p为偶数时p-级数的和

推导p-级数∑∞n=11np在p=4,6,8情形下的和,并给出∑∞n=11(2n-1)2k(k∈瓔*)的递推计算公式,进而得出∑∞n=11n2k(k∈瓔*)的和.结果显示,∑∞n=11n2k的和与π2k成正比.     

从一道习题谈ξ(2n)的求法

一般的高等数学教科书或习题集在Fourier级数这一章都安排有类似以下的例题或习题:求x2/4-π|x|/2 π2/6在[-π,π]上的Fourier级数展开式,并计算∑∞n=11/n2的值.它的答案是x24-π2|x| π26=∑∞n=11n2cosnx,-π≤x≤π.(1)　在上式中令x=0得∑∞n=11n2=π26.仔细观察(1)式的右边会发现如果对它积分2次,再令x=0就会出现和式∑∞n=11/n4.一般地对(1)式右边不断积分重复2k-2次,再令x=0就会出现和式∑∞n=11/n2k.这就启示我们也许可以通过上述方式来求级数∑∞n=11/n2k的值.下面我们就来实现它.为符号简单起见,记ξ(2k)=∑∞n=11n2k,k≥1.把(…     

p-级数余项的一个估计

文献《On elementary bounds for ∑∞k=n 1/k^s》(American Mathematical Monthly,2015,122(2):155-158)给出了p-级数余项的一个估计,本文利用Taylor展开公式进一步改进了这个估计.     

关于sum from n=1 to ∞(1/n~2=π~2/6)的证明及应用

鉴于欧拉求得的无穷级数∑∞n=11n2收敛于π26的特殊性和重要性,用列举与对比的方法又给出了∑∞n=11n2=π26的若干不同的证明方法及其应用.     

关于sum from n=1 to ∞(1/n~2=π~2/6)的证明及应用

鉴于欧拉求得的无穷级数∑∞n=11n2收敛于π26的特殊性和重要性,用列举与对比的方法又给出了∑∞n=11n2=π26的若干不同的证明方法及其应用.     

sum from n=1 to ∞(1/n~(2m))的一种求和法

本文通过求出函数 F (x) =x2 m 的 Fourier级数展开式 ,得出了 ∑∞n=11n2 m =Amπ2 m 中 Am 的递推关系式 .     

Fourier-Laplace级数的强逼近

设f是Rn(n≥3)中单位球面∑n-1上的可积函数,Sθ(f)是步长为θ∈R的平移算子.σδN(f)是Fourier-Laplace级数的δ阶Ceaaro平均.如果∫π0 |Sθ(f)-f|p/θ2dθ∈ L∞ (∑n- 1 ),则∑∞k=0 |σλk(f)-f|p∈L∞(∑n-1)且∑∞k=0(f)-f|p∈L∞(∑n-1 ),其中Eλk(f)为Cesaro平均σλk的等收敛算子.     

两个和式的求法

文[1]给出了以下问题及其答案:问题有一个楼梯共有n级,如果规定每一步只能走1级或者2级,那么要登上第n级楼梯共有多少种不同的走法?答案:当n为奇数时,走法有C1n 12 C3n 23 C5n2 5 … Cnn n2种,当n为偶数时,走法有C02n C2n2 2 C4n 42 … Cnn n2种.下面我们来求出这两个和式的结果.对一切k∈N*,记Ak=C1k C3k 1 C5k 2 … C22kk--11,则A1=1,A2=3,A3=8,….记Bk=C0k C2k 1 C4k 2 … C22kk--12 C22kk,则B1=2,B2=5,B3=13,….显然,原问题的答案分别为An2 1和B2n.定理1Ak Bk=Ak 1.(用Cnm Cnm 1=Cnm 11可证)定理2Ak 2=3Ak 1-Ak.证明3A…     

sum from i=1 to ∞(1/(i~2)=(π~2)/6)的一个初等证明

求级数∑∞i=11i2 和的问题是由瑞士数学家伯努力在 1 8世纪 2 0年代首先提出的 ,但他未能解决 ,欧拉将三角函数方程与代数方程进行了大胆的类比 ,猜测结果应该为π26 ,后来人们用傅立叶级数的理论验证了欧拉的猜测 ,并为欧拉的这种大胆类比而惊叹不已 .本文将给出这一问题的初等证明 .引理 1　若 0 相似文献   

求函数项级数收敛区间的一种新方法

对形如∑∞n=0anxkn+b(k∈,b∈)的幂级数,当其缺项的时候,不能直接用公式ρ=li mn→∞an+1an求其收敛半径与收敛区间(本文约定收敛区间不含端点),一般都是直接采用达朗贝尔(比值)判别法求其收敛半径与收敛区间.事实上,对这种幂级数只需先作一个变量代换,就可以采用公式法求解.本文给出了这种方法的理论证明,并将结论进行了推广,即利用变量代换与公式法同样可求形如∑∞anxkn+bs(k,s∈,b∈)形式的函数项级数的收敛区间.     

无穷小的阶在判断级数敛散性中的应用

在正项级数审敛法中有一个极限形式比较法,当达兰贝尔比值法失效时就常应用此审敛法.定理　设∑∞n=1un和∑∞n=1vn,其中un>0,vn>0,如果limn→∞unvn=λ(0<λ< ∞)则级数∑∞n=1un和∑∞n=1vn同时收敛,或同时发散.上述审敛法叫做正项级数的极限形式比较审敛法,因为un→0(当n→∞时)(否则∑∞n=1un发散),所以上述审敛法的实质是寻求无穷小un(n→∞时)的同阶无穷小vn,且∑∞n=1vn的敛散性或已知或容易判断.于是问题的实质将由un去寻求其同阶无穷小vn并转而确定un为1n(n→∞时)的几阶无穷小.一、无穷小阶的求法下面给出无穷小阶的三种常见求法:…     

关于发散的p-级数的一个发散速度估计

设p∈(0,1),本文研究p-级数∑∞n=1n~(-p)的发散速度估计.通过构造适当的区间套,得到了limn→∞A_(n,p):=C_p∈(p,2~(1-p)-1+p),0C_p-A_(n,p)(1-p)n~(-p),这里,A_(n,p)=n~(1-p)-(1-p)∑k=nk=1k~(-p).进一步,应用数值积分的梯形公式,得到了lim_(n→∞)n~p C(_p-A_(n,p))=(1-p)/2以及C_p-A_(n,p)的二次估计.所得结果改进了文(马书燮,关于发散p-级数的一个不等式[J].大学数学,2013,29(2):147-150.)中的结果.     

(ζ)(i)的一个新的卷积公式

本文利用概率方法讨论了关于Riemann Zeta函数ζ(i)的卷积∑k-2 i=2ζ(k-i),k≥4, Euler证明了这个卷积与级数∑n≥1 Hn/nk-1有关,使用Stirling展开我们发现了一个新的不同的结果．     

半平面上的无限级随机Dirichlet级数的值分布

本文通过 Dirichlet级数增长性研究结果改进 ,以及对独立随机变量列 { Zn} ,在条件 EZn=0 , 正数α>0 ,使得 ,0 相似文献   

ζ(2k)的一种简便算法

给出了Riemannζ函数中ζ(s)=∑1/ns,当s=2k(k∈N+)时的欧拉公式的简便证明方法和若干应用.     

关于Hardy不等式的加强改进

对 Hardy不等式 ,建立如下结构的加强不等式 :∑∞n=11n∑nk=1akp 1 ,an≥ 0 (n∈ N) ,0 <∑∞n=1apn<∞ ,Cp=1 -(1 -p- 1) p- 1,p≥ 2 ;1 -p- 1,1 相似文献   

T路计数问题的推广

本文将二维直交空间中的 T路计数问题推广到 n维直 (斜 )交空间中 k( n)向 T路计数问题 ,并给出 n=3,k=2 ,3时的一些具体计数公式 ,同时给出了 Catalan数的几个新的几何 (组合 )解释     

ξ（i）的一个新的卷积公式

本文利用概率方法讨论了关于Riemann Zeta函数ξ（i）的卷积∑^k-2 i=2 ∑（k-i）,k≥4,Euler证明了这个卷积与级数∑ n≥1 Hn/n^（k-1）有关，使用Stirling展开我们发现了一个新的不同的结果．     

Landau常数和Lebesgue常数的渐近性与不等式

对于所有的整数n≥0,Landau常数和Lebesgue常数分别定义为G_n=∑nk=01/16~k(2k/k)~2和L_n=1/2π∫_(-π)~π|sin((n+1/2)t)/sin(1/2t)|dt.本文给出G_n和L_(n/2)新的渐近级数.基于获得的结果,本文建立了Landau常数和Lebesgue常数新的不等式.设f∈C[-1,1],(s_nf)(x)=∑_(k=0)~na_kT_k(x)是f的Chebyshev展开式的部分和.Cheney指出,对于所有直到400为止的n值,当用最佳多项式逼近替代s_nf时,精度至多提高一位十进小数.本文证明了Cheney的论断对于n≤191833603亦真,而且本文说明了191833603不能被更大的整数替代.     

具有固定行列和k的阶为2k-2的(0,1)-矩阵的最大跳跃数

1992年Brualdi与Jung首次引出了最大跳跃数M(n,k),即每行每列均含k个1的阶为n的(0,1)-矩阵的跳跃数的极大数,给出了满足条件1≤k ≤n ≤10的(0,1)-矩阵的最大跳跃数M(n,k)的一个表,并提出了几个猜想,其中包括猜想M(2k-2,k)=3k-4 [k-2/2].本文证明了当k≥11时,对每个A∈∧(2k-2,k)有b(A)≥4.还得到了该猜想的另一个反例.