整数距离图G(Dm,3)的点荫度

整数距离图G（D）以全体整数为顶点集,顶点u,v相邻当且仅当｜u—v｜∈D,其中D是一个正整数集．对于m〉3,设Dm,3={1,2,…m}＼{3},得到了G（Dm,3）的点荫度的上界和下界并决定出了它在某些m上的确切值．     

整数距离图G(Dm,2)的点线性荫度

整数距离图G(D)以全体整数为顶点集，顶点u，v相邻当且仅当|u-t|∈D，其中D是一个正整数集．对于m≥11，设Dm．2={1，2，…，m}＼{2}，得到了G(Dm，2)的点线性荫度的上界和下界并决定出了它在某些特殊的m上的确切值．     

整数距离图G(D_(m,30)的点荫度

整数距离图G(D)以全体整数为顶点集,顶点u,v相邻当且仅当|u-v|∈D,其中D是一个正整数集.对于m>3,设Dm,3={1,2,…m}\{3},得到了G(Dm,3)的点荫度的上界和下界并决定出了它在某些m上的确切值.     

一类整数距离图的点荫度

整数距离图以全体整数作为顶点集，顶点u、υ相邻当且仅当｜u-υ｜∈D，其中D是一个正整数集．对于m〉3，令Dm=[1,m]／[1,3]．本研究得到了G（Dm）的点荫度．     

距离图的点荫度

实数距离图G(R，D)是顶点集为实数轴上的所有点，顶点u,v∈R相邻当且仅当|u-v|∈D，其中D是一个正实数集．讨论了当D为1到δ的区间时，实数距离图G(R，D)的点荫度．特别地，当3D是某正整数集合，Z是整数集时，得出了整数距离图G(Z，D)的点荫度的几个上界．     

外平面图的平方图的点荫度

图G的平方图G2是以V(G)作为它的点集,两个点在G2中相邻当且仅当它们在G中的距离至多为2.证明了：若G是一个最大度Δ6的外平面图,则G2的点荫度va(G2)=「Δ+12?;特别地,一棵树T的平方图T2的点荫度va(T2)=「Δ+12?.     

嵌入曲面的图的点荫度

图 G 的导出森林 k-划分是指其顶点集 V（G）的一个 k-划分（V1,V2,…,Vk）,使得对于每个 i（1≤i≤k）,导出子图 G[Vi]是一个森林。图 G 的点荫度是使得图 G 有导出森林 k-划分的最小的正整数 k,记为 va（G）。主要证明了如果图 G 能够嵌入到欧拉示性数非负的曲面上,则当图 G 满足三类条件时,可以得到 va（G）≤2。     

乘积图的荫度

研究了乘积图的荫度并对一般的图G ,H ,给出了其乘积图G×H 荫度上界 .对一些特殊图类的乘积图 ,给出了其荫度的显性表达式     

图的全色数强色数和点荫度

利用图标的方法得到图的全色数的一个上界，并证明其是可达的。其次给出图的强色数的一个上界，并对极图予以刻划，最后对图与补图的点荫度之间的关系给出一个简单的证明。     

关于图的线性点荫度

Ｂｒｏｅｒｅ和Ｍｙｎｈａｒｄｔ等人猜想：任何平面图Ｇ的线性点荫度ｌａ（Ｇ）不超过３。本文证明了这个猜想，并证明了外平面图的线性点荫度ｌａ（Ｇ）不大于２。     

边数较少的图的线性荫度

设G是一个连通图且满足|E|≤|V| [3△／2]-4,则它的线性荫度la(G)=[△／2],同时得到了一个与树相关的结果。     

荫度临界图的构造法

给出了由较小的荫度临界图构造较大的荫度临界图的一种合成的方法。     

完全多部图和笛卡儿积图的线性点荫度

图的线性点荫度是对它的顶点进行染色所用的最少颜色数,同时使得染同一种颜色的点集所导出的子图,它的每个分支均为路．本文完全确定了完全多部图的线性点荫度,给出了笛卡儿积图的线性点荫度的一个上界,得到了一些特殊图（ 如路,圈和完全图） 的笛卡儿积图的线性点荫度．     

图和补图的荫度

本文研究了图和补图荫度间的关系,并猜想:对p阶简单图G(V,E),有 a(G)+a(G~c)≤1+[p/2] 其中G~c表示G的补图,a(G)表示G的荫度,[x]表示不小于x的最小整数。     

Halin图的线性2-荫度

图G的线性2荫度la2(G)是将G分解为k个边不交的森林的最小整数k,其中每个森林的分支树的长度至多为2的路.给出了Halin图G的线性2荫度.     

图的点线荫度

图G的顶点集V(G)划分为一些子集,使得每个子集的导出子图是0线森林(即每个分支是路)的最小子集数叫图G的点线荫度,记为v|a(G).Poh K S证明了任何平面图的点线荫度最多是3.Matsumato M给出了图的点线荫度的上界,即v|a(G)≤[△(G)/2].这里△(G)是G的最大度.本文给出了完全n部图的点线荫度计算公式,同时也给出了任意图的点线荫度的精确上下界．     

关于平面图点荫度的一点改进

一个非平凡图G的点荫度a(G)是一个最小图顶点划分数使得每一个划分集的导出子图是一个森林.近年来对点荫度的研究成为图论的一个焦点并且关于这个问题有更深一步的发展,例如,随机图的点荫度以分式点荫度等.得到一个关于平面图的点荫度的一个上界;如果平面图G是没有3-圈,或是没有4-圈,或是没有5-圈,那么G的点荫度不超过2.研究的起因是一个著名的猜想:任何3-可着色的平面图的点荫度不超过2.四色定理是图论中最著名的一个定理,伴随产生了一个问题,那就是什么样的平面图是3-可着色的.不幸,这是一个难问题,Garev等人证明了判定一个平面图是否3-可着的即使在一个点不超过4的条件下仍然是NP-难问题.因此这个猜想是一个不易解决的,人们开始在一些特殊图上进行验证这个猜想是否正确.我们知道一个著名的定理:不含3-圈的平面图是3-可着色的.结合结果,给出猜想的一个正面的肯定.Havel给出两个反例,如果平面图含有4-圈或有5-圈是不可3-可着色的,因此4-圈和5-圈在证明平面图是3-可着色时必须排除.不过在结论中,如果平面图不含有4-圈或不含有5-圈,那么它的点荫度不超过2.从而可以看出猜想的条件还是很强的.同时我们的结果也拓宽了张忠辅等人的结果:外平图的点荫度不超过2.     

图的控制数与点线荫度的关系

该文给出了图的控制数与2倍点线荫度之和及积的上界且所给出的界均可达到。     

图的最大平均度与线性荫度的关系

设G为一简单图,它的最大平均度mad（G）=max{2｜E（H）｜／｜V（H）｜：H为G的非空子图}．如果△（G）≥7和mad（G）≤4,或者△（G）≥5和mad（G）≤18／5,或者△（G）≥3和mad（G）〈3,则G的线性荫度为[△（c）／2]．     

无指定相交圈的非负特征图的列表点荫度

对于图的任一顶点集的划分,并使每个划分的导出子图均为无圈图的最小的划分基数称为图的顶点荫度.对于图G的每个顶点给定一个列表基数至少为k的颜色集合,对于图的任一染色,若每个顶点的颜色均选择与其关联的颜色集,使得每种颜色类的导出子图是一个无圈图的最小的基数k称为图的列表点荫度.证明了每个无6圈和相交i,j-圈(i,j∈{3,4})的非负特征图的列表顶点荫度为2,即为4列表可选色.