单个守恒型方程熵耗散格式中熵耗散函数的构造

对于一维单个守恒律方程,文[8]设计了一种非线性守恒型差分格式.此格式为二阶Godunov型的,用的是分片线性重构(reconstruction),重构函数的斜率是根据熵耗散得到的.格式满足熵条件.与传统的守恒格式不同的是此格式在计算过程中不仅用到了数值解还用到了数值熵.在此格式中一个所谓的熵耗散函数起到了很重要的作用,它在每一个网格的计算中耗散熵,以保证格式满足熵条件.文[8]中设计的熵耗散函数比较复杂,并且不是很完善.故数值地分析了在格式的构造中为何应给熵以一定的耗散,及应耗散多少.并且给出了一个新的以数值解的二阶差分作为基本模块的熵耗散函数.最后给出了相应的数值算例.     

结合KFVS方法的RKDG有限元格式求解可压缩流体力学方程组

迎风格式被应用于双曲守恒率方程组求解时，往往需要计算精确或近似的Riemann解，这无疑增加了数值算法的复杂性。为了能降低迎风格式的这一复杂性，直接对宏观通矢量进行分裂的迎风算法—通矢量分裂算法FVS(Flux Vector Splitting)的研究引起了人们的广泛关注。第一个通矢量分裂算法是Sanders和Prendergast基于气体分子动力学理论提出的Beam格式。由于Beam格式构造的基础是用3个Delta函数逼近分子速度平衡分布函数Maxwell分布函数，因而格式的数值耗散仍然比较大。类似于Beam格式，     

解Hamilton-Jacobi方程的不连续有限元方法

将两类具有不同基函数的有限元应用于Hamilton Jacobi方程,得到了求解Hamilton Jacobi方程的不连续有限元数值格式,并证明了这两类格式数值解在一定条件下收敛于Hamilton Jacobi方程的弱解.数值实例比较了两类格式的精度和分辨间断的能力.     

常微分方程边值问题的局部精确数值方法

基于微分方程系数结构特征和解函数的特殊性质,提出了求解常微分方程边值问题的局部精确数值方法,构造出了三种新的差分格式,即指数型差分格式、振荡型差分格式、指数-振荡型差分格式。这些格式能很好地描述微分方程具有大梯度、窄剪切层、剧烈振荡等特殊性质的解。对一些被公认为困难的数值问题,如奇扰动微分方程、刚性微分方程、具有剧烈振荡解的微分方程、具有转向点的微分方程等,应用该方法可得到理想的数值结果。理论与数值实验都表明,这种新方法具有十分明显的优点,能解决一些用现有方法无法圆满计算的数值问题。     

浅水波方程的黏性正则化PINN算法

针对经典PINN(Physics-informed Neural Networks)在求解浅水波方程间断问题时的不足，提出一种黏性耗散机制的正则化PINN算法。该算法利用黏性正则化的浅水波方程作为网络构建中的物理约束，并在损失函数中作为惩罚项，训练网络用正则化方程的光滑解逼近原方程的间断解，采用网格加密熵稳定格式的数值解作为参考，学习得原方程在整个区域的解。对满足不同初始条件的一维、二维浅水问题进行数值模拟，并与经典PINN算法进行比较，数值结果表明新算法泛化能力强，可预测任意时刻的解，分辨率高，不会出现抹平和伪振荡现象。     

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利用函数及其高阶导数值构造五次插值函数近似网格单元内的真实解,改进数值求解双曲类偏微分方程的CIP数值算法。基于之前的一维高阶CIP数值算法思想,不同于利用时间分裂技术,发展了二维高阶CIP数值算法。改进后的算法具有五阶数值精度和显示格式的优点。     

解不可压缩流体力学问题的降阶法——Ⅱ.空间Vh的基函数和误差估计

本文对于一大类数值求解二维Navier-Stokes方程边值问题的有限元格式给出了零散度空间V^h的一组简单基函数,讨论了速度的数值误差对压力的数值解的影响,并提出一个改进算法。     

基于格子玻尔兹曼方法的一类FitzHugh-Nagumo系统仿真研究

格子玻尔兹曼方法在复杂的流体系统中得到了广泛的应用.本文针对在高于阈值常电流刺激下神经元动作电位周期性振荡的FitzHugh-Nagumo系统,构造了一类带源项和修正项的仿真格子玻尔兹曼模型.通过合理选择适当的局部平衡态分布函数和修正函数,再应用Chapman-Enskog多尺度分析,可以正确恢复出一类宏观非线性方程.通过积分法得到了修正函数的构造方法,并分析了格子玻尔兹曼模型L~∞稳定的充分条件.利用网格相关性分析,本文所构造的模型具有二阶空间精度.应用本文所提出的模型,仿真模拟了几个具有解析解的初边值系统,并与传统的改进有限差分格式(MFDM)进行了对比,结果表明本文模型所得的数值解与解析解吻合,其模拟误差小于MFDM.此外,还针对不具有解析解的初边值系统进行了数值仿真,并与MFDM进行了对比.数值结果表明,两种计算格式的数值解比较吻合,进一步证明了本文所构造模型的有效性和稳定性.     

mBBM方程的双扭结孤立波及其动力学稳定性

采用双曲函数展开法得到Modified Benjamin-Bona-Mahony（mBBM）方程的一类扭结-反扭结状的双扭结孤立波解,在不同的极限情况下,此孤立波分别退化为mBBM方程的扭结状和钟状孤立波解.对双扭结型单孤子的结构特征进行分析,构造有限差分格式对其动力学稳定性进行数值研究.有限差分格式为两层隐式格式,在线性化意义下无条件稳定.数值结果表明mBBM方程的双扭结型单孤子在不同类型的扰动下均具有很强的稳定性.对双孤立波的碰撞进行数值模拟,发现既存在弹性碰撞也存在非弹性碰撞.     

二维不可压无粘流动问题的流线——混合元数值模拟

基于流函数一涡度表达式，对不可压无粘流动问题采用沿流线的差分格式逼近涡度函数，采用混合元方法同时逼近流函数及速度场。理论分析与数值实验表明；格式对上述三个物理量具有同时逼近、高精度、高稳定性的良好性质。这是传统的数值方法难已达到的。     

溃坝洪水长波与地面障碍物作用的数值模拟

利用ＴＶＤ差分格式设计思想，给出了一种数值求解浅水波方程的数值方法，经过数值解与精确解的比较，表明该方法很好地模拟溃坝洪水洪间断面的位置和形状。进一步对溃坝洪水水波与地面障碍物的作用进行数值模拟，得到了合理的结果。     

随机扰动对拟小波方法求解对流扩散方程的影响

引进拟小波方法数值求解对流扩散方程，研究结果表明，计算带宽W有一个极值，当计算带宽W取该极值时，该方程的拟小波解的精度最高，且好于迎风格式。当边界发生随机不等幅扰动时，对于积分时间较长的情况，拟小波格式的效果要稍逊于迎风格式；当边界发生随机等幅扰动时，若计算带宽W取大于等于20的整数时，方程拟小波解的精度与迎风格式相同；当参数受到随机扰动时，W取10时的拟小波解的均方根误差要小于迎风格式；在初值发生随机扰动且计算带宽W取10时，方程的拟小波解的精度最高，好于迎风格式。     

一维双曲守恒律的龙格-库塔控制体积间断有限元方法

给出数值求解一维双曲守恒律方程的新方法——龙格-库塔控制体积间断有限元方法(RKCVDFEM),其中空间离散基于控制体积有限元方法,时间离散基于二阶TVB Runge-Kutta技术,有限元空间选取为分段线性函数空间.理论分析表明,格式具有总变差有界(TVB)的性质,而且空间和时间离散形式上具有二阶精度.数值算例表明,数值解收敛到熵解并且对光滑解的收敛阶是最优的,优于龙格-库塔间断Galerkin方法(RKDGM)的计算结果.     

粒子输运方程的线性间断有限元方法

将空间线性间断有限元方法应用于动态粒子输运方程的求解.数值算例表明,空间线性间断有限元方法在网格边界的数值精度方面明显高于指数格式和菱形格式,并且通量在时间上的微分曲线相对光滑,避免了指数格式、菱形格式数值解的非物理振荡现象.     

非结构四边形网格下的一类保对称有限体元格式

针对定常扩散问题,在非结构四边形网格下,通过选取特殊的控制体和有限体元空间,建立两种保对称有限体元格式,在拟一致网格剖分下,当扩散系数光滑时,证明有限体元解函数在L²和H¹范数下均具有饱和误差阶.数值实验验证理论结果的正确性,同时表明新格式对扭曲大变形四边形网格、间断系数问题具有较强的适应性.在正交网格下,第二种格式对流(flux)函数在单元中心点的值还具有超逼近性.     

分段拉伸网格在分段点附近的平滑处理

在拉伸网格上进行高精度有限差分计算时,网格拉伸变换引入的几何参数常采用差分来近似。分段网格拉伸函数能够灵活地满足网格拉伸的需要,但是在分段点附近不光滑,几何参数的计算误差大,导致数值解的整体精度降低。为改善分段网格拉伸函数,本文针对喷流上下唇线的加密网格,构造了连续的网格拉伸函数以避免分段点,而对一般的分段网格,设计了基于拉格朗日插值的分段点平滑过渡算法。采用一维的一阶、二阶波动方程为考核算例,通过误差的网格收敛性来评估数值解的整体精度,并分析网格平滑处理对计算精度的影响。结果表明连续和平滑处理后的网格拉伸函数都能使数值解保持原有离散格式的理论精度。所得的网格平滑处理算法可以为提高使用分段网格的流场模拟精度提供参考。     

自相似Euler方程的数值方法

Euler方程某些问题的解具有自相似特点，可以使用更准确的方法求解.提出了两种数值方法，分别称为自相似和准自相似方法，新方法可以使用现有守恒律方程的数值格式，无须设计特殊方法.对一维激波管问题、二维Riemann问题、激波反射以及激波折射问题进行了数值计算.对自相似Euler方程，一维计算结果显示数值解基本等同于精确解，二维结果也比现有文献计算的结果有更高的分辨率.对准自相似Euler方程，新方法可以求解不具有自相似性但接近自相似的问题，并在计算时间足够长时可以取得自相似Euler方程的效果.数值求解自相似Euler方程对自相似问题的研究，高分辨率、高精度格式的设计乃至Euler方程的精确解都有重要启示.      

多介质流的高分辨率Euler方法

在多介质流动问题中,不同介质有不同的状态方程。这使通量成为间断函数,从而没有通量的Jacobi矩阵。而用Euler坐标系描述的方程组的很多高分辨率格式都要用到Jacobi矩阵及其特征值和特征向量,即要求通量连续可微。因此必须重新处理整个守恒律方程组。对于γ气体问题将γ看作一个新未知量并增加一个守恒方程,从而使整个方程组的通量成为光滑函数,为高分辨率格式的构造铺平了道路。由于真实流动只遵守三个守恒律,多加的一个守恒律虽然对偏微分方程组没有影响,但对差分方程数值解有影响。这一点在数值实验中已有表现。提出了一个方案将这一影响尽量消除。所用格式可完全照搬单介质流动的任何现有格式。对一维多介质流动Euler方程组的激波管问题的数值实验表明这样处理所构造的格式具有同单介质流动问题同样的效果。     

变热物性非定常导热方程的一些显式解析解

各种变热物性（热传导系数、密度与比热为变数）的非定常导热方程的解析解在理论上是有意义的；而且它们对计算传热学也很有实用价值；可以作为标准解来校核各种数值计算以及用来启发发展各种计算技巧例如差分格式、网格生成等等。但已知的解析解很少。本文对直角座标下沿几何座标变热物性的非定常几何一元及二元的导热方程导出了一些代数显式解析解，其中有些解包含有任意函数，其实是无限多个解；可作为发展导热学理论及计算导热学之用．     

辛几何算法在计算非磁化等离子体中波传播轨迹时的应用

为了在数值计算中保持哈密顿系统的辛几何结构不变,利用辛几何算法得到了在线性哈密顿系统中射线追踪方程的一般辛差分格式。通过具体算例,利用辛几何算法计算了波在非磁化等离子体中的传播轨迹,并且与传统Runge-Kutta-Fehlberg算法所得结果进行了比较。利用辛几何算法所得传播轨迹与解析解一致,其色散函数值的误差随时间线性增长,能在长时间内保持色散函数值在一个很小的误差范围内。利用传统的Runge-Kutta-Fehlberg算法所得传播轨迹与解析解不一致,其误差随时间做大幅振荡增加。计算结果表明辛几何算法在保持传播轨迹和色散函数值方面具有独特的优势。