用导数三探零点问题

方程f（x）=0的根也称为函数f（x）的零点,研究方程f（x）=0的根就是研究函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往“被压轴”．在2011年高考冲刺复习中,如何在零点题型上有所突破？导数是研究函数的图象与性质的最重要工具,因此解决有关方程根的分布或函数零点问题,导数方法是首选．本文以一道模拟题解法的三次改进,例说如何用好导数工具,解决函数零点问题．     

利用导数探究函数零点个数问题

<正>利用导数研究函数的零点(或方程根的个数)问题,是近年高考数学中的一类热点问题.这类问题融合了利用导数研究函数的图象与性质、函数零点的概念、零点存在性定理以及方程的根的分布等一系列知识,具有较强的综合性,对同学们思维的严谨性也有较高的要求,应引起我们的高度重视.本文以2020全国卷Ⅰ文科数学20题第(2)问为例,从几何、代数两个角度探究函数零点个数问题,希望对同学们有所帮助.     

导函数视角下函数零点问题的判定

高考试题中渗透零点知识的题型相当广泛，常见的有：方程的根、函数的极值和最值、求参数的取值范围、函数零点存在的条件等问题。本文以导数背景下零点的存在问题为例，进行分析研究。     

综合题的数形双重性求解

函数是中学数学的重点内容之一,导数是解决函数问题的一种比较有效的方法,与导数相关的函数综合问题是近年来的热点,此类问题往往涉及函数的单调性、极（或最）值、图像交点（或函数零点）等性质,     

从2006年高考看用导数探讨函数图象的交点问题

2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新．导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数性质（单调性、最值、极值）转向运用导数综合研究函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题．     

从f′(x)=0谈起

<正>导数是解决函数图像、性质以及方程不等式等问题的有力工具,f′(x)=0的根是利用导数分析函数性质过程中最为核心的量.它关联着函数的单调性、极值(最值)等,但某些函数的导数为零时,根不易求得,成为解题过程中的难点.我们举例探究对非常规零点的求解或使用,寻求恰当处理方式.1.方程f′(x)=0无实数根     

例析设而不求解答奇数问题

<正>我们知道,超越方程中学阶段学生难以求出具体的实根,但在导数问题中,经常会遇到两类问题.第一类,解题过程中需用到函数的零点,当我们把函数的零点转化为方程的根的时候,面对超越方程,难以求出其实根.第二类,在可导函数极值问题中,首先求导,令导数为零,求出可疑极值点.但有些函数的导函数为超越函数,其零点(可疑极值点)难以求出.     

利用导数探究超越方程根的个数问题

利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图像交点及超越方程的根的个数问题等．下面就如何利用导数探究超越方程的根的个数问题举例说明：     

一道参数取值问题的多角度求解

题目若函数f（x）=a2x2-ax-2在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围是.分析本题是一道函数与方程相结合的函数综合问题,题虽小精悍,却颇具有求解价值,可从方程根、函数图像与x轴的交点、命题的对立问题（补集法）等多个角度进行分析与求解.角度1（方程的根）根据函数f（x）的     

数形结合解复合函数的零点个数的常见解法

本文通过利用函数图像的方法研究复合函数y=g（f（x））的零点问题,即复合函数方程g（f（x））=0的根,令u=f（x）（内层方程）,这样g（f（x））=0就转化成g（u）=0.当外层方程g（u）=0容易求解时,可以先解方程g（u）=0,再解内层方程u=f（x）,这样方程的总个数即为复合函数y=g（f（x））的零点个数.     

一道高考题的思维路径分析

纵观近几年的高考试题，对有关函数与导数的综合题的考察越来越受到重视．高考对有关函数与导数的考察重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性以及与其他知识版块的相互联系上．然而学生遇到利用导数相关知识研究函数的极值、单调区间、不等式恒成立以及函数零点或方程根等问题时，十分茫然，不知从何下手．本文试图通过多种思维途径人手，得到不同的解答方法，从而使此类问题得到有效解决．     

利用导数探究函数图象的交点问题

利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图象交点及超越方程的根的个数问题等．下面就如何利用导数探究函数图象的交点问题举例说明．     

函数的应用

本单元的重点：利用“二分法”求方程的近似解,体会函数的零点与方程的根之间的联系;掌握函数零点（即方程的根）的存在性定理,学会借用函数的图象判断方程解的个数及解的范围;认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长,应用函数模型僻决简单问题．     

利用导数探究超越方程根的个数问题

利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图像交点及超越方程的根的个数问题等.下面就如何利用导数探究超越方程的根的个数问题举例说明:例题已知:函数f(x)=-x2+8x与g(x)=6lnx+m,问:是否存在实数m,使得方程     

利用导数探究函数图像的交点问题

利用导数可判断函数的单调性、可求函数的最值与极值、还可判断函数的图像交点及超越方程的根的个数问题等．     

函数零点的应用

函数的零点是函数的重要性质之一,它把函数、方程、不等式紧衔地联系在一起．函数y=f（x）的零点a既可以理解为使函数值等于零的自变量的值（即f（a）=0）,又可以理解为方程f（x）=0的根（解）,零点的几何意义是函数y=f（x）图像与x轴的公共点的横坐标．下面笔者针对变号零点的几个作用举例剖析．     

函数与方程思想解决一元三次函数零点问题

<正>一元三次函数y=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)零点问题一直是高考考察的热点.同学们常用导数法解决一元三次函数零点问题,用函数与方程思想解决一元二次函数零点问题.可是我们知道这两者都是一元多项式函数中的特殊情况,那我们能不能采用函数与方程的思想来研究解决一元三次函数零点问题呢?     

速解一类双零点求参数范围问题

<正>一、问题的提出函数是高中数学的重要组成部分,零点作为函数的基本要素之一,与函数、方程、函数的图象等知识点联系紧密,所以函数的零点和导数相结合的综合性问题一直是高考的热点之一,与函数零点个数有关的试题更是层出不穷.下面的试题是2013年高考江苏卷第20题的改编题,我们先来考虑这道经典的双零点求参数范围问题.     

例谈导数法可能引起的错解

导数作为高中数学的新增内容,为解决函数单调性、最值（极值）、零点及交点问题提供了有力的工具.但借助导数工具解决某些特殊函数时还有一些注意的地方,否则会导致一些不易察觉的错误,下面举例说明.     

用导数三探零点问题

方程f(x)=0的根也称为函数f(x)的零点,研究方程f(x)=0的根就是研究函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往被压轴.在2011年高考冲刺复习中,如