化可分离凸规划为对偶规划显式模型的普适解法研究比较

文章旨在提升对偶规划显式模型(dual programming-explicit model, DP-EM)的建模和求解的境界. DPEM模型从一类变量可分离凸规划的特点出发,突破了对偶目标二阶采用近似的定势,推导得出显式的对偶目标函数;应用于ICM方法求解连续体结构拓扑优化问题时,其求解效率比对偶序列二次规划方法 (DSQP)和可移动渐近线方法 (MMA)求解效率更高.文章进一步把常见的一类显式模型抽象为普适的可分离凸规划列式,在需要满足的一些条件下,转换为DP-EM模型,并且提出4种处理方法:(1)对偶变量迭代逼近法;(2)指数函数形式的解法;(3)幂函数形式的解法;(4)基于变换的精确解法.为了进行数值验证,做了广泛的计算,限于篇幅,文章列出了5个具有代表性的算例,除了算例1属于纯数学问题,其余4个算例皆基于ICM方法,分别对于位移、应力、疲劳等约束和破损-安全的连续体结构拓扑优化问题,基于所提出的方法进行建模和求解,都显示了所提出方法的普适性及更高的求解效率.工作的意义在于:(1)深度方面,加深了结构优化对偶解法的研究;(2)广度方面,对数学规划对偶理论的发展做出了新的贡献.     

对偶法求解应力与位移约束不同显式的优化模型

基于响应面法,通过内力将应力约束显式化为正变量的一阶近似,位移约束采用倒变量一阶近似,建立以桁架结构重量最小为目标的截面优化模型,采用对偶规划理论转化为拟无约束模型,采用序列二次规划算法求解。此方法同应力约束零阶近似和一阶近似(使用响应面方法显式化)等方法进行了算例比较,表明本文的优化模型有较好的求解效率。     

连续体结构屈曲约束的ICM方法拓扑优化

基于ICM(独立、连续、映射)方法解决具有屈曲约束的连续体拓扑优化问题。建立以结构重量为目标,以屈曲临界力为约束的拓扑优化模型;采用独立的连续拓扑变量,借助泰勒展式将目标函数作二阶近似展开;借助瑞利商、泰勒展式、过滤函数将约束化为近似显函数,避免了灵敏度的计算;将优化模型转化为对偶规划,并利用序列二次规划求解,减少了设计变量的数目,缩小了模型的求解规模。给出三个算例,结果表明:该方法可有效地解决屈曲约束的连续体拓扑优化问题,能够得到合理的拓扑结构,并有较高的计算效率。     

多约束作用下连续体结构的拓扑优化

基于ICM(独立、连续、映射)方法建立了以结构重量最小为目标,以屈曲临界力、位移及应力三种约束同时作用的连续体拓扑优化模型:采用独立的连续拓扑变量,借助泰勒展式、过滤函数将目标函数作二阶近似展开。借助瑞利商、泰勒展式、过滤函数将屈曲约束化为近似显函数,借助于过滤函数,将位移约束用莫尔定理显式化;将应力这种局部性约束采用全局化策略进行处理,即借助第四强度理论、过滤函数将应力局部性约束转化为应变能约束,大大减少了灵敏度分析的计算量;将优化模型转化为对偶规划,减少了设计变量的数目,并利用序列二次规划求解,缩小了模型的求解规模。数值算例表明,ICM方法在解决屈曲、位移及应力三种约束共同作用的连续体拓扑优化问题上有优势。     

板壳结构的应力约束拓扑优化设计

应用ICM 方法求解应力约束板壳结构拓扑优化问题,建立了寻求应力约束下结构重量极小化,每个设计变量控制多个单元的板壳结构拓扑优化近似显式的ICM 模型. 依据畸变能理论,将应力约束转化为畸变能约束,减少了约束数目. 采用精确对偶映射下的序列二次规划算法进行求解. 以MSC.Patran 及MSC.Nastran 软件作为二次开发平台,应用PCL 语言实现本文算法. 算例对于设计变量数等于单元数时的情况进行了计算,表明该方法有效可行.     

频率约束板结构拓扑优化

本文利用ICM（独立、连续、映射）方法建立了频率约束下平板结构重量最轻的拓扑优化模型。采用指数函数作为单元重量、单元质量及单元刚度的过滤函数。通过瑞利商对刚度过滤函数倒变量的泰勒一阶展式,将频率约束近似显式化。利用对偶理论将含有大量设计变量的约束优化模型转化为易于求解的少设计变量拟无约束优化模型,通过序列二次规划将转化模型进行求解,提高了求解的效率。本文选择MSC.Patran&Nastran软件及PCL二次开发语言构架了平板结构频率约束拓扑优化问题的软件。数值算例表明：本文的方法具有迭代稳定性和收敛高效性。     

桁架拓扑优化的多点逼近遗传算法

提出一种基于多点逼近函数和遗传算法的桁架拓扑优化方法。该方法建立了包含连续尺寸和离散拓扑两类变量的优化模型，并通过构造多点逼近函数建立了结构优化问题的第一级序列显式近似，然后采用分层优化方法：在外层对拓扑变量采用遗传算法进行优化；在内层对尺寸变量通过可由对偶法求解的第二级序列近似问题进行优化。几个经典的桁架拓扑优化算例表明该方法能以较少的结构分析次数获得比较理想的概率意义上的最优解。     

同时满足刚度和强度约束的框架拓扑优化

基于ICM（Independent Continuous Mapping,即独立、连续、映射）方法．对单元重量、单元许用应力和单元刚度分别引入不同的过滤函数,把0-1型离散拓扑变量转化为[0．1]区间上的连续变量．建立了拓扑变量连续的优化模型。借助满应力准则将应力约束转化为拓扑变量的动态下限．用单位虚载荷法将位移约束显式化．得到拓扑优化的近似显式模型。为了提高模型的求解效率,根据对偶理论求解原问题的对偶模型,通过在对偶空间迭代求解对偶模型得到原模型的解。引入结构非奇异、结构响应不被违背和结构重量不改变三个准则判断迭代收敛。并根据这三个准则自适应的调整折减系数来搜索最佳阁值。然后根据闻值将连续拓扑变量回归为0-1型离散拓扑变量。利用MSC／Nastran的开放性,借助MSC／Patran提供的PCL（Patran Command Language）开发环境．完成了满足刚度和强度的多变量的框架拓扑优化程序。算例结果表明．用ICM方法解决多变量框架拓扑优化问题是快速、有效的。     

面向应力约束的独立连续映射方法

大多数已有的拓扑优化研究为系统刚度最大化设计,尤其以体积比约束下的静态柔顺度最小化问题为典型.从工程角度出发,结构强度设计至关重要.以往的应力研究表明,应力约束拓扑优化存在着奇异性、约束数目庞大、高度非线性特性等诸多数值困难.为了实现应力约束下的拓扑优化设计,采用归一化p范数应力指标以减少单元应力约束数目.遵循独立连续映射建模方式,引入密度变量的倒变量函数作为设计变量.推导了应力约束函数和体积目标函数对设计变量的敏度,并基于一阶和二阶泰勒近似得到各自的显式表达式.通过构造的系列二次规划子问题,原拓扑优化问题采用序列二次规划算法高效求解.二维数值算例考察了结构刚度和强度设计结果的异同,以及不同应力约束上限值对应力约束拓扑优化结果的影响.通过提出方法与传统变密度法结果的比较,说明提出的独立连续映射方法在应力约束下具有可行性和有效性.优化结果也表明了考虑应力约束的连续体拓扑优化具有必要性.      

多约束膜结构截面优化及在MSC/Nastran上的程序实现

将准则法和数学规划法相结合,借助满应力准则将应力约束转化为动态尺寸约束,利用单位虚载荷法将位移约束转化为设计变量的显式表达式建立优化模型,然后用数学规划法求解;采用无量纲设计变量实现设计变量连接,对膜结构的厚度进行优化设计;根据对偶理论,应用对偶规划精确映射原问题,再按泰勒展式建立对偶问题的二阶近似。为了提高优化效率,采用射线步调整结构性态,运用粗选有效约束技术筛选约束,并采用主、被动变量循环确保收敛稳定。以MSC／Nastran软件作为结构分析的求解器,以MSC／Patran软件作为开发平台,完成了膜结构截面优化程序。对膜结构的单变位、多变位的结构优化问题进行了优化计算,并与MSC／Nastran优化模块的计算结果进行比较。算例结果表明程序的可靠性、高效性和稳定性以及理论算法的优越性。     

Plate/shell structure topology optimization of orthotropic material for buckling problem based on independent continuous topological variables

The purpose of the present work is to study the buckling problem with plate/shell topology optimiza-tion of orthotropic material.A model of buckling topology optimization is established based on the independent,con-tinuous, and mapping method, which considers structural mass as objective and buckling critical loads as constraints. Firstly, composite exponential function (CEF) and power function(PF)as filter functions are introduced to recognize the element mass,the element stiffness matrix,and the ele-ment geometric stiffness matrix.The filter functions of the orthotropic material stiffness are deduced. Then these fil-ter functions are put into buckling topology optimization of a differential equation to analyze the design sensitiv-ity.Furthermore,the buckling constraints are approximately expressed as explicit functions with respect to the design vari-ables based on the first-order Taylor expansion.The objective function is standardized based on the second-order Taylor expansion. Therefore,the optimization model is translated into a quadratic program.Finally,the dual sequence quadratic programming(DSQP)algorithm and the global convergence method of moving asymptotes algorithm with two different filter functions(CEF and PF)are applied to solve the opti-mal model.Three numerical results show that DSQP&CEF has the best performance in the view of structural mass and discretion.     

Topology optimization design of continuum structures under stress and displacement constraints

ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＴｏｐｏｌｏｇｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｔｉｎｕｕｍｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｄｉｄｎｏｔｄｅｖｅｌｏｐｒａｐｉｄｌｙｕｎｔｉｌｒｅｃｅｎｔｔｅｎｙｅａｒｓｏｗｉｎｇｔｏｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓｉｎｖｏ...     

非光滑优化的双层规划模型及内点算法

对于包含接触约束的非光滑结构优化问题,其非光滑性体现在状态函数并不是处处可微的,针对含有应力约束及接触约束的非光滑结构优化问题,建立了一种双层规划模型,避免了求解时非光滑性所带来的问题,同时提出了一种迭代算法,用对偶内点二次规划进行分析,线性规划进行优化,算例表明这种方法十分有效。     

TOPOLOGY SYNTHESIS OF GEOMETRICALLY NONLINEAR COMPLIANT MECHANISMS USING MESHLESS METHODS

This paper presents a new method for topology optimization of geometrical nonlinear compliant mechanisms using the element-free Galerkin method （EFGM）. The EFGM is employed as an alternative scheme to numerically solve the state equations by fully taking advantage of its capability in dealing with large displacement problems. In the meshless method, the imposition of essential boundary conditions is also addressed. The popularly studied solid isotropic material with the penalization （SIMP） scheme is used to represent the nonlinear dependence between material properties and regularized discrete densities. The output displacement is regarded as the objective function and the adjoint method is applied to finding the sensitivity of the design functions. As a result, the optimization of compliant mechanisms is mathematically established as a nonlinear programming problem, to which the method of moving asymptotes （MMA） belonging to the sequential convex programming can be applied. The availability of the present method is finally demonstrated with several widely investigated numerical examples.     

有频率禁区的连续体结构拓扑优化

用ICM(独立连续映射)方法建立了以重量为目标、频率为约束的连续体结构拓扑优化模型,并转化为对偶模型利用序列二次规划求解.解决了“棋盘格”现象、网格依赖性、局部模态及模态交换等问题.以重量为目标建立的优化模型同截面及形状优化形成了统一模型,在处理多频率约束及解决模态交换问题上有优势.     

频率约束的三维连续体结构动力拓扑优化设计

针对频率约束和结构重量最小的动力拓扑优化问题, 基于(independent continuous mapping, ICM)独立、连续、映射方法,建立了频率约束下的三维连续体拓扑优化模型. 利用瑞利商和一阶泰勒展式对频率约束进行了显式化处理,并采用幂函数与复合指数函数作为过滤函数,将优化模型进行了标准化转换, 利用对偶理论及数学规划法进行了求解. 另外,利用质量矩阵和刚度矩阵过滤函数比值与动态约束处理了局部模态和模态交换等数值问题. 最后,通过应用两类不同过滤函数的数值算例表明了文中模型及方法在处理动力拓扑优化问题上的合理性与有效性.      

多目标结构优化设计的中心法

提出一个求解多目标结构优化设计的中心法，该方法可以看作是求解单目标优化问题中 心法的直接推广. 它针对每个目标函数引进一个``移动靶'以形成各目标函数的水平截集， 然后通过计算并跟踪这些目标函数的水平集与原约束集合形成的交集中心，来达到求解多目 标优化问题的目的. 这个方法在不增加额外计算量的情况下，实现了多目标优化与单目标优 化的算法统一，因此非常容易在现有的结构优化设计的程序中实现. 给出了几个结构优化 设计问题的算例，验证了算法的有效性和可靠性.     

Topology optimization of fluids in Stokes flow

We consider topology optimization of fluids in Stokes flow. The design objective is to minimize a power function, which for the absence of body fluid forces is the dissipated power in the fluid, subject to a fluid volume constraint. A generalized Stokes problem is derived that is used as a base for introducing the design parameterization. Mathematical proofs of existence of optimal solutions and convergence of discretized solutions are given and it is concluded that no regularization of the optimization problem is needed. The discretized state problem is a mixed finite element problem that is solved by a preconditioned conjugate gradient method and the design optimization problem is solved using sequential separable and convex programming. Several numerical examples are presented that illustrate this new methodology and the results are compared to results obtained in the context of shape optimization of fluids. Copyright © 2003 John Wiley & Sons, Ltd.     

应力约束全局化策略下的连续体结构拓扑优化

利用Mises强度理论，提出了应力约束全局化策略，将局 部的应力约束问题转化为结构整体的应变能约束问题. 基于ICM(独立、连续、映射)方法， 引入了独立、连续的拓扑变量，对单元重量、单元刚度和单元许用应力的过滤函数进行了选 择，建立了以重量为目标，以结构应变能代替应力约束的多工况下连续体结构拓扑优化模型， 寻找到了多工况下的最佳传力路径. 运用对偶二次规划方法对上述优化模型进行了求解. 另 外，利用PCL语言，在MSC/PATRAN的开发平台上，实现了应用应力约束全局化策略进行连 续体结构拓扑优化的模块化处理. 数值算例表明了该方法的可行性和有效性.