关于数学归纳法的一个问题的讨论——北京东城区高二年级数学备课纪实

(一) 数学归纳法是中学数学中的一个重要的证明方法。一个与自然数n有关的命题P(n),常常可以用数学归纳法予以证明。证明的步聚分为两步: (1) 验证当n取第一个值n_0时,命题P(n_0)成立; (2) 假设当n=k(k∈N,k≥n_0)时,命题P     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

浅议数学归纳法及教学中易出现的问题

皮亚诺公理的第 5条性质 :任意一个正整数集合 ,如果包含 1 ,并且假设包含x ,也一定包含它的后继x + 1 ,那么这个集合包含所有的正整数 .这条性质就是数学归纳法的依据 ,通常称为数学归纳法原理 .这一原理可以用数学符号来表示 :数学归纳法原理 :如果S是正整数集合N+的一个子集 ,且满足 :① 1∈S ;　　②若k∈S ,则k + 1∈S ,那么S =N+.根据数学归纳法原理 ,可以得到数学归纳法 :设 p(n)是一列与正整数有关的数学命题 ,如果满足 :①p(n)当n =n0 (n0 是使 p(n)正确的最小正整数 )时正确 ,即 p(n0 )正确 ;②在假设 p(k) (k≥n0 ,k∈N+)正…     

数学归纳法应用功能的拓广

人们通常认为 ,数学归纳法用于证明与自然数有关的命题 ,采用的是等距的“间断归纳”(第二步无限递推从n =k命题成立 ,推出n =k+1时命题成立) ,是否存在等距的(或不等距的 )“连续归纳”?一、连续归纳证不等式一例下面抛砖引玉 ,以一个不等式的证明对此作出了正面的回答 ,希望有兴趣的读者继续研究 ,探索发现“连续归纳”更多的应用 .例　证明不等式 :2 x>97x2 ,x∈ (6,+∞ )证明　 (6,+∞ ) =(6,7]∪(7,8]∪…∪ (n ,n+1 ]∪… ,x∈ (6 ,7]时 ,2 x>2 6=64,97x2 ≤ 97× 72 =63,这就证明了n =6 ,x∈[6,7)时不等式 2 x>97x2 成立 ;假设n =k时…     

从"秃顶悖论"到模糊数学

古希腊有一则"秃面悖论",用现代的逻 辑语言叙述为: 命题一 不长头发者是秃顶 命题二 比秃顶多长1根头发者仍是秃顶 一个人的头发的根数用一个自然数n表 示,对于n应用数学归纳法: n=0的人为秃顶(由命题一),假设n=k 的人为秃顶,则由命题二可得n=k+1的人     

“数学归纳法”教学中的几个问题

数学归纳法是处理一类同无穷多个自然数有关的命题 P(n)的一种重要方法,在初、高等数学中,都有着重要的地位,基本原理是:命题1 P(1)正确,且 P(k)正确=P(k+1)正确,则 P(n)(n∈N)正确.学习数学归纳法时,学生常常产生下列问题:①命题1是怎样想到的?②命题1“保险”吗?它能不     

加强命题用导数解决数列不等式

<正>例1已知f(n)=n⁽ⁿ⁺¹⁾,g(x)=(n+1)(n+1),g(x)=(n+1)ⁿ,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有xn,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有x^(x+1)>(x+1)(x+1)>(x+1)^x.即(x+1)lnx>xln(x+1),因为x≥3,lnx>0,ln(x+1)>0,     

数学归纳法应注意的几个问题及证明技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依     

数学归纳法的理论依据

我们在中学教数学归纳法时,经常碰到一些勤于思考的学生提出:“数学归纳法的理论依据是什么?”这个问题在“高等代数”中早有论述,为着爱护同学们的探索精神和求知欲望,我们以课外活动形式,作出简要的回答。一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。 1962年华罗庚教授在一次讲话中说:“简单朴素的数的性质,成为数学概念和方法的一个重要源泉。”数学归纳法是用来证明某些与自然数n有关的数学命题P(n)的重要方法,它的理论依据就必定与自然数的基本性质有关。 1889年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数系公理,揭示出自然数集Ⅳ的基本性质。 (1)1∈N。 (2)若a∈N,则有且仅有一个自然数紧跟在a后面,记为a+1。 (3)若a∈N,则A+1≠1。 (4)设x∈N,y∈N,当x+1=y+1时,x=y。     

用数学归纳法证题的一种分析方法

用数学归纳法证题的关键一步是“假设n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立”(以下把这句话记为“*”),而这一步也是最困难的一步。事实上,这一步是递推的一步。因此时有些题目,我们可以从验证命题成立的第一个自然数n=n_0出发,     

一道二项式证明题的证法研究与改造

在二项式内容中曾做到这样一题:例题证明C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1(n∈N*).1例题的证法研究本题一般常见的证明方法有3种.证明1(数学归纳法)n=1时,左边=C11=1,右边=1·21-1=1,等式成立;假设n=k(k≥1)时等式也成立,即C1k 2C2k 3C3k … kCkk=k·2k-1,则n=k 1时,C1k 1 2C2k 1     

教案一则

课题:数学归纳法的应用举例之三——解决与自然数有关的几何问题教学目的:1.使学生学会“综合运用不完全归纳法和数学归纳法来解决与自然数有关的问题”的方法,能较好地运用这一方法解决有关的几何问题。 2.培养学生观察问题、探寻规律、归纳结论的抽象概括能力和几何证明中的数学语言表述能力。教学重、难点:从n=k时命题成立到n=k 1时命题也成立的证明叙述。教学用具:投影仪和教学图片。教学过程: 一、复习导入: 请学生口述使用数学归纳法证明与自然数有关的命题的步骤,随之投影显示这一步骤。强调:(1)证明中二步缺一不可;(2)从n=     

变换形式用数学归纳法证题

用数学归纳法证题,关键在第二步,即从“n=k 时命题成立”,推出“n=k+1时命题也成立。”对于这一步骤,如果变换一下形式,则可以化繁为简.下面本人举两例谈点体会.欲证形为     

关于Minc-Sathre不等式的两个初等证明

H .Minc和L .Sathre利用Stirling公式证明了对一切自然数n ,有nn + 1 nnn ! ( 2 )　　当n =1时 ,不等式 ( 2 )显然成立 .假设当n =k(k≥ 1 )时 ,( 2 )成立 ,即( 1 + 1k) k2 >kkk ! .　　根据数学归纳法只须证明( 1 + 1k+ 1 ) (k+1) 2 >(k+ 1 ) k+1(k+ 1 ) ! .　　利用不等式( 1 + 1k + 1 ) (k+1) >( 1 + 1k) k和归纳假设 ,我们得到　 ( 1 + 1k + 1 ) (k +1) 2 >( 1 + 1k) k(k +1)=( 1 + 1k…     

(二)所有人的身高一样

命题:所有人的身高一样。用数学归纳法证明如下。 n=1时,命题显然成立. 设n=k时命题真,即对任何k个人,其身高一样。那么n=k+1时,即有k+1个人时,先将这k十1个人编号,记为A_1 A_2…,A_3,A_k+1,由归纳假设可知,A_1,A_2,…A_k-1,A_k+1这k个人身高相等,记作m,又A_2,A_3,…,A_k,A_(k+1)这k个人的身高也相等,记作m_1,显然m=m_1,即这k+1个人的身高都相等。综上所述,所有人的身高都相等。     

关于“n=k+1命题也真”的证明

数学归纳法是以归纳公理——“如果某个命题A(n):(1)当n=1时(真),(2)从假设n~(-k)此命题为真,得出n取下一个值即n=k+1     

数学问题解答

2000年5月号问题解答(解答由问题提供人给出)1251　设数列{an}满足:a1=1,且an 1=12an 49an(1)求证对任何n∈N,数4/9an2-8恒为自然数.命题背景,本题由1991年全苏数学冬令营的一道试题改编而成.证　只须用数学归纳法证明:在所述题设下,4/9an2-8和24an/(9an2-8)均为自然数.1°n=1时,结论显然成立;2°设当n=k(k∈N)时结论成立,即4/9ak2-8和24ak/(9ak2-8)均为自然数,则当n=k 1时,24ak 1/(9a2k 1-8)=24.(12ak 49ak)/[(32ak 43ak)2-8]=24(12ak 49ak)/[3ak2-43ak]2=48ak(9ak2 8)/(9ak2-8)2=[24ak/(9ak2-8)].2.[1 16/(9ak2-8)]由归纳假设,24ak/(9ak2…     

由课本问题到欧拉常数的推广

1　引子高中《代数》下册复习题六第33题是:“用数学归纳法证明:1+ 12+ 13+…+1n>n (n>1,n∈N)”.此题很容易用数学归纳法证明,证明后我们自然会反思:此题是如何发现的?如何用推导的方法证明.使用放缩思想可得方法一:1+ 12+ 13+…+ 1n>1n+ 1n+…+ 1n=n·1n=n .由裂项求和的思想可想到方法二:n =(n - n- 1) + (n- 1-n- 2 ) + (n- 2 - n- 3) +…+ (2 - 1) +(1- 0 ) =1n + n- 1+ 1n- 1+ n- 2+…+12 + 1+ 11+ 0 .而n - n- 1=1n + n- 1,所以欲证原不等式,只需证1n>1n + n- 1(n>1) ,(当n=1时,取等号) .此不等式显然成立,所以原不等式得证.2　探索…     

列表格,算两次——介绍sum from m=1 to n (m~k)的一种算法

高中数学第三册(选修Ⅱ)数学归纳法一节,要求证明下列恒等式:12 22 … n2=16n(n 1)(2n 1);13 23 … n3=14n2(n 1)2.有同学问,这类等式是如何得到的?14 24 … n4=?.一般地当k∈N 时,1k 2k … nk是否可以求得?这是一类很有趣的问题,计算方法也很多.本文介绍一种简便算法,供大家参     

开放题一例

设数列{xn}满足x1=1/2,x(n-1)=xn+x2n/n2,则x2003≤t,请把t∈(0,1200]改为一个具体的数值,越小越好,并证明你的结论. 解法一先用数学归纳法证明对任意的n∈N都有xn≤n/2 ①当n=1时,x1=1/2≤1/2, ∴①式成立.