关于调和级数发散性证明的几个途径

<正> 调和级数作为一把“尺子”去判别另外一个级数是发散的起着重要作用。它的发散性一般教材上通常是用性质来证;Apostol著的Calculus采用的是几何证明方法。本文在综合已有的证明方法的同时,再给出几种新途径。     

介绍调和级数发散性的两种证法

调和级数sum fromμ=1to∞ 1/n是一个典型的发散级数的例子.对其发散性的证明采用的是传统的“添加括号”的证法.下面介绍另外几种证法.证法一(反证法)假设sum fromμ=1to∞ 1/n收敛于S则有 然而     

还有比调和级数发散速度更慢的正项级数吗

本文从调和级数前n项和的欧拉估计出发,定义正项发散级数发散速度序列,给出判别正项级数发散速度快慢法则.并依据此法构造出发散速度无限降低的正项级数序列,其比调和级数发散速度更慢.     

关于调和级数的一些不等式

本文在改进Ｅｕｌｅｒ－Ｍｅｃｌａｕｒｉｎ求和公式的基础上，建立调和级数的一般不等式，并对若干经典不等式作出改进．     

关于调和级数的一些探讨

通过对调和级数的探讨．发现调和级数中分母含9的所有项构成的级数发散,从而解决了有人关于调和级数既发散又收敛的疑问．此外还对调和级数去掉分母含某类数字的项后所得级数收敛这个奇妙特性给出注释．     

关于调和级数部分和的估计

本文利用 Bernoulli 数给出可以精确到任意 O(1/n~(2k))阶的 Euler 公式,即对任意自然数 k,总有(?)1/m=C+(?)nn+1/(2n)-((?)B_(2(?)))/(2i)·1/(n~(2(?)))+O(1/(n~(2(k+1)))其中,B_(2(?))(i=1,2,3,…)为 Bernoulli 数,C 为 Euler 常数.     

关于调和级数的几个命题

<正> 调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)是通项趋于零的发散级数。本文讨论它的几个有趣命题。调和级数的部分和产S_n=1+1/2+1/3+…+1/n当然是n的函数,但至今不能用一个n的     

调和级数sub from n=1 to ∞ 1/n发散性证明及讨论

<正> 调和级数是级数理论中一个较为重要的发散级数。许多级数的敛散性需借助于它来讨论。但是在一般工科《高等数学》教材中,因受到理论系统及篇幅的限制,只在阐明某些敛散性理论时做为例题提到它的某些性质,对于它的发散性证明往往采用较繁琐的传统证明方法。本     

再谈调和级数Sum from n=1 to ∞() 1/n发散性的证明

贵刊于87年第二期发表“这种证法对吗？请思考”的文章。并在期刊中给出答案，认为问题中的证明不对。为此，文［1］专门研究了不对的原因，并给出了问题的一种简易证明。本文假定级数收敛，导致成立的矛盾。本文给出了严格的证明，从而完整地解决了这个问题。为方便下文，给出如下结论：gi理1没有两个收敛级数：则级数（S；＋S；）十（S。＋S。）＋…＋（S。＋S。）十一也收敛，且和为S＋。引理2收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和。引理卫、引理2的证明见文［Zj第十一章第一节性质2、性质4。＿＿，。，、＿、＿，＿＿＿l，…     

调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的两种简单证法

引理1设有两个收敛级数：则级数也收敛,其和为引理2收敛级数在不改变各项顺序下加括弧号后所成的新级数仍收敛于原来的和．引理3若级数收敛,则组数（k为常数）也收敛,以上三个引理的证明见一般高数教材．下面用反证法给出调和级数发散性的两种证明．（2）式-（1）式,再结合引理1知这等式显然矛盾．故发散的．证法。设2上收敛分别是否“的前n项与前2顶之和．由收敛的定义知由极限保序性知最后再指出一种用几何平均值与算术平均值的关系的证明方法．是发散的调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的两种简单证法@周世国$郑州工业大学@成…     

浅谈调和级数

本文介绍调和级数发散至无穷的多种证明.     

关于调和级数的部分和的推导及证明

中世纪后期,数学家Oresme证明了所有调和级数都是发散的,但是调和级数的拉马努金和存在,且为Euler常数.Euler在1734年利用Newton的成果,首先给出了调和级数的部分和的表达式.通过分析Ross,S.M.对经典概率论问题“优惠券收集问题”的解决方法,得到了调和级数的部分和的不同表达式,并运用数学归纳法,变...     

广义调和级数的推广

将广义调和级数sum from n=1 to ∞ 1/n~x推广为一类指数项级数sum from n=1 to ∞ a_nd_n~x,并证明了这类指数项级数有结构简单的收敛域,其和函数的性质与幂级数的相似.     

改号的调和级数的收敛性

本文探讨调和级数　各项中的符号以等差或等比的个数改号下所得级数的收敛性。     

关于发散的p-级数的一个发散速度估计

设p∈(0,1),本文研究p-级数∑∞n=1n~(-p)的发散速度估计.通过构造适当的区间套,得到了limn→∞A_(n,p):=C_p∈(p,2~(1-p)-1+p),0C_p-A_(n,p)(1-p)n~(-p),这里,A_(n,p)=n~(1-p)-(1-p)∑k=nk=1k~(-p).进一步,应用数值积分的梯形公式,得到了lim_(n→∞)n~p C(_p-A_(n,p))=(1-p)/2以及C_p-A_(n,p)的二次估计.所得结果改进了文(马书燮,关于发散p-级数的一个不等式[J].大学数学,2013,29(2):147-150.)中的结果.     

调和级数与欧拉常数

<正> 读过高等数学者都知道调和级数sum from K=1 to ∞(1/K)是发散的,然而一般工科学生除此而外却一无所知。本文先推导两种关于调和级数发散的不同于一般教材的证明,然后介绍欧拉常数,旨在拓宽学生的知识面,而且在提高他们学习兴趣的同时启发他们如何从“平淡”的问题进行深一步的探讨。     

调和级数及其有关问题

<正> 调和级数1+1/2+1/3+…+1/n+…是数学分析中讨论得很多的一个级数,它的许多重要性质在级数收敛性理论与级数求和计算中经常用到。但在一般数学分析教材中,因为受到理论系统性及篇幅的限制,一般只在阐明某些级数收敛性理论时,作为例子提到它们的某些性质。本文的目的在于将调和级数的性质集中加以考虑,以期把由调和级数所能表达的级数某些性质更显著的突出出来。     

调和级数的一个有趣性质

对于调和级数sum from n=1 to ∞(1/n),它是一个发散的无穷级数,但笔者对其稍作变形,发现它有一个很有趣的性质.即性质:调和级数sum from n=1 to ∞(1/n),如果在调和级数中删去分母中含有数字1,2,3,…9 中任一个的所有项,则所得无穷级数将都收敛,且其和小于30.     

对调和级数性态的研究

将调和级数分别去掉那些分母是奇数的项、分母是偶数的项、分母是质数的项、分母是合数的项,所得无穷级数仍发散.利用欧拉常数的概念可证明调和级数发散.