关于σ(n)和φ(n)的一个整除式

设φ(n)表示n的欧拉函数,σ(n)表示n的所有正因子和,ω(n)表示n的不同素因子的个数.对于整除关系φ(n)|σ(n),其中n是正整数,当n为素数时只对n=2,3成立.讨论了当n至多有3个不同的素因子时,n为哪些合数时才能使该整除式成立,其中解2α(2α 2-1)(其中2α 2-1为素数,α∈N)与偶完全数2n-1(2n-1)(其中2n-1为素数且n∈N)类似.     

关于数论函数的两个结论

采用初等方法,得出了关于高斯函数和整除的两个重要结论.     

一个整除性问题

证明了若ｎ的标准分解为ｐ~α，α＞ｌ或ｐ~αｑ，则．对ｎ≤１０~７，给出了的所有合数解。     

关于一个数论函数

讨论了一个数论函数 ,给出了它的一些重要性质 ,并用初等方法给出了它的证明。     

关于整除│n│ψ（n）＋σ（n）

本文证明了：１）当合数ｎ到多只有两个不同的素因子时，ｎ│ψ（ｎ）＋σ（ｎ），２）若奇合数ｎ满足ｎ│ψ（ｎ）＋σ（ｎ），则ｎ到少有６个不同的素因子，且ｎ≥６５１５５１１５０２５，３）在区间」１０＾７２．１０＾７「中有且仅有一个ｎ，即ｎ＝１２５５８９１２，满足ｎ│ψ（ｎ）＋σ（ｎ）。     

群论的一个整除问题

设p是大于3的奇素数,证明了：如果p2+p+1整除 (3p-1)/(3-1),则p≡11 (mod 12)且p2+p+1是素数.     

关于同余式nσ(n)≡m(modφ(n))

对任给定正整数m，证明了当4トm时同余式nσ（n）≡m（modφ（n））的解数有限。     

调和级数的几个数论性质

讨论了调和级数前n项和的分子N_n的几个有趣的数论性质,并给出了几个进一步研究的问题和猜想。如果p是素数,则p|N_(p-1),p~2|N_(p-1);p>2,p是素数p|N_(p-1)。     

关于整除问题n│ψ（n）＋σ（n）

证明了当ｎ的标准分解式为ｎ＝ｐ＾α．ｑ＾β，或ｎ＝ｐ１．ｐ２．…．ｐ２时，ｎ│ψ（ｎ）＋σ（ｎ）。     

一个数论函数方程的可解性

通过广义欧拉函数和不同素因子计数函数的性质,研究来一个含有数论函数方程的可解性,给出了方程的全部正整数解.     

关于完全欧拉数

给出了形如3kp(k≥1,p为奇素数)的数为完全欧拉数的一般判别法,指出目前已知的所有判别法都是它的推论,并且发现Iannucci等人给出的6个判别法有4个是无用的.     

关于数论函数方程Ф（n）=s（n^7）

对于正整数n，设Ф（n）和s（n）分别是Euler函数和Smarandache函数，证明了：方程Ф（n）=s（n^7）仅有整数解n=1，64，72，80．     

关于二个包含素因数和函数 混合均值

本文主要利用初等方法和解析方法,利用初等及解析方法, 通过分区间讨论研究了素因数和函数 分别与本文定义的数论函数 和 的混合均值,获得了2个较强的渐近公式。     

关于Diophantione方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))的本原解

对于正整数n,设d(n),ψ(n),σ(n)分别是n的约数函数、Euler函数和约数和函数.本文证明了:当n无平方因子时,除了n=2或者n是适合n=3(mod 4)的奇素数这两种情况以外,方程xd(n)+yψ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

关于数论函数方程P(m)=P(n)

对于正整数n,设P（n）表示n的所有约数的乘积,证明了：如果正整数m和n适合P（m）=P（n）,则必有m=n。     

Landau误差项和Sitaramachandrarao猜想的研究

本文首先研究了Sitaramachandrarao猜想,然后分别改进了Sitaramachandr-arao引入的误差项E_1(x)和Landau误差项E_0(x)的算术均值和积分均值估计。     

Euler数的整除性

设p是奇素数,给出了Et≡0(modp)成立的充要条件,其中t=2[p/4],Et是第t个Euler数.特别地,当p≡5(mod8)时,Ｅｔ０（ｍｏｄｐ）.     

关于(ap+1)/(a+1)的素因数

设a是大于1的正整,p是奇素数,A(a,p)=(ap 1)/(a 1)。文章证明了:当q=2p 1是素数时,如果a 1 0(modq)且(1/q)=-1,其中(a/q)是Legendre符号,则q是A(a,p)的素因数。     

关于Makowski-Schinzel的一个猜想

设ψ(n),σ(n)分别是正整数n的Euler函数与约数和函数.证明了,如果n存在素因子p,使p2| n,则ψ(σ(n))/n＞-1/2,从而完全解决了Makowski-Schinzel的一个猜想.