个新上界.进而根据D.Goncalves对平面图边分解的结果,得到了平面图无符号拉普拉斯谱半径的一个新上界.     

恰有k个悬挂点的n阶双圈和三圈图的拟拉普拉斯谱半径

设k,n为两个确定的正整数.本文得到了当1≤k≤n-7时恰有k个悬挂点的n阶连通三圈图的最大拟拉普拉斯谱半径的唯一极图,也得到了当1≤k≤n-5时恰有k个悬挂点的n阶连通双圈图的最大拟拉普拉斯谱半径的唯一极图.     

关于图的拟拉普拉斯谱半径

用代数方法给出了一个关于简单图的顶点度数与拟拉普拉斯谱半径的不等式,并给出了图的拟拉普拉斯谱半径的一个新上界.     

四圈图的拉普拉斯谱宽度

图的拉普拉斯谱宽度定义为图的拉普拉斯矩阵的最大特征值与第二小特征值的差.本文证明了,在所有n(n12)顶点四圈图中恰有11个拉普拉斯谱宽度最大的四圈图.     

不含三圈的k圈图的拟拉普拉斯和拉普拉斯谱半径

k圈图是边数等于顶点数加k-1的简单连通图.文中确定了不含三圈的k圈图的拟拉普拉斯谱半径的上界,并刻画了达到该上界的极图.此外,文中确定了拟拉普拉斯谱半径排在前五位的不含三圈的单圈图,排在前八位的不含三圈的双圈图.最后说明文中所得结论对不含三圈的k圈图的拉普拉斯谱半径也成立.     

单圈图与双圈图补图的A_(a~-)谱半径

设A(G)和D(G)分别表示n阶图G的邻接矩阵和度对角矩阵,对于任意实数α∈[0, 1],图G的A_(a~-)矩阵被定义为Aα(G)=αD(G)+(1-α)A(G),它是图的邻接矩阵和无符号拉普拉斯矩阵的共同推广,其最大特征根称为图G的A_(a~-)谱半径.单圈图与双圈图补图的A_(a~-)谱半径的上界被分别确定,相应的极图被完全刻画.     

哈密顿连通图和可迹图的新充分谱条件

令G是一个简单连通图,ρ(G)和q~D(G)分别为图G的邻接谱半径和距离无符号拉普拉斯谱半径.提供了图G是哈密顿连通的两个新的谱充分条件,这两个充分条件分别是以ρ(G)和q~D(G)表示的,其中G是G的补图.进一步地,还给出了以q~D(G)表示的图G是从任意一点出发都是可迹的新的谱充分条件,从而扩展和改进了文献中的结果.     

不含三角形图的$A_\alpha$-谱半径的界

设$G$是简单无向图. 对于实数$\alpha \in [0,1]$, Nikiforov于2017年定义图的$A_\alpha$-矩阵为$A_\alpha(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$, 其中$A(G)$和$D(G)$分别为图$G$的邻接矩阵和度对角矩阵. 图的$A_\alpha$-矩阵可以看着是图的邻接矩阵和无符号拉普拉斯矩阵的共同推广, 其最大特征值称为图的$A_\alpha$- 谱半径. 对于$\alpha\in[0,1)$, 本文确定了不含三角形图的$A_\alpha$-谱半径的一个下界;对于$\alpha \in[1/2, 1)$, 本文确定了不含三角形$k$圈图的$A_\alpha$-谱半径的一个上界.     

一些极值图问题的谱条件综述（英文）

这篇综述分为两个方面.首先,我们总结了图论中的Turan型问题的谱极值结论的最新进展.更准确地说,关于各种图的邻接谱半径和无符号拉普拉斯谱半径,我们总结了它们的谱版本的Turán型函数.例如,完全图、色数至少为3的一般图、完全二部图、奇圈、偶圈、色临界图和相交三角形图.第二个目标是总结一些最近的关于图性质的谱条件.通过一种统一的方法,基于邻接谱半径和无符号拉普拉斯谱半径,我们给出了一些充分条件,使得该图成为哈密顿图、k-哈密顿图、k-边哈密顿图、可迹图、k-路径可覆盖图、k-连通图、k-边连通图、哈密顿连通图、完美匹配图和β-亏量图.     

直径为n-4的图的最小无号拉普拉斯谱半径

Liu Lu和Shu等在[The minimal Lapacian spectral radius of trees with a given diameter,Theoretical Computer Science,2009,410:78-83]中分别给出了直径为{1,2,3,4,n-3,n-2,n-1}的具有最小拉普拉斯谱半径的树.本文给出了直径为n-4的具有最小无号拉普拉斯谱半径的图.作为推论,给出了直径为n-4的具有最小拉普拉斯谱半径的村.     

曲面上图的拉普拉斯谱半径

本文研究了图嵌入到给定紧致曲面上的拉普拉斯谱半径,确定了将顶点数为n、最大度为△的图分别嵌入到亏格为g的定向曲面和亏格为h的不可定向曲面上的新上界.     

图的规范拉普拉斯特征值的上界（英文）

设G为具有n个顶点的简单连通图.本文给出了图G的第k大规范拉普拉斯特征值的两个新上界,分别推广了已有的规范拉普拉斯谱半径的两个上界.     

关于边数给定图按无符号拉普拉斯谱半径排序的注记

设$k$是正整数, $G$是一个边数给定的简单无向图, 其边数$m\ge 2k$, 最大度$\Delta(G)\le m-k$, 本文给出了图$G$的无符号拉普拉斯谱半径$q(G)$的一个上界. 对边数为$m\ge 8$的两个连通图$G_1$和$G_2$, 利用这个上界我们证明了一个排序定理: 如果$\Delta(G_1)>\Delta(G_2)+1$ 且 $\Delta(G_1)\ge \frac{m}{2}+2$, 那么$q(G_1)>q(G_2)$. 对于不含三角形的图, 我们得到两个更强的结果. 作为上述排序定理的一个应用, 我们完全刻画了无符号拉普拉斯谱半径最大的围长为$c$的$m$边图, 其中$m\ge \max\{ 2c, c+9\}$, 部分解决了陈雯雯等人在[Linear Algebra Appl. 645(2022)123-136]上提出的一个公开问题.     

关于三圈图的拉普拉斯谱半径的一些结果

边数等于点数加二的连通图称为三圈图.~设 ~$\Delta(G)$~和~$\mu(G)$~
分别表示图~$G$~的最大度和其拉普拉斯谱半径,设${\mathcal
T}(n)$~表示所有~$n$~阶三圈图的集合,证明了对于~${\mathcal
T}(n)$~的两个图~$H_{1}$~和~$H_{2}$~,~若~$\Delta(H_{1})>
\Delta(H_{2})$ ~且 ~$\Delta(H_{1})\geq \frac{n+7}{2}$,~则~$\mu
(H_{1})> \mu (H_{2}).$ 作为该结论的应用,~确定了~${\mathcal
T}(n)(n\geq9)$~中图的第七大至第十九大的拉普拉斯谱半径及其相应的极图.     

基于拉普拉斯谱确定的两类树

设图G是简单连通图.如果任何一个与图G关于拉普拉斯矩阵同谱的图,都与图G同构,称图G可由其拉普拉斯谱确定.定义了树Y_n和树F(2,n,1)两类特殊结构的树.利用同谱图线图的特点,证明了树Y_n和树F(2,n,1)可由其拉普拉斯谱确定.