三角恒等式与三角方程

设有两个函数y=f1（x）与y=f2（x），如果对任意x0∈D都有f1（x0）=f2（x0），则称f1（x）=f2（x）是D上的恒等式，如果f1（x），f2（x）中有一个是三角函数式，就称此恒等式为三角恒等式。     

借助三角恒等式解三次方程

借助三角恒等式解三次方程李馥清（齐齐哈尔铁路运输职工大学）三次方程的解法很多，本文介绍一种借助三角恒等式求三次方程的实数解的方法．一般的三次方程经变换可消去平方项，化为形如的方程，其中在三次方程Ｘ３一ｐＸ一ｑ一０中，设Ｘ＝ｒｃｏｓａ（ｒ＞０），则原方...     

三角恒等式图解

(1)和一角公式55。(a 口)=sinaeos方 Cosasin刀图lr李1,△H、4B的高线HG分顶角H为。,刀两部分.易得5.。」。二S沪,。十S,,。G、么““·“BSi·(a 、)、 一;I了一“·“(犷S‘一 么““·H‘51·“冷·‘·(。 “,一另毖51二十另乞51·刀今51。(a 刀)=5 inaeos刀一于。osasil,z     

三角恒等式的应用

<正>题目(高中《数学》（必修）第一册（下）P₄₂第15题)已知α+β+γ=nπ（n∈z）,求证:tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ.这个三角恒等式,大多数同学都会证明,然而对于它的应用却不太清楚.为开阔同学们的视野,启迪思维,本文现将其应用及推广分别介绍如下:     

三角恒等式的多种证法

<正>题目求证:sum from k=1 to n cos[(a+2(k-1)π)/n]=0(n≥3,n∈N).这是一道经典的三角恒等式,有不少文章谈及它的证明方法.笔者收集、整理,得到了四种构造性的证明方法.本文一一介绍给大家.以供参考.     

一个三角恒等式的应用

一个三角恒等式的应用吴爱军（江西广播电视学校３３００２９）在《数学通报》１９９６年第４期４月号数学问题１００１题中，叶军、王申怀两位老师给出了下面一个三角恒等式：已知△ＡＢＣ中，三内角为Ａ，Ｂ，Ｃ，试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ...     

趣谈三角恒等式的拆分

1　 引言文 [1 ]对如下数学问题进行了推广 :求 cosπ1 3+ cos3π1 3+ cos9π1 3的值 .利用电脑编程求得( 1 ) cos3π1 7+ cos5π1 7+ cos7π1 7+ cos1 1π1 7= 1 + 1 74 .为方便计 ,记等式左边为 ( 3,5,7,1 1 ) 17,于是 ,其它结果为( 1 ) ( 1 ,9,1 3,1 5) 17=1 - 1 74 ,( 2 ) ( 1 ,5,7,9,1 3,2 3,2 5) 2 9=1 + 2 94 ,( 2′) ( 3,1 1 ,1 5,1 7,1 9,2 1 ,2 7) 2 9=　　 1 - 2 94 ,…这事实上是对∑2 nk=1cos2 k - 14 n + 1 π =12的一种拆分 .文 [1 ]指出 ,当 n =2 ,5,6 ,8,1 1 ,1 2 ,1 4时 ,无相应结果 .并给出两个猜想 .猜想 1　若自然数 n…     

一个三角恒等式的证明与应用

定理结构简洁、对称、优美,易于记忆且不超纲．在解题中如能灵活运用,可使解答简洁、流畅,赏心悦目．     

三个三角恒等式与若干三角不等式的证明

本文给出三角形中的三个恒等式,并应用它证明若干三角不等式．     

一类三角恒等式的证明

贵刊八四年第六期上有一篇文章《一个有用的三角等式》,其中有这么一道例题: 证明:tg3°tg17°tg28°tg37°tg43°tg57°. ·tg63°tg77°tg88°=tg27°(1) 文章对这道题做了很巧妙的解答,但类似的还有恒等式:     

一个三角恒等式的应用

首先给出一个三角恒等式. 设α为实数,m≥3且m∈N*,则有 cosα+cos(2π/m+α)+cos(4π/m+α)+…+cos[2(m-1π/m+α]=0 (1)     

三角数列恒等式的证明

１引言有关三角数列和、积恒等式的证明问题,在现行高中数学教材中是用数学归纳法证明的,当然数学归纳法是证明这类恒等式的基本方法,但是过程比较繁琐．本文给出一种简洁的证明方法,它可以作为证明数列恒等式的通法．２两个定理定理１如果ｆ（ｎ）－ｆ（ｎ－１）＝ｇ...     

一个三角恒等式的发现

前不久 ,遇到了这样一道题目 :例 1　已知Ａ ,Ｂ ,Ｃ为△ＡＢＣ的三个内角 ,ｙ =2 +ｃｏｓＣｃｏｓ(Ａ -Ｂ) -ｃｏｓ2 Ｃ ,问 :随便怎样交换Ａ ,Ｂ ,Ｃ的位置 ,ｙ的值是否变化 ?试证明你的结论 .看到题目中有积的形式 ,我便理所当然地想到了积化和差 .解　ｙ =2 +ｃｏｓＣｃｏｓ(Ａ -Ｂ) -ｃｏｓ2 Ｃ=2 +12 [ｃｏｓ(Ｃ +Ａ -Ｂ) +ｃｏｓ(Ｃ -Ａ +Ｂ) ]-ｃｏｓ2 Ｃ=2 +12 [ｃｏｓ(π - 2Ｂ) +ｃｏｓ(π -2Ａ) ]-ｃｏｓ2 Ｃ=2 +12 (-ｃｏｓ2Ｂ -ｃｏｓ2Ａ) -ｃｏｓ2 Ｃ=2 +12 (- 2 +2ｓｉｎ2 Ｂ +2ｓｉｎ2 Ａ)- 1 +ｓｉｎ2 Ｃ=ｓｉｎ2 Ａ +ｓ…     

一个三角恒等式的推广

一个三角恒等式的推广何新萌（泉州电力学校３６２０００）徐道在《数学通报》１９９６年第１０期的数学问题１０３７中，提出了一个三角恒等式：（ｃｏｓπ１１）３－（ｃｏｓ２π１１）３＋（ｃｏｓ３π１１）３－（ｃｏｓ４π１１）３＋（ｃｏｓ５π１１）３＝１２（１...     

关于二次剩余的深入探讨

<正>1问题的引入考察小于30的奇质数p,当p为何值时,二次同余方程x²+1≡0(modp)有解.这是一道数论题目,入手非常容易,结果如下:单纯回答题目中的问题并不难,显然,这些表面的结论之中包含着某些规律,其背后的本质是什么?本文通过深入探讨,运用二次剩余概念,揭示这些结论的实质内涵.2联想与推测在数论中,一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x2+1≡0(modp)有解.这是一道数论题目,入手非常容易,结果如下:单纯回答题目中的问题并不难,显然,这些表面的结论之中包含着某些规律,其背后的本质是什么?本文通过深入探讨,运用二次剩余概念,揭示这些结论的实质内涵.2联想与推测在数论中,一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x²除以p得到的余数.当存在某个x,使得x2除以p得到的余数.当存在某个x,使得x²≡a(modp)成立时,     

关于二次剩余的平方和

设ｐ为奇素数，对任意给定的正整数ｃ且ｐ｜ｃ，本文证明了如下结论：当ｐ较大时一定存在模ｐ的两个二次剩余ｒ及ｓ使得满足同余方程ｒ＾２＋ｓ＾３≡ｃ（ｍｏｄｐ）。     

一组新的三角恒等式

在《平面三角》的积化和差的教学和学习中,得出一组新的三角恒等式:     

获得一类三角恒等式的新方法

基于一元高次方程根与系数的关系,应用对称多项式知识,建立获得一类三角恒等式的新方法,举例说明其应用.     

一类三角恒等式的统一推广

《数学通报》１９９７年第９期“一个三角恒等式的推广”一文中给出了如下一类三角恒等式：∑２ｎｋ＝１（ｓｉｎｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝（２ｎ＋１）Ｃｍ２ｍ２２ｍ,（１）∑ｎｋ＝１（ｓｉｎｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝（２ｎ＋１）Ｃｍ２ｍ２２ｍ＋１,（２）∑２ｎｋ＝１（ｃ...