反函数的性质应用举例

我们知道 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ)若存在反函数 ,则 ｙ =ｆ(ｘ)与它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)有如下性质 :性质　若 ｙ =ｆ-1(ｘ)是函数 ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,则有ｆ(ａ) =ｂ ｆ-1(ｂ) =ａ .这一性质的几何解释是 ｙ =ｆ(ｘ)与其反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图象关于直线 ｙ=ｘ对称 .例 1　函数 ｙ =2 - 34ｘ -ｘ2 - 3( 1≤ｘ≤ 2 )的反函数是 ｙ =ｆ(ｘ) ,则 ｆ( 2 ) =.解　设 ｆ( 2 ) =ｘ ,则由性质知ｆ-1(ｘ) =2 ,即 2 - 34ｘ -ｘ3 - 3=2 ( 1≤ｘ≤ 2 ) ,化简得ｘ2 - 4ｘ + 3=0 ,解得ｘ =1 .所以 ｆ( 2 ) =1 .例 2　函数 ｆ(ｘ) =ｘ - 2ｘ +ａ的图象关…     

论函数与其反函数的图象的公共点

我们知道 ,单调函数都存在反函数 ,且反函数与原函数具有相同的增减性 ;互为反函数的两个函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,但是它们的图象不一定有公共点 ,如函数ｙ =2 ｘ 与ｙ =ｌｏｇ2 ｘ的图象就没有公共点 .如果互为反函数的两个函数的图象有公共点 ,那么公共点是否一定在直线 ｙ =ｘ上呢 ?例 1　求下列函数的反函数 ,以及原函数与其反函数的图象的公共点 .1) ｆ(ｘ) =ｘ3 ;( 2 ) ｇ(ｘ) =-ｘ3.解　 1)由 ｙ =ｘ3,得ｘ =3 ｙ.因此函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 的反函数为 ｆ-1 (ｘ) =3 ｘ .解方程组 ｙ =ｘ3,ｙ =3 ｘ .消去ｙ ,得 :ｘ3 =3 ｘ .两边…     

综合题新编选登

题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

函数图象的有关问题

函数图象是函数的一种表达形式 ,是刻划函数性质的重要内容 ,函数图象也是高考命题的热点 .下面例谈函数图象的类型及解题策略 .一、图象的变换1.图象的平移函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象沿ｘ轴向左或向右平移ａ(ａ >0 )个单位 ,所得到的图象的函数表达式为 ｙ =ｆ(ｘ +ａ) 或 ｙ =ｆ(ｘ -ａ) ;而沿 ｙ轴向下或向上平移ｂ(ｂ>0 )个单位所得到的图象为ｙ +ｂ =ｆ(ｘ)或 ｙ -ｂ=ｆ(ｘ) .例 1　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是 (　　 ) .(2 0 0 2全国高考试题 )(Ａ)　　 (Ｂ)　　(Ｃ)　　 (Ｄ)　　分析　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是由ｙ =- 1ｘ的图象沿ｘ…     

函数f（x）与f^—1（x）图象的交点一定落在直线y=x上吗？

最近碰到这样一个题目 :已知函数 ｙ =ａｘ ｂ的图象与它的反函数的图象有一个交点Ｍ ( 1,2 ) ,则两个函数图象共有交点(　　 )(Ａ) 1个 .　　　　　 (Ｂ) 2个 .(Ｃ) 3个 .　　　　　 (Ｄ) 4个 .分析 :注意到“互为反函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称” ,则点Ｍ关于直线 ｙ =ｘ的对称点Ｍ′( 2 ,1)也一定是它们的交点 .于是我选了 (Ｂ) .但书后的答案是 (Ｃ) .经过一番思索 ,我终于明白了 (Ｃ)为什么是正确答案 .将点Ｍ ( 1,2 ) ,Ｍ′( 2 ,1)代入 ｙ =ａｘ ｂ中 ,可得2 =ａ ｂ ,1=2ａ ｂ ,解得 ａ =- 3,ｂ =7.∴函数 ｙ =ａｘ ｂ的解析式…     

关于函数图象对称问题的相关命题研究

函数是高中数学的重点内容之一 ,函数问题的多变体现了函数的特点 .研究函数图象的对称特点 ,对更进一步理解函数的性质是十分重要的 .1　图象关于点对称问题的相关命题定理　奇函数ｙ=ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ｒ的图象关于原点对称 .(证明见教材 ,略 .)奇函数满足ｆ(-ｘ)= -ｆ(ｘ)可写为ｆ(0 +ｘ) +ｆ(0 -ｘ) =0 ,ｘ∈Ｒ .由以上关系式拓展得如下命题 .命题 1　若一个函数ｙ =ｆ(ｘ)对任意ｘ∈Ｒ满足ｆ(ａ -ｘ) +ｆ(ａ+ｘ) =2ｂ,当且仅当它的图象关于点 (ａ,ｂ)成对称图形 .证明　设点Ｍ(ｍ ,ｎ)为函数ｆ(ｘ)图象上任意一点 ,它关于点 (ａ ,ｂ)的对称…     

y=f(x+1)与y=f~(-1)(x+1)互为反函数吗?

从图象上看　ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象是分别将 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的图象向左平移一个单位所得 ,因 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)图象关于 ｙ =ｘ对称 ,将 ｙ =ｘ向左平移一个单位得 ｙ =ｘ + 1,所以函数 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象关于 ｙ =ｘ + 1对称 ,因而 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)不一定互为反函数 .从求反函数过程看　由 ｙ =ｆ(ｘ + 1)有ｘ + 1=ｆ- 1(ｙ)即ｘ =ｆ- 1(ｙ) - 1,互换ｘ ,ｙ ,有 ｙ =ｆ- 1(ｘ)- 1,所以 ｙ =ｆ(ｘ + 1)的反函数为 ｙ =ｆ- 1(ｘ) - 1.记号 ｙ =ｆ- 1(…     

反函数的性质及应用

反函数是高中数学的重要知识点 ,也是难点 .本文主要系统介绍反函数的性质 ,并巧妙运用这些性质去解答相关的问题 .性质 1　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的定义域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的值域 ;函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的值域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的定义域 .性质 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象和它的反函数 ｙ=ｆ- 1(ｘ)的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 .性质 3　若单调函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 互为反函数 .性质 4　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 若是单调函数 ,则它的反函数 ｙ =ｆ- 1(…     

与反函数有关的几个对称问题

由高中《代数》（上册）互为反函数的性质知：互为反函数的两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．那么函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）与函数ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象是否也关于直线ｙ＝ｘ对称？它们之间到底有何关系？本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题：定理１　若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数为ｙ＝ｆ－１（ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）（ｃ∈Ｒ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋ｃ）的图象关于直线ｙ＝ｘ＋ｃ对称．证明　设Ｐ（ａ,ｂ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）上任意一点,则　　　　　　ｂ＝ｆ（ａ＋ｃ）①而点Ｐ（ａ…     

函数图象变换常见错误剖析

由于函数概念不清 ,导致在处理函数图象变换的问题中出现错误 ,下面列举学生在练习中几种常见错误 ,关剖析错因 .错误 1　函数 ｙ =ｆ( -ｘ ａ)的图象是函数 ｙ=ｆ( -ｘ)的图象沿ｘ轴右移 (ａ <0 )或左移 (ａ >0 )|ａ|个单位而得到 .剖析　函数图象的左右平移的根据是自变量ｘ发生变化情况 ,而错误 1中确定图象变换是根据中间变量 -ｘ的变化而非ｘ的变化 .正确结论为 :ｙ =ｆ( -ｘ ａ) =ｆ[- (ｘ -ａ) ]的图象是 ｙ =ｆ[- (ｘ) ]的图象沿ｘ轴左移 (ａ <0 )或右移 (ａ >0 ) |ａ|个单位而得到 .错误 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ -ａ)的图象与函数ｙ =…     

“由反函数的定义域求给定函数的值域法”是错误的

若已知函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)是函数ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,那么 ,由函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)的定义域求得函数ｙ=ｆ(ｘ)的值域是无可非议的 .但是现在许多高中数学课外读物 (甚至教材[1 ] 上所介绍的“由反函数的定义域求给定函数的值域”法却值得商榷 .1　“由反函数的定义域求给定函数的值域法”在理论和实践上的失误以下两例 (或类似的例题 )常常被引为“由反函数的定义域求给定函数的值域法”的典型例题 :例 1　求函数ｙ =2ｘｘ 2 (ｘ≠- 2 )①的值域 .解　因为函数①的反函数是ｙ=2ｘ2 -ｘ它的定义域是 :(-∞ ,2 )∪ (2 , ∞ ) .所以函数①的值…     

关于f-1(x+a)与f(x+a)互为反函数的一个结论

1999年全国“希望杯”竞赛题 (高一 )中有一题为 :已知函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ ,它的反函数为ｆ- 1 (ｘ) ,如果ｆ- 1 (ｘ 1 )与ｆ(ｘ 1 )互为反函数且ｆ(1 ) =2 ,则ｆ(2 )等于 (　 ) .Ａ 2　　Ｂ 1　　Ｃ 0　　Ｄ - 1解　因为ｆ(1 ) =2所以函数ｆ(ｘ)图象上有一点 (1 ,2 ) .故ｆ(ｘ)的反函数ｆ- 1 (ｘ)图象上有一点 (2 ,1 ) .所以函数ｆ- 1 (ｘ 1 )图象上有一点 (1 ,1 ) .又函数ｆ- 1 (ｘ 1 )与ｆ(ｘ 1 )互为反函数 ,所以函数ｆ(ｘ 1 )图象上必有一点 (1 ,1 ) .所以ｆ(2 ) =1 .　　　故选 (Ｂ) .该题结果虽然选出来了 ,然而总感到意犹未尽 …     

综合题新编选登

题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

凸函数的一个性质

文 [1]通过引入参数证明了如下三个不等式 :( 1)已知正数ａ、ｂ、ｃ满足ａ ｂ ｃ =3,则4ａ 1 4ｂ 1 4ｃ 1>2 13.( 2 )在△ＡＢＣ中 ,ｔｇ Ａ2 ｔｇ Ｂ2 5 ｔｇ Ｂ2 ｔｇ Ｃ2 5 　　ｔｇ Ｃ2 ｔｇ Ａ2 5>6 2 5.( 3)已知正数ａ、ｂ、ｃ满足ａ ｂ ｃ =2 ,则3 7ａ 1 3 7ｂ 1 3 7ｃ 1>2 3 15.本文将 ( 1)、( 2 )、( 3)统一推广 ,得到凸函数的一个有趣性质 .首先引入凸函数的概念 .定义[2 ] 　设函数ｙ=ｆ(ｘ)在 [ａ , ∞ )上有定义 ,对任意ｘ1 、ｘ2 ∈ [ａ , ∞ ) ,ｘ1 <ｘ2 ,若其图象上任两点Ｐ(ｘ1 ,ｆ(ｘ1 ) )、…     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

关于复合函数的三个问题

复合函数是形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的函数 ,如 ｙ =ｌｏｇ3(ｘ2 -2ｘ 3 )由 ｙ =ｌｏｇ3ｕ ,ｕ =ｘ2-2ｘ 3复合而成 ;ｙ =( 3ｘ 1) - 13是由 ｙ =ｕ- 13,ｕ =3ｘ 1复合而成 ,ｙ =ａｓｉｎｘ(ａ >0且ａ≠ 1)由ｙ =ａｕ,ｕ =ｓｉｎｘ复合而成 ,其中ｇ(ｘ) 称为内层函数 ,ｙ =ｆ(ｕ)称为外层函数 ,且均为基本函数 .关于复合函数一般有三个问题要研究 .1　已知 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式 ,求 ｆ(ｘ)的表达式 .例 1　已知 ｆ( 2ｘ -1) =ｘ2 (ｘ∈Ｒ) ,求ｆ(ｘ) 的表达式 .解法 1　 (换元法 )令 2ｘ -1=ｔ ,则ｘ =ｔ 12 .∴ ｆ(ｔ) =14 (ｔ 1) …     

一个三角形三边关系猜想的否定

贵刊文 [1 ]否定了文 [2 ]给出的三角形三边定理 ,证明了除非对任意的正实数ａ ,ｂ ,ｃ都有ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 ,否则 ,三角形的三边ａ ,ｂ,ｃ不存在整式关系式ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 ,并且提出如下猜想 :除非ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ)恒等于零 ,否则 ,对任意三角形三边ａ ,ｂ ,ｃ而言 ,不存在一个固定的关系式ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0 .本文指出上面的猜想是不成立的 .利用符号函数ｓｇｎｘ =1 ,当ｘ>0时 ;0 ,当ｘ =0时 ;-1 ,当ｘ<0时 ,引入如下三元实值函数ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) =ｓｇｎ(ｘ+ｙ -ｚ) +ｓｇｎ(ｘ+ｚ-ｙ)+ｓｇｎ(ｙ+ｚ -ｘ) -3 .由于ｆ(2 ,1 ,1 ) =-1 ≠ 0…     

函数的对称性与周期性的关系及应用

对称性和周期性是函数的两个重要性质 ,它们之间存在什么内在的联系呢 ?这是本文要探讨的问题 .定理　函数 ｙ =ｆ(ｘ)满足 ｆ(Ｔ ｘ) =ｆ(Ｔ -ｘ) (Ｔ为常数 )的充要条件是 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象关于直线ｘ =Ｔ对称 .证　设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｘ =Ｔ的对称点为Ｐ′ (ｘ1,ｙ1) ,则 ｙ1=ｙ0 ,Ｔ =ｘ0 ｘ12 ,即ｘ0 =2Ｔ -ｘ1.1 )充分性 :若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为 ｙ =ｆ(ｘ)的图象上任一点 ,则 ｙ0 =ｆ(ｘ0 ) ,又因为 ｙ0=ｙ1,所以有 :ｙ1=ｆ(ｘ0 ) =ｆ(2Ｔ -ｘ1) =ｆ[Ｔ (Ｔ-ｘ1) ]=ｆ[Ｔ - (Ｔ -ｘ1) ]=ｆ(ｘ1) .∴Ｐ′(ｘ1,ｙ1)也在函数 …     

求解含有绝对值的“三个二次”综合题的五个着眼点

中学数学中的“三个二次”是指二次函数、二次方程、二次不等式 .以二次函数为中心 ,用它的图象和性质串联另外两个“二次”以及其他知识组成的综合题是历年高考的重点 .含有绝对值的“三个二次”综合题乃重中之重 ,解答这类问题常从以下几个方面考虑 .1　运用公式 | |ａ| - |ｂ| |≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|例 1　函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 ) ,若函数ｆ(ｘ)的图象与直线ｙ =ｘ和ｙ =-ｘ均无公共点 ,求证 :1) 4ａｃ -ｂ2 >1;2 )对一切实数ｘ ,恒有 |ａｘ2 +ｂｘ +ｃ| >14 |ａ| .分析 :1)略 .2 ) |ａｘ2 +ｂｘ …     

错在哪里?

例 1　若函数 ｆ(ｘ)有反函数 ｆ- 1(ｘ) ,已知ｆ(ｘ) 的图象经过点 (0 ,- 1) ,则 ｆ- 1(ｘ + 4 )的图象必经过点 (　　 )(Ａ) (- 1,- 4) .　 (Ｂ) (- 4,- 1) .(Ｃ) (0 ,- 5 ) .(Ｄ) (- 5 ,0 ) .错解　∵ ｆ(ｘ)的图象向左平移 4个单位得ｆ(ｘ + 4 ) 的图象 ,再作 ｆ(ｘ + 4 )的图象关于直线 ｙ =ｘ的对称图得 ｆ- 1(ｘ + 4 )的图象 .由条件 ｆ(ｘ)的图象过点 (0 ,- 1) ,∴ｆ(ｘ + 4 )的图象过点 (- 4,- 1) ,∴ｆ- 1(ｘ + 4 )的图象过点 (- 1,- 4) ,故选 (Ａ) .问 :上述错误解法错在哪里 ?答 :错在“作 ｆ(ｘ + 4 )的图象关于直线 ｙ =ｘ的…