勾股三角形的内(傍)切圆的性质(续完)

事实上,2r=a+b-c只需证明a+b-c是偶数即可.当a,b,c,全为偶数时,a+b-c仍为偶数;当a,b,c中有两为奇数时,则由奇数与偶数之和是奇数,两奇数与奇数之差为偶数,得出     

奇偶性分析

用奇偶数性质解题的方法,叫奇偶性分析。本文将先列举奇偶数的性质,然后用实例来说明它们在解题中的妙用。1.奇数≠偶数.2.奇数 奇数＝偶数;偶数 偶数=偶数.3.奇数十偶数＝奇数.     

利用实数的性质解竞赛题

本刊89年第二期“利用有理数≠无理数解题”,可以看作是“利用奇数≠偶数解题”的拓广.除此而外,还可利用实数的其它性质(比如整数≠既约分数;a~2<0与a相似文献   

杨辉三角形的一个简单应用

杨辉三角形的形状如右图所示其结构为每一行的第一个“元素”和最后一个“元素”均为1.其它“元素”是它“肩上”两“元素”之和。众所周知,由杨辉三角形不难推出著名的二项式定理;     

楊輝三角形的推广

笔者偶然翻阅一本英文书《数学发现》第1卷(G.Polya著,Mathematical discovery,vol.1;1962),看到书中提起三项式系数和莱布尼茲的调和三角形,两者性质均与杨辉三角形十分类似。从三项式系数使我们想到可以进一步推广到四项式系数、五项式系数等等。由于它们本身还可能有一些实用价值,所以笔者结合个人体会,将它们作一简单介绍。有关事实都不难推证,所以多半述而不证。 (一) 三项式系数杨辉三角形可以由如下两条规则完全确定(参考图1): 1.边界条件:每一行开始和结尾的数都是1。 2.递推法则:内部的每个数都等于肩上的两个数的和。杨辉三角形第n+1行的各数顺次等于(1+x)~n展开式按升冪或降冪排列时各项的系数。     

整数剩余类在高中数学中的应用举隅

整数剩余类就是把全体整数去被m(m∈N )除,然后按余数(0,1,2,…,m-1)将整数分为m类,且每个整数属于且仅属于其中的一类.例如,当m=2时,整数分为两类:余数为0称偶数,余数为1称奇数;当m=3时,整数分为三类,可记为{3k},{3k 1},{3k 2}(k∈Z)等.整数剩余类在高中数学中应用较为广泛,利     

某些对角方程在有限域上的解数

主要运用Gauss和以及Jacobi和的相关性质给出两类对角方程在有限域上的解数公式,分别是形如s∑(i=1) a_ix_i~(m_i)=c的对角方程,其中a_i,c∈F_q~2~*,(m_i,m_j)=1,m_i|(q+1),m_i为奇数或(q+1)/(m_i)为偶数,i=1,2,…,s,以及形如s∑(i=1) x_i~m=c的对角方程,其中c∈F_q~*,m|(q+1),m为奇数或(q+1)/m为偶数.     

二项式系数奇偶性的判定准则

判定准则Cnm(m≤n)的奇偶性取决于m和n-m的二进制表达式中是否存在位于同一数位上的两个数码都是1,如果存在,Cmn是偶数,否则Cnm就是奇数.证m=0时,Cnm=C0n=1总是奇数,判定准则显然成立.m=1时,Cnm=C1n=n,若n是奇数,则n-m=n-1是偶数,其二进制表达式的末位是0;若n是偶数,则n-m=n-1是奇数,其二进制表达式的末位是1,判定准则亦成立.可见,m=0或1时,判定准则对任意正整数n都成立.由于Cnm=Cnn-m,因此下面只需在m≥2且n-m≥2的前提下证明判定准则.以下对n使用数学归纳法证明判定准则.n=1时,m=0或1,前面已经证明判定准则成立.假设判定准则对n-1(≥1…     

观察归纳是一种重要的数学能力--从2006年一道湖北高考试题谈起

在刚刚落下帷幕的2006年高考中,湖北省一些重点中学的理科考生仍对其中的二三道试题叫苦叫难,这里面就包括第15题:将杨辉三角形中的每一个数Crn都换成分图1数1(n 1)Crn,就得到一个如图1所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可看出1(n 1)Crn 1(n 1)Cxn=1nCnr-1     

数学题中的2020

<正>1.是否存在正整数x、y,使x²+y2+y²=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)2=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)²+(2m+1)2+(2m+1)²=2020,展开得4k2=2020,展开得4k²+4k+4m2+4k+4m²+4m=2018,于是有2k2+4m=2018,于是有2k²+2k+2m2+2k+2m²+2m=1009,     

弃九是个好办法

最近,我们上数学课都晕乎乎的.这是为什么呢?因为数学概念太多了,从刘老师介绍的整除、除尽,到书本上的因数倍数、质数合数、奇数偶数……我们满脑子都是各种数的名称,真担心它们会“打起来”. 不过,其中也有好玩好学的,比如“2、5、3的倍数的特征”. 凡是末尾是0、2、4、6、8的数就是2的倍数.还有,我们经常用5、10、15、20、25……这样的方式来数数,而这些数都是5的倍数.     

等差数列的两个性质

性质1若等差数列的项数为奇数,前n项和为Sn,中间项为M(n为奇数),则Sn= Mn．证明中间项为M,2M=a1 an, Sn=(a1 an)n/2=2Mn/2=Mn．推论若数列的项数为奇数,则奇数项和S奇=n奇M(n奇为奇数项项数),偶数项之和S偶=n偶M(n偶为偶数项项数)．     

多角形区域上的数值积分的龙贝算法与积分方程的分裂外推解法

本文分两部分,前一部分论述多角形区域上数值积分的龙贝方法;后一部分提供多角形区域上积分方程 Nystr(?)m 解的分裂外推方法.由于多角形总可以分成有限个三角形,故仅需要研究三角形区域上数值积分方法.设Δ是给定的三角形,考虑其上积分J=integral from Δ f(y)dy,(1)这里,y=(y_1,y_2),f(y)=f(y_1,y_2),并且下文总是用希腊字母 α,β 等表示二重指标集.为了建立(1)的求积公式,我们采用逐次加密剖分Δ,即 k 次加密是连接第 k-1 次加密剖分的诸三角形每边中点得到.由此经过 s 次加密后Δ被分成4~s 个全等三角形:Δ=sum from i=1 to 4~s Δ_i.又令Δ~h=1/(4~s)measΔ.我们来构造两种数值积分公式:类矩形公式     

观察 归纳 提升——有趣的“杨辉三角形”

2006年全国高考数学湖北卷（理15题改编）：如图1,将杨辉三角形中的每一个数Crn都换成分数1/（n＋1）Crn就得到一个如图1所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可以看出1/（n＋1）Crn＋1/（n＋1）Cxn=1/nCrn-1,     

初一数学竞赛训练题(五)

一、选择题 1.若abC>0,则|a|/a |b|/b |c|/c-|abc|/abc的值为( ) (A)2 (B)-2 (C)±2 (D)以上都不对 2.已知n是偶数,m是奇数,方程组:是整数、那么( ) (A)P、q都是偶数 (B)p、q都是奇数 (C)p是奇数,q是偶数 (D)p是偶数,q是奇数 3.设a、b都是整数。 (1)若a 5b是偶数,则a-3b也是偶数 (2)若a b能被3整除,则a、b都能被3整除     

含fuzzy系数的正项几何规划的进一步研究

本文引入了flat fuzzy数.考虑fuzzy正项几何规划其中x=(x_1,…,X_m)~T,且符号“*”表示“(?)”,“≤”,“≥”,“(?)”的汇总,C_(ik),1均为flat fuzzy数. 1.当“*”代表“(?)”时,(1)等价于     

整数的平方的一些性质

在国内外的数学竞赛题中,有一些题目的解法实际上只用到了整数的平方的某些性质,所涉及的知识是相当少的;但是,对于不习惯于利用这些性质的人,又会感到这些题目有一定的难度。本文打算通过一些例子,向中学生介绍这方面的解题方法。一、大家知道,所有的整数可以分为偶数和奇数两大类。偶数能表为2k的形式,奇数能表为2k 1的形式,这里k是整数。先看偶数的平方,由于(2k)~2=4k~2,可见任何偶数的平方能被4整除。再看奇数的平方,(2k 1)~2=4k~2 4k 1=4k~2(k 1) 1,由于k与k 1是相邻的两整数,故其中恰有一偶数,因此4k(k 1)能被     

说说平方数

<正>说起平方数(也叫正方形数),同学们都很熟悉,如1,4,9,16,…都是平方数.那么,平方数都有哪些性质呢?下面就归纳总结一下,供同学们赏析.(一)任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和.如4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15等.那么,什么是三角形数呢?可以表示为1+2+3+…+n(n为正整数)的形式的数称为三角形数,如1,3,6,10,15,…都是三角形数,     

两个完全图的乘积的树宽

本文确定了乘积图Km×Kn的树宽.我们的结果是若m和n都是偶数,且m≥n,或m是奇数而n是偶数,或m和n都是奇数且n≥m,则Km×Kn的树宽是TW(Km×Kn)=n(m+1)/2-1.这恰好是图Km×Kn的带宽.     

堆垒素数论的一些新结果

<正> (?)在1937年证明了所有充分大的奇数 N 皆可表成三素数之和,即有N=p_1+p_2+p_3,其中 p_i(i=1,2,3)为奇素数.而本文的目的在于限制 p_i(i=1,2,3)的变化范围.证明了下面三个定理:定理1.°设 N 为充分大的奇数,则必有 pi(i=1,2,3)满足