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均值不等式√ab≤a+b/2(a〉0,b〉0,当且仅当a=b时取等号)是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解慕些函数最值问题的有效工具. 相似文献
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无理函数y=(a1x+b1)1/2+(a2x+b2)1/2(a1,a2,b1,b2均不为0)(1)的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数(1)为单调函数,求出定义域后利用单调性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2<0时,函数(1)最值的求解具有一定的难度.其实,当a1a2<0时,无理函数(1)可改写成如下形式:y=a(x-b)1/2+c(d-x)1/2(a,c>0,b,d≠0)(2)当b≤d时,函数才有意义.当b=d时,函数值域为单点集{0}.本文考虑b相似文献
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在2010年高考四川卷中,有两道关于多元函数最值的姊妹题,本文介绍这两道题的巧解.
题1(四川卷文科11题)设a〉b〉0,则a^2+1/ab+1/a(a-b)的最小值是
(A)1.(B)2.(C)3.(D)4. 相似文献
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均值不等式槡(ab)~(1/2)≤a+b/2(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号)是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解某些函数最值问题的有效工具.应用均值不等式有三个必要条件:一正二定 相似文献
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<正>均值不等式是中学数学的一个重要不等式,是证明不等式及各类最值问题的一个重要依据和方法.均值不等式的形式有多种,其中最基本和最常用的是:1当a>0且b>0时,a+b≥2(ab)(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a2 相似文献
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我们常遇到下面的问题:求函数y=A/a+bx+ B/c-dx(a,b,c,d,A,B∈R^+,0〈x〈c/d)的最值.
其实这类问题的解法很多,如:换元法、函数、均值不等式、导数、柯西不等式等,但经过更深入的探究发现,下面两种解法解决此题更有独到之处. 相似文献
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函数y=ax+b/x(a〉0,b〉0)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),利用基本不等式或导数知识易知函数的值域为(-∞,-2√ab]U 相似文献
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二次方程 x2a2 +y2b2 =1 ( a>0 ,b>0 )表示一椭圆曲线 ,其确定了一对隐函数 ,分别在 x=0取得最大值 b和最小值 -b。那么 ,对于一般二次曲线方程 ax2 +2 bxy+cy2 +2 dx+2 ey=1所确定的隐函数 ,如何求解它们的最大或最小值 ?1 .方程为 ax2 +2 bxy+cy2 =1情形由平面解析几何可知 ,当判别式δ≡ ac-b2 >0时 ,它是一条椭圆曲线 (或虚椭圆 ) ,方程所确定的两个隐函数分别在定义域内取得最大值和最小值 ;当 δ=0时 ,它是一对平行的直线 (或虚直线 ) ,无最值 ;当 δ<0时 ,它为双曲线 ,情况就不那么明显了。下面我们分别用代数和微分法两种方法进行分… 相似文献
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三角函数f(x)=acosx+bsinx(0〈x〈π/2,a〉0,b〉0)的最值问题,文[1]借助幂函数的凹凸性得到两个不等式并进行了探讨,只是中学生未必能接受这种解法.文[2]对一个特例,两次使用柯西不等式进行研究,其解法未必适用于一般情形.文[4]的解法确实巧妙,它适用于指数为正数的情形,但对指数为负数的情形未必适用.那么,这类问题有没有通性解法与规律呢?本文给出用导数的探求方法,它适合这类问题的任何具体形式,并且,学过导数的中学生都能接受. 相似文献
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华中师范大学2010年自主招生考试数学试题的压轴题是:已知当a〉1时,函数y=x^a(a〉0)的图像如图1所示.
(i)设a〉1,试用y=x^a(a〉0)的图像说明,当x1〉0,x2〉0时,不等式
(x1+x2/x)^a≤x1^a+x2^a/2①成立. 相似文献
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2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题第10题为:已知正实数a,b满足a2+b2=1,且a3+b3+1=m(a+b+1)3,求m的取值范围.先作一个简单分析,因为a+b+1>0,所以m=a3+b3+1(a+b+1)3,要求m的取值范围,只需求出m的最值,所以此题实质上是一个二元函数的最值 相似文献
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第20届伊朗数学竞赛中有如下一道三元不等式题:已知a,b,c为正实数,a2+b2+c2+abc=4,求证:a+b+c≤3.如果退化为二元情况,不妨令c=b,则题设条件变为a2+2b2+ab2=4(*),整理得a+b2=2,在此式中再分别令a=x+y/2,b=xy(1/2)或者a=2x+y/3,b=xy(1/2)等,并代入后进行整理,就得到下列几道最值题:问题1已知x, 相似文献
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基本不等式"(a+b)/2≥(ab)(1/2)(a,b≥0)"是高中所学不等式中的重点,其内涵丰富,应用之广泛.其中求最值是它最典型的应用,也是高考常考内容.在利用基本不等式求最值时,必须要满足"一正、二定、三相等"三个条件,缺一不可,才能确保等号的成立."一正"即"a、b均为正数";"二定"即"和为定值时,积有最大值... 相似文献
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函数模型 函数y=x2+a2-λx(0〈λ〈1,a〉0,x〉0,a,λ是常数),当x=λa/1-λ2时,有极小值ymin=1-λ2·a. 相似文献
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引子 用长为 1 6米的篱笆借助一墙角围成一矩形ABCD ,利用均值不等式可知当AD =DC时 ,面积有最大值 8× 8=64.如果将距离两墙分别是 9,4米处的一棵树圈进去 ,则AD ,DC就不可能相等了 ,因此无法用均值不等式进行求解 ,那么如何求最值呢 ?分析 1 均值不等式a+b2 ≥ab(a ,b∈R+)从一个侧面揭示两个正数的和a +b与积ab的关系 ,当a=b时 ,ab =(a+b) 24 ,当a≠b时 ,仅知ab <(a+b) 24 ,小多少不知 ,这种静态的分析 ,揭示的是两数定性的关系 ,对两数的大小关系的理解是肤浅的 ,他们之间的定性的关系是怎样的 ?造成不等的因素又是什么呢 ?,能… 相似文献
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1 一个例题文 [1 ]中钱亦青老师举到如下例题 :求函数 f(a ,b ,c) =1a3(b +c) + 1b3(c+a)+ 1c3(a +b) 在条件a >0 ,b >0 ,c >0 ,abc =1之下的最小值 .该题变式为 :命题 1 已知a >0 ,b>0 ,c>0且abc=1 ,求证 :1a3(b+c) + 1b3(c+a) + 1c3(a +b) ≥32 ( 1 )现采用文 [2 ]构造函数的方法证明不等式( 1 ) .证 为了书写方便 ,设U =1a3(b +c) +1b3(c+a) + 1c3(a+b) ,V =1a+ 1b+ 1c.构造函数g(x) =xaa(b +c) -a(b+c) 2 + xbb(c+a) -b(c+a) 2 + xcc(a +b) -c(a +b)2=x21a3(b +c) + 1b3(c+a) + 1c3(a+b) - 2x 1a+ 1b+ 1c + [a(b +c) +b(c… 相似文献
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1 重、难点分析1)不等式的基本性质是学习的重点 .运用不等式的基本性质解决不等式问题时 ,应注意不等式成立的条件 ,否则会出现错误 .2 )下面是有关基本不等式的重要结论 :若a ,b ,c∈R+ ,则 21a + 1b≤ab≤ a +b2 ≤a2 +b2 (当且仅当a =b时取等号 ) .31a + 1b + 1c≤ 3 abc ≤ a +b +c3≤a2 +b2 +c23(当且仅当a =b =c时取等号 ) .另外由基本不等式可得到下列结论 :① 4ab≤ (a +b) 2 ≤ 2 (a2 +b2 ) (a ,b∈R ,当且仅当a =b时取等号 ) ;② 3(ab+bc +ca)≤ (a +b +c) 2 ≤ 3(a2 +b2 +c2 ) (a ,b ,c∈R ,当且仅当a =b =c时取等号 ) ;③ a… 相似文献