两个推广问题的统一妙证

贵刊2010年3月(下)刊登了文[1].其中有如下两个推广问题:推广1 如图1,P是⊙O中的弦AB上的任意一点,过P点任作两弦CD和EF,CE、DF分别交AB于     

两个数学问题的面积证明

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一个数学问题的妙证

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蝴蝶定理的一种面积法妙证

<正>蝴蝶定理^([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文^([1])中给我们展示了一幅脍炙人口的蝴蝶定理诞生、推证、拓广、演变……的美丽画卷,让人赏心悦目、引人入胜、叹为观止,使笔者受益匪浅.经探究,本文笔者给出如下一种自然而流畅的面积法妙证.     

两个“三点共线”问题的妙证

<正>问题一^([1])如图1,已知两直线l_1与l_2不平行,A、B、C是l_1上的三点,D、E、F是l_2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.证明如图1所示,设直线KH分别交直线AE、CF于点G_1、G_2.则欲证G、H、K三点共线,     

巧用重心原理 妙证数学问题

<正>用物理方法去解答数学问题常常被人们所忽视.实际上用物理知识解答某些数学问题时,往往使复杂的数学问题变得巧妙而简洁.本文用物理中的重心原理来解答两个数学问题,供赏析.问题1^([1])已知D、E、F分别是锐角△ABC三边BC,CA,AB上的点,且AD,BE,CF相交于点P,满足AP=BP=CP=6,设PD=x,PE=y,PF=z,若xy+yz+zx=28.     

两个数学问题的简证及推广

《数学通报》2003年第12期数学问题1466是：设M=5^2001＋7^2002＋9^2003＋11^2004，求证：M能被8整除。     

面积法所证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:     

面积法巧证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:1OI-O1J=O1B-O1D.图1这是《中等数学》2006年第1期奥林匹克数学问题高中169.这里利用面积证法给出一个连初中生都能知晓的证法.证明连结D     

两个征解问题的面积解法

<正>问题1^[1]P是△ABC内的一点,射线BP、CP分别交AC、AB于点E、D,AP交DE于点G,过D、G、E分别作BC的垂线且垂足分别为K、M、N.证明:1/DK+1/EN=2/GM.证明如图1,作AT⊥BC于点T,连结DN,设DN与EK交于点Q,连结GQ,则由面积关系及平行线性质可得     

两个面积最小问题的推广

把两个有关平面图形的面积最小问题进行推广,得到较一般的情形,所求的点都是区间的中点.     

面积法证平行线分线段成比例问题

我们知道平行线分线段成比例定理:"三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等",由它可以推导出三角形相似的判定定理.现行教材人教版九年级下册并未对它证明,但只在第41页有这么一句话:"经证明(这里从略)……",究竟怎样证明,同学们颇感为难和困惑.现用面积法给予证明,以作为对教材的补充.     

面积法证题举例

<正>用面积证题的方法叫面积法.用面积法证题思路新疑、证法灵活,是证题中的巧中之巧,掌握了这个技巧,对提高解题能力大有好处,现举例说明.例1 P为△ABC内任意一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F.求证:PD/AD+PE/BE+PF/CF=1.证明作AH、PG垂直BC于H、G点,则由面积公式,得S△PBC=1/2BC·PG,S△ABC=1/2BC·AH     

面积法证题举例

用面积证题的方法叫面积法.用面积法证题思路新疑、证法灵活,是证题中的巧中之巧,掌握了这个技巧,对提高解题能力大有好处,现举例说明.     

两个数学问题的统一

《数学通报》2 0 0 3年第 5期、第 9期数学问题栏中第 1 4 35题、1 4 54题分别是 :( 1 ) a、b∈ R ,求证aa 3b bb 3a≥ 1 1( 2 ) a、b >0 ,求证aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 2将 2式的结论变形为a2a2 3b2 b2b2 3a2 ≥ 1 3观察不等式 1、3的结构特征 ,可将这两个不等式作出统一的指数推广 .推广　 n∈ N,a、b∈ R ,则　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 4证明　∵　 ( a3 n4 b3 n4) 2 - ( a3 n4) 2=b3 n2 2 a3 n4b3 n4=b3 n4( b3 n4 a3 n4 a3 n4)≥ b3 n4. 33 a3 n4. a3 n4. b3 n4=3an2 . bn4. b3 n4=3an2 bn.∴　 ( a3 n4 …     

三个“三线共点”问题的妙证

<正>直线共点问题是常见的题型之一,也是平面几何中的典型问题之一.求解直线共点的方法较多,本文笔者用"面积法"给出以下几个关于"三线共点"问题的妙证,供鉴析.问题一已知D,E,F分别是△ABC边BC,CA,AB上的点,G是EF上的点,射线CG与DF交于点H.求证:HA,BG,DE三线共点.     

一个数学奥林匹克问题的多种面积法证明

作者依据不同定理,角度不同给出了多种证明方法,为同学们拓展了思路.供有兴趣的同学借鉴.     

面积法证题一例

在某些平面几何问题的证明中,巧妙地运用面积法,能使证明过程更简洁.例(第六届北方数学奥林匹克邀请赛)如图1,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,过点P的割线与⊙O交于C、D两点,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.     

用三角法妙证欧拉不等式

本文先给出欧拉不等式:若三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,则R≥2r.现给出一种三角证法.证明　设△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,外接圆半径为R,内切圆半径为r.由正弦定理得　a=2RsinA　b=2RsinB　c=2RsinC∴S=12absinC=2R2sinAsinBsinC=12r(a b c)=Rr(sinA sinB sinC)∴2Rr=sinA sinB sinCsinAsinBsinC(1)又∵sinA sinB sinC33≥sinAsinBsinC∴1sinAsinBsinC≥27(sinA sinB sinC)3(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C中至少有2个锐角,不妨设∠C为锐角,∵sinA sinB sinC sinπ3=2sinA B2cosA-B2 2sinC π32cosC-…     

两个数学问题的统一推广

《数学通报》2003年第5期、第9期数学问题栏中第1435题、1454题分别是：