聚焦“三点共线”模型破解线段最值问题——以2022年全国各地中考数学试题为例

线段最值问题是历年全国各地中考热点问题,这类问题通常以等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、圆等具有特殊性质的图形为基本图形,以动点或动线段为背景,以线段(或线段之和)的最值为问题情境,主要考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.解决这类问题的关键是利用转化思想将线段最值问题转化为常见的几何模型,将动态几何问题转化为静态几何问题,然后利用基本图形的性质解决问题.文章以等腰三角形、正方形、矩形等基本图形为例,说明“三点共线”模型在解决线段最小值问题中的应用.     

“动态”角度看线段最值问题

近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷,形式多样,具有很强的探索性.这类问题是动态问题中的一类,从动点角度主要包含两类:单动点型和双动点型.经过教学,发现学生不善于解决这类问题,原因在于:其一,常见的方法积累不够;其二,常见的思考步骤混乱.如何在动态问题中找寻“不变量”特征是突破这类问题的关键,笔者着重从运动的角度归纳求线段最值的常用方法和思考步骤.     

盘点近几年中考中与线段相关的一类最值问题

近年来,与线段相关的一类最值问题在各地市中考试卷中大量涌现,并成为近几年中考的热点题型之一.这类问题对知识和技能要求较高,能够考查学生分析问题和解决问题的能力与创新意识.解决此类问题主要借助以下3个知识点:(1)两点之间线段最短;(2)三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之     

基于“问题发现”的类比学习——再认识线段和角

《义务教育数学课程标准(2011年版)》从强调“分析问题、解决问题”到“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”,特别增加了“发现问题、提出问题”.在课堂上如何引导学生发现问题、提出问题,对于学生自身的发展和创新意识的培养很重要.在学习完线段与角的相关知识后,基于线段与角的相似之处,利用学习的通性套路让学生领悟学习的路径与方法,从而能自主学习.通过类比学习,让学生体会数学课堂注重以“问题”为中心,以“问题”促思考,以“问题”促探究,以“问题”促创新.本文借助线段与角的通性,借助类比思想诱导学生发现问题、提出问题,进而解决问题.     

对一道2023年北京中考新定义问题的探究与变式

本文由一道2023年北京中考试题出发,探究以圆为背景的线段长最值(取值范围)问题,介绍解决这类问题时经常使用的结论,引导学生正确理解题意,分析图形的性质与变化,通过直观分析、推理论证来解决问题.     

线段和(差)最值问题的变式探究与启示

某平面几何元素在给定条件下变动时,求线段和(差)的最大值或最小值问题,称为线段和(差)的最值问题.它一般包括一点关于两直线对称、两点关于两直线对称、平移对称等多种变式.这类动态问题因涉及知识面广、背景丰富、表现形式灵活而备受命题者青睐,不仅培养学生的探究能力和创新意识,还培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力.研究发现,此类问题的理论依据是“两点之间,线段最短”,解决问题过程中存在一定的解题规律和技巧,即往往可以通过轴对称、平移等变换把相对分散的条件相对集中,化“折”为“直”,将其转化为常见的基本几何问题模型来解决,关键是把若干线段归结到同一条直线上.笔者在教材“饮马问题”、“选址造桥问题”等的基础上进行变式探究.     

几何构造法在初中数学解题过程中的妙用

针对初中数学解题过程中常见的数学问题,巧妙利用几何构造法突破并巧解几种特殊角的三角函数值、线段比例问题、三角形角与线段关系、代数最值问题、几何最值问题,提升学生数学解题能力与综合素养.     

二次函数图像中最值问题的突破——以一道中考模拟压轴题的演变为例

二次函数图像中竖直线段的最值问题是数学中考常涉及的内容.它与几何图形结合求几何图形的最值问题是很容易拓展的内容.然而,在2019年4月苏州一模考试中,28题压轴题第2小问求三角形面积的最值问题,班级的得分率为0.65,仍有35%的学生因为数学建模不够准确,导致得分率较低,甚至不能得分.建模是数学学习的一个重要思想,笔者将水平线段、斜线段、三角形的周长、三角形的面积以及四边形的面积的最值问题统一转化为求例题竖直线段的最值问题.     

与二次函数相关的最值问题求解策略

<正>对于与二次函数相关的线段最值问题的考查,往往涉及到的知识点主要有以下几点:其一是两点之间线段最短;其二是垂线段最短;其三是三角形三边关系等内容．如何针对这一考点引导学生对“动”和“定”之间的关系进行思考研究,处理问题中运动变化关系与几何元素的位置、数量关系,提升学生的解题能力和识别能力,从而落实相关的探究活动过程,真正实现数学核心素养要求?本文中结合常见的几种类型作简单的说明．     

二次函数综合性题目的解题方法研究

二次函数的综合性问题是中考数学试题的必考题型,可以系统地考查学生的数学建模能力和抽象思维能力.在求解过程中,能促使学生将离散化的知识聚合成统一的知识体系,同时能培养和发展学生解决实际问题的数学能力.文章结合具体例题分类探讨了二次函数综合题中的交点问题、线段的和差最值问题、一般最值问题等常见题型的解题方法.     

在最短路径问题中体会化归思想

初中数学的最短路径问题,一般基于三种基本模型:两点的最短距离、点到直线的最短距离、线段之和的最小值(也就是最常见的将军饮马问题).而由此产生的变式题虽然借助于不同的载体,且用到的知识点不同,但需要学生运用化归思想将问题进行变式和转化,回到已经熟悉的基本模型,把握本质解决问题.通过解决这一类最短路径问题,可以让学生对化归思想有更加细腻、具体的了解.新课标基本理念中提到,要启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质,最短路径问题满足了上述理念.最短路径问题也是历年数学中考的常见题型,在选择、填空、解答题中均有体现,命题人也常将最短路径问题与其他知识点融合成一道综合性题目,以考查学生综合运用知识的能力和化归能力.     

利用垂线段最短求线段最值

<正>如图1,在点P与直线l上所有点相连的线段中垂线段PO最短,简称"垂线段最短",它是求线段最值问题的基本公理.下面以此公理为依据,谈谈求线段最值问题.一、已知一定点和一定直线求最小值例1如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一动点,过点D作     

一道动线段比值最小值问题的几何解法和拓展

给出一道动线段比值问题的几何解法,通过几何变换将动线段比值问题转化为两点之间线段最短这一熟悉问题进行处理并探究问题本质,给出一般情形下的问题分析与求解.     

构造三角形的外接圆求线段的最值问题

<正>我们知道,任意一个三角形都有一个外接圆.如果三角形和圆结合起来,那么其中蕴含的几何关系便随之丰富起来.所以在初中阶段利用三角形的外接圆解决问题是重要的问题解决方法.本文通过两个重要的几何模型举例说明如何构造三角形的外接圆来解决线段的最值问题,希望能给同学们带来思路上的启迪.     

条条大路通罗马,一题多解辨最优——解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题是高一数学教学的重难点.本文以学生的认知经验为教学起点,以分类型例题为载体,通过条件与问题的多重变式进行探究,层层深入,引导学生积极思考,迁移探究三角形中面积、周长、重要线段的最值问题,并总结出综合运用正余弦定理求解此类最值问题的方法策略.同时通过一题多解的方式进行拓展教学,开阔学生的思维,引导学生感悟函数与方程、转化与化归、直观想象等思想方法的深刻本质与实用魅力,真正提升学生的思维品质.     

几何最值问题的求解两例

<正>在几何最值问题的求解中,常用的有几何作图的方法和代数分析的方法.几何分析的方法依据的最基本的原理是两点之间,线段最短.代数分析的方法则是建立起函数关系式,再分析最值.一、构造图形利用两点之间线段最短求解例1如图,在每个小正方形的边长为     

构建数学辅助解题工具的问题解决模型——以线段图在小学数学教学中的作用为例

在数学教学中,合理地利用数学辅助解题工具可以更有效地帮助学生解决问题,提高学生的学习兴趣.然而,关于解题工具如何发挥作用,目前还缺乏详细的介绍.从认知心理学的角度出发,可以将数学辅助解题工具解决问题的过程视为开启了一个新的视角,通过线段图的作用来解决小学数学过程中存在的难题,构建模型来分析线段图如何解决学生的难题.研究表明,线段图能够有效地减轻学生的记忆负担,提高学生解决问题的效率.     

一道二次函数的动点问题

<正>二次函数的动点问题往往是综合性较强的问题,研究它对于提升解决问题的能力有很大帮助.如图1,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(-4,0)和点B.问题一求使线段和取最值的点在抛物线的对称轴     

例说“胡不归”模型的运用

<正>数学模型是指根据特定的研究目的,采用形式化的数学语言,抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构^([1])."胡不归"问题模型在最近几年的中考压轴题中出现频率较高,特别是二次函数的综合试题中求线段和的最值难度更大.下面我们一起来对模型进行剖析,引导运用"化折为直"的思路解决问题.     

对最值问题的思考

<正>在中考前的复习过程中,笔者接触不同的题型,经常发现学生易错的一些题型,对这些题型进行归纳,从中找出解决这类问题的一般思路,形成专题,在复习中能起到事半功倍的效果.对于最值问题,笔者发现解决此类问题的主要依据有三个,分别是"两点之间,线段最短";"垂线段最短";"二次函数最值".一、两点之间线段最短例1如图1,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移