椭圆与离心率相关的几类最值

离心率是椭圆的一个重要几何量．它不仅揭示了椭圆的圆扁程序，而且反映了椭圆的许多性质．下面讨论与离心率相关的椭圆的几类最值．一、过顶点的弦长的最值命题１过椭圆短轴顶点引椭圆的弦，当离心率ｅ∈（０，２２］时，弦长的最大值是２ｂ，当ｅ∈［２２，１）时，弦长...     

圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值问题

本文记录的是作者在一次数学兴趣活动中的内容．在这次活动中从国的相交弦定理出发，利用特殊化、一般化、类比等手段，广泛联想，探求一般圆锥曲线的弦被定点所分两线段乘积的最值问题，收到了良好的效果．现整理如下．1问题的提出设点P是op内任一定点，AB是op的过点P的任一弦．平面几何告诉我们：弦AB被点P所分两线段的乘积不随弦AB的变化而变化，即PAlPBI为定值．这就是所谓相交弦定理．回可以看成是椭圆的特殊情形，（利用特殊与一般的关系提出问题）那么一般地，在椭圆中弦AB被椭圆内定点P所分两线段的乘积PAPB还是定值吗？显…     

一道浙江竞赛题的研究

题目 设P为椭圆x^2/25＋y^2/16=1长轴上一个动点，过点P斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．若｜PA｜^2＋｜PB｜^2的值仅仅依赖于k而与P无关，求k的值．     

直线参数方程的应用

试题（2012年浙江省高中数学竞赛试卷第19题）设P为椭圆x2/25＋y2/16=1长轴上一个动点，过P点斜率为k直线交椭圆于A，B两点．若｜PA｜2＋｜PB｜2的值仅依赖于k而与P无关，求k的值．     

圆锥曲线的最值问题

学习解题的重要目的之一就是要学会解一类问题,触类旁通是学习解题的基本要求．近年来,圆锥曲线上任一点到两定点的距离和的最值问题越来越多,难度越来越大,在各类考试中经常出现．因此,研究一下这类问题的一般解法是必要的．按照曲线一般分类,本研究主要给出抛物线、椭圆、双曲线三类,曲线中的相关最值问题的一般结论并示例其直接应用．     

椭圆切线的几个典型性质

对手椭圆的切线，在全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）中虽略有涉及，但没有作进一步的讨论与研究．事实上，椭圆的切线作为和椭圆位置关系最特殊的直线，有着它自身所独有的一些典型性质．下面给出其中几条性质，并加以证明．     

与椭圆、双曲线焦点有关的四组直线的垂直关系

与椭圆、双曲线焦点有关的四组直线的垂直关系江苏省灌云县中学李平龙文［１］研究了与抛物线焦点有关的直线的垂直关系，文［２］给出了圆锥曲线性质的互变规律．受其启发，笔者发现椭圆、双曲线中也有类似的垂直关系．按文［２］的观点，抛物线过顶点处的切线演变成椭圆...     

“渐近线”——双曲线的特殊成员

我们在初中阶段学过函数y=1/x的图象，知道它的图象是双曲线，但对它的一些性质知道得不多，通过学习解析几何之后，我们对它的了解可以算是有了一个比较完整的轮廓．双曲线与椭圆、抛物线有许多共同的性质，但也有独一无二的个性，其中最重要的是它具有其它曲线所不具有的“渐近线”这一特殊的成员，可以说渐近线是双曲线的“影子”，它始终陪伴双曲线的左右．我们在学习双曲线时，与椭圆、     

椭圆与双曲线焦点的完美统一

在椭圆双曲线中通常会遇到这样一类题目：求与某椭圆（或双曲线）同焦点且过某一点的椭圆（或双曲线）的标准方程．常规方法通常要求出焦点，根据焦点位置设出所求圆锥曲线方程的类型，然后联立方程组求解．本文介绍一个有关椭圆与双曲线焦点的结论，使椭圆与双曲线的统一更加完美．     

一道椭圆与圆同心内切问题的思考与拓展

以椭圆与圆同心内切的位置关系为研究基础,围绕圆锥曲线中定值、定点、最值等经典代表性问题为研究方向,旨在挖掘出问题背景中相关简洁对称、优美和谐的整体性质,以提升学生的数学审美素养,增强学生的理性思维能力.     

浅议椭圆与双曲线的两条性质及其应用

在解析几何学习中，同学们对椭圆与双曲线的焦点的性质已经有一个全面的了解．但是，对椭圆和双曲线的顶点具有什么性质不是十分清楚，本文给出椭圆与双曲线的顶点的两条性质，供大家参考．     

再谈椭圆中一类三角形面积的最大值

文［１］利用伸缩变换讨论了椭圆内过定点的直线与椭圆的两个交点与原点构成的三角形面积的最大值．本文将利用行列式及二次函数在闭区间上的最值理论讨论这一问题．为此先给出下面两个引理．引理１　坐标平面内逆时针排列的三点Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）、Ｃ（ｘ３,ｙ３）构成的△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１１ｘ２ｙ２１ｘ３ｙ３１．（证明略）．引理２　二次函数在闭区间上的最值要么在顶点取得,要么在区间的端点取得（证明略）．定理　椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍ、ｎ∈Ｒ＋）内有一定点Ｍ（ｐ,ｑ）,过Ｍ的直线…     

“弦长”问题讲评课设计

“弦长”问题讲评课设计邱树林（山东省无棣一中２５１９００）在高三的一次综合测试中，我们给学生出了这样一道题（以下称试题Ａ）：已知椭圆长轴｜Ａ１Ａ２｜＝６，焦距｜Ｆ１Ｆ２｜，过左焦点Ｆ１作一直线交椭圆于Ｍ，Ｎ两点．设，求α的值，使｜ＭＮ｜等于椭圆短轴长...     

数学竞赛申几类限定几何极值问题

已知直线l或圆O及两定点A、B，在其上求一点P，使PA＋PB为最小．此问题称为限定几何极值问题，本文对它拓广，并对由此衍生的竞赛题的背景进行探讨及给出新解法．一般可表述为：A、B为已知圆锥曲线M外的两定点，求M上任一点P到A、B距离之和的最值．1．当线段AB与曲线M有公共点P。时．（1）PA＋PB有最小值，最小值即为线段AB的长．（2）①若M是无界曲线，PA＋PB无最大值．②若M是有界且连续的曲线，当点P为以A、B为焦点的椭圆系与M的“最后”一个公共点（再扩大一点即把M内含）时，PA＋PB最大，最大值即为此时椭圆长轴的长．…     

“椭圆及其标准方程”的教学设计

一、数学分析 “椭圆及其标准方程”是继圆的学习之后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例．学生对“曲线与方程”的内在联系（数形结合思想的具体表现）仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识．但由于学生比较了解圆的性质,从“曲线与方程”的内在联系角度来看,学生并未真正有所感受．所以,椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点．     

椭圆定义及其标准方程教学设计

本课选自《普通高中课程标准实验教科书（选修2—1）数学》（北师大版）第三章1．1节．本节教材主要内容是使学生了解椭圆的实际背景,感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用;使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a、b、c的代数意义、标准方程．对椭圆定义与轨迹的研究和圆的定义与轨迹相呼应,通过探究,使学生从感性认识逐步上升到理性认识,     

一道椭圆试题的引申

2005年全国高考文科卷Ⅰ第（22）题：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，OA＋OB与a=（3，-1）共线．     

椭圆中一类三角形面积的定值问题

<正>直线与椭圆的综合性试题是近几年高考的热点,以三角形为载体考查直线与椭圆的定值、定点问题在高考试题、省市模拟试题中屡见不鲜,一些二级结论成为了试题命制的背景．在平时训练与考试中,我们要学会大胆猜想、归纳和验证,锻炼发现问题的能力,是学好高中数学的关键,下面我们一起来探究椭圆中一类三角形面积的定值,尝试如何发现试题中的结论,通过两道试题不断深入,探究结论的发现历程,希望对同学们数学学习有所帮助．     

椭圆两条平行弦的性质及其应用

椭圆两条平行弦的性质及其应用玉邴图（云南广南一中６６３３００）椭圆有许多性质，已为大家所熟知．本文仅介绍其中与两条平行拉有关的两个性质，并说明它们的应用．性质１如图１，经过椭圆＞ｂ＞０）长轴端点Ａ的弦ＡＱ交ｙ轴于Ｒ，过椭圆中心的半弦ＯＰ／／ＡＱ，则｜...     

椭圆中动弦过定点或有定向的问题

椭圆中动弦过定点或有定向的问题张雪霖（上海宝山区顾村中学２０１９０７）在椭圆中满足某些条件的动弦必过定点或有定向，它们反映了椭圆深刻的几何性质，本文探讨有关这方面的问题，并给出若干结论．定理１椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２的动弦ＢＣ对椭圆上的一点Ａ...