圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

初中几何复习中编拟新题的几种做法

初中几何复习中编拟新题的几种做法方廷刚（攀枝花市第三中学６１７０００）１求逆有些几何命题的题设不止一个，将结论与题设之一交换后所得命题仍为真命题，这种求逆的构造新题的做法是较为常用的一种做法．例１已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ是⊙Ｏ的切线，切点为Ｂ，ＯＣ...     

三圆两两相交的一条性质

性质圆心不共线的三个圆两两相交,所得三条公共弦所在直线交且仅交于一点。证明设AB、CD、EF分别为圆心不共线的三个圆⊙O_1、⊙O_2、⊙O_3的公共弦,设AB、CD(或延长线)相交于P,联结EP(或并延长)交⊙O_1于F_1,交⊙O_2于F_2。由相交弦定理(或割线定理)有PA·PB=PC·PD=PE·PF_1,PA·PB=PE·PF_2,于是得PE·PF_1=PE·PF_2,即有PF_1=PF_2。而F_1、F_2都在EP(或其延长线上),且F_1在⊙O_1,上F_2在⊙O_2上,从而F_1与F_2重合于     

一道竞赛试题的研究性学习

2007年第4届中国东南地区数学奥林匹克竞赛的第2题如下:如图1所示,设C、D是以O为圆心,AB为直径的半圆上的任意两点,过点B作⊙O的切线交直线CD于P,直线OP与直线AC、AD分别交于E、F.证明:OE=OF.     

一对几何定理的证明与一类趣题

<正>本文拟证明一对几何定理,并运用其证明一类有趣的几何问题.1.定理及证明定理1如图1,⊙O1与⊙O2内切于点P,过⊙O1上的点A作⊙O2的切点AB,切线为B,设⊙O1与⊙O2的半径分别为R与r,则有AP=     

由一道几何题引发的作图题

<正>一、一道几何题如图1,⊙O与⊙O′外离,半径分别为r与R,一条直线交两圆于A、C与D、B,且AC=DB,过A、B分别作两圆的切线交于P,求证:PA/PB= r/R.本文不讨论该题的证明,关注的是题设"一条直线交两圆于A、C与D、B,且AC=DB",思考一个问题——在两圆确定的前提下,如何作出一条与两圆相交且所截得的两条弦相等的直线,于是引发如下作图题.     

论反例

(一) 反例在数学中的地位和作用所谓反例,通常是指用来说明某个命题不成立的例子。在数学中要证明一个命题成立,要严格的论证在符合题设的各种可能的情况下,结论都成立,也就是要求证明必须具有一般性,面面俱到,缺一不可,而要推翻一个命题,却     

由课本例题拓展、引伸出来的好题——兼评海南省2002年的一道中考题

课本上典型的例(习)题是中考题的母体.把这些例(习)题变化、拓展、引伸,便得到很有特色的新题、好题.海南省2002年中考的数学卷的第27题就是一道由课本的例题拓展引伸出来的好题.海南省2002年中考题的第27题是源于几何第三册Ｐ109的例3.该题目是:已知:ＡＢ是⊙Ｏ的直径,ＢＣ是⊙Ｏ的切线,切点为Ｂ,ＯＣ平行于弦ＡＤ(如图1).求证:ＤＣ是⊙Ｏ的切线.要证明ＤＣ是⊙Ｏ的切线,只要证明过Ｄ点的半径垂直于ＤＣ就可以了.因此,我们就必须连结ＯＤ,然后证明ＯＤ⊥ＤＣ,根据题设条件不难证明这点.该题给出了证明过圆上一点的直线为圆的切线的一种常用…     

反证法

所谓反证法 ,就是先假设命题的结论不成立 ,从结论的反面入手 ,进行正确的逻辑推理 ,导致结果与已知或学过的公理、定理相矛盾 ,从而得出结论的反面不成立 ,于是原结论成立 .反证法证明命题的一般步骤是 :(1)反设 :将结论的反面作为假设 ;(2 )归谬 :由“反设”出发 ,利用已知及已学过的公理、定理 ,推出与已知矛盾的结果 ;(3 )结论 :由矛盾断定“反设”错误 ,从而肯定命题的结论正确 .反证法适用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”、“至多”命题和某些逆命题等 .一般地说 ,凡是直接证法很难证明的命题都可考虑用反证法 .图 1例 1已知…     

也谈一个定值命题的推广

文 [1]证明了下面的命题 :命题 1　设P1、P2 、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1=BP2 =CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 .文 [2 ]用解析法给出上面命题一个简洁证明 ,并将其“推广”为 :命题 2　设P1、P2 、P3分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1∶P1B =BP2 ∶P2 C =CP3∶P3A =λ ,以△ABC的重心G为圆心 ,定长R为半径作⊙ (G ,R) ,直线l是⊙ (G ,R)的任意一条切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 (3R) .笔者认为 ,命题 2是假…     

由基本图出发进行练习

本文的基本图,取自初中几何教材第二册124页的例:如图1,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B,C为切点,求证:AB⊥AC. 证明:过点A作两圆的内公切线交BC于O.由关于切线长的定理得OB=OA=OC,所以AB⊥AC. 本文旨在介绍据此基本图可以组织学生进行一系列的练习的作法。练习1 上例的证明借助于圆周角定理的推论“如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形”,得出了AB⊥AC.能否通过其它途经推出这个结论     

巧证一个性质

笔者运用几何画板探得如下命题： 命题1 已知椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0），如图1．切椭圆于点P的直线与⊙O：x^2＋y^2=a^2相交于M，N两点，⊙O在点M，N处的切线相交于点Q，则PQ⊥x轴．     

一道中考压轴题的探究

笔者有幸参加了2006年宁波市中考数学试卷的批卷及评析工作,对试卷中的第26题感触颇深,现把自已对该题的分析、探索、反思、感悟撰文如下,供同行参考.题目:已知⊙O过点D(4,3),点H与点D关于y轴对称,过H作⊙O的切线交y轴于点A(如图1).(1)求⊙O的半径;(2)求sin∠HAO的值;(3)如图2,设⊙O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点(与点P不重合),连结并延长DE、DF交⊙O于点B、C,直线BC交y轴于点G,若△DEF是以EF为底的等腰三角形,试探索sin∠CGO的大小怎样变化?请说明理由.图1图2一、试题的背景特色本题以直角坐标系为载体,融几何、…     

圆锥曲线的一个性质

20 0 1年全国初中数学竞赛试题Ｂ卷第 14题 :如图 1,已知点Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＳ ,ＰＴ是⊙Ｏ的两条切线 ,过点Ｐ作⊙Ｏ的割线ＰＡＢ ,交⊙Ｏ于Ａ ,Ｂ两点 ,并交ＳＴ于点Ｃ ,求证 :1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) .分析 :先研究此题结论 ,由 1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) 2ＰＣ=1ＰＡ+ 1ＰＢ,即ＰＡ ,ＰＣ ,ＰＢ的倒数成等差数列 .此题的平面几何证法有多种 ,这里从略 .现运用解析几何知识给出证明 .图 2　 14题图证　如图 2建立坐标系 ,圆外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,圆的方程ｘ2 + ｙ2 =ｒ2 ,可求ＳＴ的直线方程ｘｘ0 + ｙｙ0 =ｒ2 (1)设⊙Ｏ的割线ＰＡＢ…     

一个平几命题的推广

命题1 设p为△ABC内点,过P作直线DE∥BC,交AB于D、AC于E;作FG∥CA ,交BC于F,AB于G 、HK∥AB,交CA于H,BC于K,则有此命题及其关联的图形被改编成数十道题目出现于国内外赛题,若P为平面任一点呢?把线段比改为有向线段比,仍然成立。命题2 设P为△ABC所在平面内任一点,过P作直线DE∥BC,交直线AB于D,CA于E;作FC∥CA,交直线BC于F,AB于G;作     

切线的性质和判定

一、启发提问图７－４６１．如图７－４６,圆心到直线ｌ的距离就是半径ＯＡ,由上节知识可知直线ｌ与⊙Ｏ,这里的直线ｌ有两个限制条件,它们是,．２．圆的切线垂直于经过切点的．３．切线性质定理的两个推论的题设和结论分别是什么？４．切线的性质定理及其两个推论的题设和结论有什么关系？二、例题示范例１　已知：如图７－４７,点Ｃ是⊙Ｏ的ＡＢ的中点,ＣＤ∥ＡＢ．求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线．分析　要证ＣＤ是⊙Ｏ的切线,根据判定定理只需要连结ＯＣ,证明ＯＣ⊥ＣＤ即可;用垂径定理由已知条件可知ＯＣ⊥ＡＢ,而ＡＢ∥ＣＤ,因此…     

这个作图法是如何想到的?

<正>《中学生数学》2016-5(下)期刊登的刘小杰等老师的文章《由一道几何题引发的作图题》,给出如下一个作图题:已知,如图1.☉O_1和☉O_2的半径分别为r_1和r_2,r_1>r_2,点P为☉O_2上一点.求作过点P的直线,使之在☉O_1和☉O_2上所截得的两条弦相等.     

由一道练习题变成一系列中考题

一、原题:已知:如图1,⊙O1,⊙O2相切于点T,直线AB、CD经过点T,交⊙O1于点A、C,交⊙O2于点B、D.求证.AC//BD.(人教版九义教材初中几何第三册第145页练习第2题).     

圆锥曲线切线的一种几何作法

<正>在平面几何学习的过程中,往往可以将圆中的一些典型问题推广到椭圆,进而再类比到双曲线和抛物线,充分体现了这些圆锥曲线的内在联系和统一性质.题目(2015年全国高考新课标卷第22题(1))如图1,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线.由圆的几何性质不难证明直线DE与圆O相切于点E,再回首,发现此题蕴含着圆上任一点处的切线的一种作法,     

浅析中考填空题中的新题型

近年各地中考数学的填空题出现了一些题意新颖、构思精巧、题型多样的创新题 ,使中考充满活力和魅力 .本文笔者从全国中考数学试题中精选数例加以分析 ,供同学们参考 .一 多选填空题给出多个命题 ,要解题者对每个备选命题判断其真伪 ,填写全满足要求的命题序号 .例 1　已知⊙Ｏ1、⊙Ｏ2 的半径都等于 1,有下列命题 :①若Ｏ1Ｏ2 =1,则⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 有两个公共点 ;②若Ｏ1Ｏ2 =2 ,则⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 外切 ;③若Ｏ1Ｏ2 ≤ 3 ,则⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 必有公共点 ;④若Ｏ1Ｏ2 >1,则⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 至少有两条公切线 .其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题…