两条直线位置关系的判定与有关量的计算公式

空间两条异面直线的距离的求法及其公垂线的位置的确定，《数学通报》、《数学通讯》曾登载不少研究文章．本文利用一个模型，给出空间两条直线位置关系的一个判定定理，并给出与空间两条直线有关的量的计算公式．     

一个立体几何定理的多种证法

高二数学教材立体几何部分有这样一个定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 下面我们来证明一下这个定理: 已知:如图1,a⊥a,b⊥a.求证:a∥6.     

立体几何中“有关公理问题”的商榷

1　问题的提出无论是老教材还是新教材 ,普通高级中学的立体几何课程里总有以下四条公理 :直线在平面内公理 (公理 1) ;两个平面相交时的交线公理 (公理 2 ) ;不共线三点共面公理 (公理 3) ;三线平行公理 (公理4 ) .其中公理 3的推论 3是 :经过两条平行直线 ,有且只有一个平面 ,对于该推论的证明 ,我们已经知道的有三种 .图 1　平行直线如图 1所示 ,已知 :空间两条直线a和b .且a∥b .求证 :经过直线a和b有且只有一个平面 .证法 1　存在性　根据平面几何的知识 ,平面内不重合的两条直线 ,不相交就平行 ,所以经过互相平行的两条直线a和b ,必定…     

简单数学模型的理解与应用

<正>1三线八角数学模型浙教版七年级下册第一章平行线第二节《同位角、内错角、同旁内角》中出现了本章节解题的一个模型——三线八角.如图1,三线指的是:两条被截线(直线b、直线c)和一条截线(直线a).此模型中,当两条被截线互相平行时,截线成为了连接两条平行线的一座桥梁,这个模型也是我们解题的重要依据.     

浅谈四类平均数的几何模型

《数学通报》2003年第11期刊登了《四类平均数的几何模型》一文,该文给出了两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数在圆中的几何模型.下面再给出这四类平均数在四边形中的几何模型,供读者参考.当a>0,b>0时,a2 abb,ab,a 2b,a2 2b2分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数,它们的关系是2aba b≤ab≤a2 b≤a22 b2(a>0,b>0).当且仅当a=b时等号成立.下面给出它们在四边形中的几何模型.在四边形ABCD中,设AB∥DC,AB=a,DC=b.1.当a≠b时,不妨设a相似文献   

线段、角目标检测(一)

一、判断题(每小题2分,共24分) 1.如图:a/b,直线a大于直线b. ( ) 2.经过一点只能作一条直线.( ) 3.两点确定一条线段. ( ) 4.线段OA和线段AO是同一条线段. ( )     

巧用向量求异面直线间的距离

异面直线间的距离虽可以通过定义求解, 但也可以转化为向量的射影长来解决. 如图1,a、b是两条 异面直线,C、D分别是a 与b上任一点,若n是与 a、b都垂直的向量,则a、 b之间的距离 【例1】如图2,已知正 四棱柱ABCD-A1B1C1D1     

直线向量的参数形式在解题中的运用

全日制普通高级中学数学教科书(实验修订本·必修)第二册(下B,P_(28))(人民教育出版社, 2003)给出共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a =λb.其中介绍一个推论:如果L为经过点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任一点     

这样的面积等分线还有两条

<正>《中学生数学》2014年4月(下)智慧窗第5题为:图1是有八个相同的圆排成两行组成的.能平分此图面积的直线称为"平分线",则这样的"平分线"共有几条?给出的答案是:将图中第2行中的左、右两个圆删去(图2中有阴影的两个圆),于是剩下的六个圆是一个中心对称图形,它的对称中心是点O,过O点的任何一条直线l(但是直线     

"两条直线的夹角"教学设计

1 创设情境 已知两条直线l1、l2的方两程分别为:l1:y=k1x b1, l2:y=k2x b2.由k1=k2且b1≠b2,得 l1∥l2;由k1k2=-1,得 l1⊥l2.图1然而在现实生活中两条直线相交更多的情形是不垂直[多媒体演示图1,l1、l2所成的角不断发生变化],那么我们又该用一个什么量来刻画它们之间的这种相对的位置关系呢?     

勾股定理验证方法赏析

同学们在学习了勾股定理的知识后,已经知道勾股定理是描述直角三角形三边之间数量关系的一个重要定理,体现了数与形的和谐统一,是数形结合思想的典范.课本上已经进行了生动的验证,下面再列举几种通俗易懂的验证方法,供同学们参考. 方法一:旋转法 用两个全等的直角三角形纸板拼成如图1(a),使两条直角边a、b在同一直线上.将△ABC绕着A点旋转到△AFG的位置,△BDE绕着E点旋转到△FHE的位置,由图1(b)中不难看出:由以b为边长的正方形与以a为边长的正方形面积之和等于以c为边长的正方形面积,从而得出a2+b2=c2.     

一类三角形中的最值问题

设点P(a,b)是直角角标平面内的一个定点,过点P(a,b)的直线与两个坐标轴围成一个直角三角形,如图1中的的三角形OAB.由于过点P(a,b)的直线有无穷多条,而每一条直线都与坐标轴围成一个三角形.所以,围绕这类三角形,我们可以提出一系列的最值问题.例如,这类三角形的三条边长有无最值?三角形的面积有无最值?三角形中内接矩形的面积有无最值?角形的内切圆和外接圆的面积有无最值?等等.下面我们对这些问题逐一进行探讨.为了方便,我们不妨设a＞O,b＞O,即点P(a,b)是第一象限内的点.     

相交线、平行线教与学

第1课 相交线、对顶角 (启读指导课) 一、情趣引入 请一学生演示教材P_(52)图2-1,演示时,教师指明木条a、b表示两条直线,钉住的点表示它们的交点,拿住a,转动b,让学生观察,思考:b的位置     

异面直线上两点间距离公式及其应用

中学立体几何课本中有这样一道例题:已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,设A′E=m,AF=n,求EF. 解题之后(如图一),它给出了一个求空间两异面直线上两点间的距离公式(以下简称距离公式): EF=(d~2+m~2+n~2±2mncosθ)~(1/2).其中,当点F(或E)在点A的(或A’的)另一侧取“+”号.这个公式有如下特殊情形:     

立体几何中距离问题的统一解法

本文将利用向量法给出求解异面直线间的距离、点面距离、线面距离、面面距离的统一公式d =|AB·n|n ,能起到化隐为显、化难为易之作用 .1　求异面直线间的距离图 1　证明公式用图如图 1,已知a ,b为两异面直线 ,CD为a ,b的公垂线段 ,A ,B分别为a ,b上的任意两点 ,n⊥a ,n⊥b,则n∥CD .又AB =AC +CD +DB ,∴AB·n =(AC +CD +DB)·n =AC·n +CD·n+DB·n =CD·n ,∴ |AB·n|=|CD|·|n|,∴ |CD|=|AB·n||n|,即异面直线a ,b间的距离d =|AB·n||n|,其中n与两异面直线都垂直 ,A ,B分别为两异面直线上任意点 .图 2　例 1图例 1　…     

对一道习题的直观分析

1习题平面内过一定点P(x0,y0)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?2直观分析(1)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线分为三类:图3第一类,和直线x-y=0平行的直线系(图1),截距不为0.第二类,和直线x y=0平行的直线系(图2),截距不为0.第三类,过原点且和坐标轴不重合的直线系(图3),截距为0.图4(2)平面内点P(x0,y0)的位置与过点P(x0,y0)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数的关系.①P在原点时,有无数条直线(图3).②P不在原点a)P在坐标轴上时,有且只有2条(图4、图5).P在直线x-y=0和x y=0上时有且只有2条(图6、图7)b)P不属…     

直线和平面所成角公式

《数学通报》1986年第5期刊登了“四面体求积的另一公式”一文,读后颇受启发。我从该公式得到了一个“直线和平面所成角公式”,现介绍如下。若四面体由一个顶点出发的三条棱长分别为a、b、c,其所对的面角分别为a、β、Y,如图1所示;那么四面体求积的另一公式是: V=1/6abc。     

垂线存在吗?

<正>在人教B版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修二《空间垂直关系》一节中,有这样一个例题:例题1过一点和已知平面垂直的直线只有一条.已知:平面α和一点P(如图1).求证:过点P与α垂直的直线只有一条.下面是书上的证明:不论点P在α外或内,设PA⊥α,垂足为A(或P).如果过点P,除直线PA⊥α外,还有一条直线PB⊥α,设     

关于双曲线的一种方程

1　关于双曲线的一种方程设在平面直角坐标系中有两条相交直线l1 和l2 ,它们的方程分别是l1 :a1 x+b1 y+c1 =0 ,　l2 :a2 x+b2 y+c2 =0 .因为是相交直线 ,所以当然满足条件a1 b2 -a2 b1 ≠ 0 ( 1 )则凡以这两条相交直线作为渐近线的双曲线的方程总能写成(a1 x+b1 y+c1 ) (a2 x+b2 y+c2 ) =d ( 2 )其中d是任一非零常数 .反之 ,方程 ( 2 )当d≠ 0并且满足上述条件( 1 )时 ,就表示以l1 和l2 为渐近线的一条双曲线 .关于这一结论可以查阅高等学校的解析几何教材 ,比如吕林根、许子道等人编著的由高教出版社出版的《解析几何》[1 ] (第三版 ) .其…     

这个作图法是如何想到的?

<正>《中学生数学》2016-5(下)期刊登的刘小杰等老师的文章《由一道几何题引发的作图题》,给出如下一个作图题:已知,如图1.☉O_1和☉O_2的半径分别为r_1和r_2,r_1>r_2,点P为☉O_2上一点.求作过点P的直线,使之在☉O_1和☉O_2上所截得的两条弦相等.