利用课本结论 巧证一道竞赛题

浙教版义务教育初级中学课本《数学》第五册（１９９６年３月第二版）第１５６页有这样一道习题：ＤＢ图一ＦＡＣＥ如图一,ＡＣ⊥ＡＢ,ＢＤ⊥ＡＢ,Ａ、Ｂ为垂足,ＡＤ和ＢＣ相交于点Ｅ,ＥＦ⊥ＡＢ于Ｆ;又ＡＣ＝ｐ,ＢＤ＝ｑ,ＦＥ＝ｒ,ＡＦ＝ｍ,ＦＢ＝ｎ．（１）用ｍ、ｎ表示ｒｐ．（２）用ｍ、ｎ表示ｒｑ．（３）证明：１ｐ＋１ｑ＝１ｒ．利用（１）、（２）过渡,可迅速得到（３）的证明（证略）;值得一提的是条件“ＡＣ、ＥＦ、ＢＤ都垂直于ＡＢ”可弱化为“ＡＣ∥ＤＢ∥ＥＦ”,此时结论仍成立,于是有：ＥＤＢ图二ＦＡ如图二,…     

关于一道极值题的若干反思

这是一道看似寻常的最值问题：四面体ＡＢＣＤ中,ＡＤ、ＢＤ、ＣＤ三棱两两垂直,且ＡＤ＝１,ＢＤ＋ＣＤ＝４．求图１Ｓ△ＡＢＣ的最大值与最小值．从解题常规看,入手并不难．如图１所示,在平面ＡＢＣ内,作ＡＥ⊥ＢＣ,垂足为Ｅ,联ＤＥ．则ＤＥ⊥ＢＣ．设ＢＤ＝ｘ,易知　ＤＥ＝ＢＤ·ＣＤＢＣ＝ｘ·（４－ｘ）ｘ２＋（４－ｘ）２＝４ｘ－ｘ２２ｘ２－８ｘ＋１６　ＡＥ＝ＡＤ２＋ＤＥ２＝ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６２ｘ２－８ｘ＋１６而　Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＡＥ·ＢＣ　＝１２ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６（１）面对这…     

第三周几何能力训练二

说明　此组题是几何能力训练一的补充,主要训练识图、画图、计算、逻辑推理能力．　　一、填空（１～６小题各３分,７～１０小题各５分,共３８分）１．目测图中全等的三角形可能有对．（如图Ｃ－１６）图Ｃ－１６图Ｃ－１７２．如图Ｃ－１７,ＡＢ＝ＡＣ,点Ｄ、Ｆ是∠ＢＡＣ的平分线上两点,ＡＤ、ＤＦ满足关系时,Ｓ△ＡＤＣ＝Ｓ△ＢＤＦ．３．画图,并回答．从△ＡＢＣ的顶点Ｂ作∠Ａ的平分线的垂线段ＢＤ,垂足为Ｄ,过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ,交ＡＢ于点Ｅ．图中的直角三角形是,等腰三角形有．图Ｃ－１８４．如图Ｃ－１８,ＡＤ∥ＢＣ,…     

三角形单元目标测试(B)卷(45分钟完卷,满分100分)

一、选择（每小题４分，共２０分）１、△ＡＢＣ的ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＣ＝７ｃｍ，ＢＣ边的长度范围是（）（Ａ）５＜ＢＣ＜７（Ｂ）２＜ＢＣ＜１２（Ｃ）２≤ＢＣ＜１２（Ｄ）２＜ＢＣ≤１２２、△ＡＢＣ中，ＢＥ、ＣＦ分别是∠Ｂ和∠Ｃ的平分线，且ＢＥ＝ＣＦ，那么△ＡＢ...     

三角形目标检测题(B卷)

一、填空（１～５小题各３分,６～８小题各４分,９、１０小题各５分,共３７分）１．三角形的内角和是,一个外角等于的两个内角的和．２．等腰三角形的周长是４０ｃｍ,腰是底的２倍,则底边长ｃｍ．３．△ＡＢＣ的三个内角满足∠Ｃ＝∠Ａ－∠Ｂ,则△ＡＢＣ是三角形．４．如图Ａ－１４,∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝．图Ａ－１４图Ａ－１５５．如图Ａ－１５,ＡＤ是等腰Ｒｔ△ＡＢＣ的角平分线,ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ．若ＣＤ＝５ｃｍ,则ＢＥ＝ｃｍ．６．等腰三角形的底角等于１５°,腰的长２０ｃｍ,则腰上的高是ｃｍ．７．等边三…     

圆 单元目标检测题

一、选择题（每小题４分,共２８分）１．已知：如图Ｄ－１,ＢＣ切⊙Ｏ于Ｂ,∠ＡＯＢ＝１１０°,则∠ＡＢＣ＝（　）（Ａ）１１０°　（Ｂ）５５°　（Ｃ）７０°　（Ｄ）３５°图Ｄ－２图Ｄ－１　　２．如图Ｄ－２,⊙Ｏ是Ｒｔ△ＡＢＣ的内切圆,切点为Ｄ、Ｅ、Ｆ,∠Ｃ＝９０°,ＡＣ＝６,ＢＣ＝８,则ＡＦ＋ＢＥ＝（　）（Ａ）８　（Ｂ）６　（Ｃ）１０　（Ｄ）１２３．两圆的直径分别为１０和６,圆心距为４,则两圆的位置关系是（　）（Ａ）外离　（Ｂ）外切　（Ｃ）相交　（Ｄ）内切４．如图Ｄ－３,弦ＡＢ、ＣＤ相交于Ｐ,ＰＡ＝…     

两异面直线间距离的简捷公式及应用

受文［１］的启发,我们惊喜地发现两异面直线间距离可用一个对称、简捷公式给出,即有定理　如图１,ｌ１、ｌ２是异面直线,ｌ２平面α,ｌ１∩α＝Ａ,ｌ１在α在内的射影为ｌ,若ｌ２∩ｌ＝Ｂ,且ｌ１、ｌ２与ｌ所成的角分别为θ１、θ２,ＡＢ＝ｍ,则ｌ１、ｌ２间的距离ｄ＝ｍｃｓｃ２θ１＋ｃｓｃ２θ２－１（）图１ＤｌＣ′１ｌＣａ１θｍＡ２θ２ｌＢα证明　在ｌ１上任取一点Ｃ（异于Ａ）,作ＣＣ′⊥α,垂足为Ｃ′,则Ｃ′∈ｌ,在α内作ＡＤ∥ｌ２且使ＡＤ＝ＡＣ＝设ａ,则ｌ２∥平面ＡＣＤ,∴ｌ１与ｌ２的距离ｄ等于ｌ２…     

二元二次多项式可因式分解的充要条件及其分解公式

对于二元二次多项式ｆ（ｘ，ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ（其中Ａ，Ｂ，Ｃ不全为零），设ｈ＝２ＣＤ－ＢＥＢ２－４ＡＣ，ｋ＝２ＡＥ－ＢＤＢ２－４ＡＣ，Ｆ１＝ｆ（ｈ、ｋ）＝１２Ｄｈ＋１２Ｅｋ＋Ｆ，△＝２ＡＢＤＢ２ＣＥＤＥ２Ｆ＝－２（Ｂ２－４Ａ...     

1993年亚太地区数学奥林匹克试题及解答

１９９３年亚太地区数学奥林匹克试题及解答１．四边形ＡＢＣＤ的边全相等，∠ＡＢＣ＝６０°直线ｌ过Ｄ且不与四边形相交（除Ｄ点外）．Ｅ、Ｆ分别为ｌ与直线ＡＢ、ＢＣ的交点．Ｍ为ＣＥ与ＡＦ的交点．证明ＣＡ２＝ＣＭ又因为∠ＥＡＣ＝∠ＡＣＦ＝１２０°，故，而ＺＡＣ...     

初三上期数学测试题

一、一元选择题（每小题３分,共４５分）１．在直线坐标系中,点Ｐ（－２,３）关于原点的对称点Ｐ′的坐标是（　）（Ａ）（２,３）　（Ｂ）（２,－３）（Ｃ）（３,－２）　（Ｄ）（－２,－３）２．已知方程２ｘ２＋７ｘ＋３＝０的两实根是ｘ１、ｘ２,那么ｘ１＋ｘ２的值是（　）（Ａ）－３　（Ｂ）３２　（Ｃ）－７２　（Ｄ）７３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,如果ｓｉｎＡ＝１２,那么ｃｏｓＢ的值为（　）（Ａ）１２　（Ｂ）３２　（Ｃ）１　（Ｄ）２２４．已知两个实数根的和是３,积是－４的一元二次方程是（　）（Ａ）ｘ…     

直四面体中的角公式

读完《异面直线距离的公式求法》［１］一文，感觉可类比求出异面直线所成的角．如图图１１，α⊥β，ＡＢα，ＣＤβ，∠ＡＢＣ＝θ１，∠ＤＣＡ＝θ２．于是在平面β内过Ａ作ＡＥ∥ＤＣ，则∠ＥＡＣ＝θ２．异面直线ＡＢ，ＤＣ所成的角是∠ＢＡＥ．又α⊥β，∴∠Ｂ...     

1998年上海市初中数学竞赛(第一试)试题

１．已知ｂ、ｃ为方程ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个根,且ｃ≠０,则（ｂ,ｃ）＝　　．２．实数ｘ、ｙ、ｚ满足ｘ＝６－３ｙｘ＋３ｙ－２ｘｙ＋２ｚ２＝０则ｘ２ｙ＋ｚ的值为　　．３．正数ｘ１,ｘ２,ｘ３,ｘ４,ｘ５,ｘ６同时满足ｘ２ｘ３ｘ４ｘ５ｘ６ｘ１＝１,ｘ１ｘ３ｘ４ｘ５ｘ６ｘ２＝２,ｘ１ｘ２ｘ４ｘ５ｘ６ｘ３＝３,ｘ１ｘ２ｘ３ｘ５ｘ６ｘ４＝４,ｘ１ｘ２ｘ３ｘ４ｘ６ｘ５＝６,ｘ１ｘ２ｘ３ｘ４ｘ５ｘ６＝９,则ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６的值为　　．４．如图,四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ平分∠ＢＡＤ,ＣＥ⊥ＡＢ于…     

三角形检测题参考答案

Ａ卷一、选择题：Ｄ，Ｄ，Ｃ，Ｃ，Ｄ二、填空题：１、∠Ｂ＝∠Ｃ；２、ＨＥ、ＡＦ、ＣＤ；３、ＢＤ＝ＤＣ；４、ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＦ＝３；５、３ｃｍ；６、交换位置；７、直角；８、ＰＡ＝ＰＢ；９、全等，垂直平分线；１０、直角三、（略）四、１、（１）解：∵∠Ｂ＝∠Ｃ...     

对称与非对称

对称和谐，它唤起人们探索的兴趣，人们常去研究它．但数学领域中常呈现的是非对称和谐，数学方法是一门科学又是一门艺术，因此研究对称和谐与非对称和谐之间的内在联系和辩证关系是有价值的课题．对称与非对称，和谐与非和谐是一对矛盾的两个方面．下面结合中学数学谈谈它们的联系与转化．例如９９年高考理科第（１０）小题，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ＝３／２，ＥＦ与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积为（　　）（Ａ）９２．　（Ｂ）５．　（Ｃ）６．　（Ｄ）１５２．图１　　　　…     

一类几何命题的统一构图证明

对于一类形如的几何问题证明方法五花八门,本文利用一个常见的构图,给出这一类问题的一个统一证明．１ 基本构图及其结论 命题 如图１,ＡＢ//ＥＦ//ＣＤ,则 略证２ 一组常见问题的统一解决及启示 问题 １ 如图 ２,△ＡＢＣ中,ＢＥ平分ＡＢＣ,ＥＦ//ＢＣ,则． 略证 过Ａ作ＡＤ//ＢＣ与ＢＥ的延长线交于Ｄ,则 ＡＤ=ＡＢ,结论显然成立． 问题２ 如图 ３,ＡＢＣ=１２０°,ＢＤ平分ＡＢＣ,点Ａ、Ｄ、Ｃ在一直线上,则 证明 过Ａ、Ｃ作ＢＤ的平行线与ＣＢ、ＡＢ 的延长线交于Ｅ、Ｆ,由ＡＥ＝ＡＢ,ＣＦ＝ＣＢ,结论成立． 一般的文…     

不等式x~3 y~3 z~3≥3xyz的几何证法

我们先证ｘ２＋ｙ２≥２ｘｙ（ｘ、ｙ∈Ｒ＋,当ｘ＝ｙ时,等号成立）证明　如图１,设正方形ＡＢＣＤ的边长为ｘ,正方形ＢＥＦＪ的边长为ｙ,在ＡＢ上取ＡＨ＝ｙ,则ＨＢ＝ｘ－ｙ,故ＨＥ＝ＨＢ＋ＢＥ＝ｘ－ｙ＋ｙ＝ｘ,∴　Ｓ矩ＡＨＰＤ＝Ｓ矩ＨＥＦＫ＝ｘｙ．由图１显然有　Ｓ正ＡＢＣＤ＋Ｓ正ＢＥＦＪ≥Ｓ矩ＡＨＰＤ＋Ｓ矩ＨＥＦＫ,即　　　ｘ２＋ｙ２≥２ｘｙ（当且仅当ｘ＝ｙ时,等号成立）再证　ｘ３＋ｙ３＋ｚ３≥３ｘｙｚ（ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ＋,当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ时,等号成立）证明　如图２,设三个正方体ＶＡＢ、ＶＣＤ、ＶＥＦ…     

一种新的二次曲线系方程及其应用

确定一个二次曲线：Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０一般需五个独立条件,因此,经过四点的二次曲线一般情况下有无数条,它们组成一个二次曲线系;本文以定理形式介绍一种新的二次曲线系,并举例说明其应用,并以此引伸出一种新的解题方法;１．定理的证明定理　若直线ＡＢ的方程为Ｆ１（ｘ,ｙ）＝０;直线ＢＣ的方程为Ｆ２（ｘ,ｙ）＝０;直线ＣＤ的方程为Ｆ３（ｘ,ｙ）＝０;直线ＤＡ的方程为Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０;则方程Ｆ１（ｘ,ｙ）·Ｆ３（ｘ,ｙ）＋λＦ２（ｘ,ｙ）·Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０表示过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的…     

有关线段成比例问题的两种模型

在平面几何中,合理添加辅助线,构造恰当模型,往往成为顺利解题的关键,而在证明有关线段成比例的定理中,常用的有两个,下面用模型表示：图１１°　若ＤＥ∥ＢＣ,则ＤＡＡＣ＝ＥＡＡＢ,△ＤＡＥ∽△ＣＡＢ．２°　若ＤＥ∥ＢＣ,则ＡＤＡＢ＝ＡＥＡＣ,ＡＤＤＢ＝ＡＥＥＣ,△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．我们不妨把１°的模型叫Ｘ型,２°的模型叫Ａ型,这两种模型在证明有关线段成比例的问题上,能帮助我们快速、有效地作出辅助线．下面结合一道命题对此作出阐述．命题　过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任意作一条直线,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于Ｆ、Ｅ…     

切线的性质和判定

一、启发提问图７－４６１．如图７－４６,圆心到直线ｌ的距离就是半径ＯＡ,由上节知识可知直线ｌ与⊙Ｏ,这里的直线ｌ有两个限制条件,它们是,．２．圆的切线垂直于经过切点的．３．切线性质定理的两个推论的题设和结论分别是什么？４．切线的性质定理及其两个推论的题设和结论有什么关系？二、例题示范例１　已知：如图７－４７,点Ｃ是⊙Ｏ的ＡＢ的中点,ＣＤ∥ＡＢ．求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线．分析　要证ＣＤ是⊙Ｏ的切线,根据判定定理只需要连结ＯＣ,证明ＯＣ⊥ＣＤ即可;用垂径定理由已知条件可知ＯＣ⊥ＡＢ,而ＡＢ∥ＣＤ,因此…     

三角形内的一个不等式及其推广

三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔，何琴（湖北武穴师范４３６４００）在三角形内，发现下述一个新不等式：命题１Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上（图ｌ）Ｄ和Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ；ＢＡＤ与ＡＥ分别与ＢＰ交于Ｆ、Ｇ，则证明整理得Ｓ２△ＡＢＰ≥９Ｓ２△ＡＦＧ...