四面体

四面体是最简单的多面体,它具有很多类似于三角形的性质:1.四面体都有外接球和内切球,且R≥3r,其中R为外接球半径,r为内切球半径.2.四面体的体积V=13S全·r,其中S全表示四个面的面积之和,r为内切球半径.3.若四面体的四条高分别为h1,h2,h3,h4,内切球半径为r,则1r=1h1 1h2 1h3 1h     

四面体

四面体是最简单的多面体，它具有很多类似于三角形的性质：1．四面体都有外接球和内切球，且R≥3r，其中R为外接球半径，为内切球半径．     

四面体

四面体又叫三棱锥 ,它是最简单、最基本的多面体 .四面体在立体几何中的地位就象三角形在平面几何中的地位一样 ,在数学竞赛中 ,立体几何以四面体为主要内容 .1　一般四面体由于四面体是三角形在空间的推广 ,因此 ,三角形的许多性质也都可以推广到四面体 :1 )连接四面体对棱中点的线段交于一点 ,且在这里平分这些线段 .2 )连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点Ｇ ,且这点将所在线段分成的比为 3∶1 ,Ｇ称为四面体的重心 .3)每个四面体都有外接球 ,球心Ｏ是各条棱的中垂面的交点 ,此点到各顶点距离等于球半径 .4)每个四面体都有内切…     

四面体

四面体是最基本也是最重要的一种几何体。它是三角形在空间的直接推广．四面体的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．如：连接四面体对棱中点的线段交于一点且互相平分；连接四面体任一顶点与它对面三角形重心的线段交于一点G．且这点将所在线段分成的比为3：1。这个点G称为四面体的重心；四面体都有外接球和内切球；等等．等腰四面体（对棱均相等的四面体）、直角四面体（有一组共顶点的三条棱两两互相垂直的四面体）和正四面体是三种特殊的四面体．在竞赛中经常涉及到．较复杂的多面体问题常转化为四面体问题加以解决，常用的数学思想方法有变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等．     

四面体的内接四面体的体积

若Ai'是四面体A1A2A3A4面上的点，则称四面体A1'A2'A3'A4'为内接四面体．设它们的体积分别为V、V1，则有定理1若A1'与人重合，Ai'在校A4Ai定理2若A'与A4重合，底面△A1A2A3的顶点Ai的对边上点为Ai'，且为了得出更一般的结论，我们首先引入“面积坐标”的概念．即：面积为S的△A1A2A3内一点P，它与Ai的对边构成的三角形面积为Si．记=1，2，3），则称有序实数组（a1，a2，a3）为点P关于△A1A2A3的面积坐标．定理3若A4'与人重合，A4'是Ai对面上的点（i=1，2，3），且它们关于它所在侧面三角形的面积坐标分别为A'（a2，a3，a4）…     

四面体问题

四面体即三棱维,它是最简单也是最基本的多面体.四面体在立体几何中的地位就象三角形在平面几何中的地位一样.由于四面体是三角形在空间的推广,因此,三角形的许多重要性质也都可以推广到四面体.比如:1°连接四面体对棱中点的线段交于一点,且互相平分.2°连接四面体任一顶点与它     

四面体内接四面体的一个结论

笔者在文 [1]中给出了棱在面上的内接四面体体积与原四面体体积之间一个关系 ,本文给出顶点在面上的一个非常优美的结论 .定理　四面体A BCD中 ,E ,F ,G ,H分别在棱AB ,BC ,CD ,DA上 ,且 AEEB=λ1,BFFC=λ2 ,CGGD=λ3,DHHA=λ4 .又BH∩DE =I ,BG∩DF =L ,AG∩CH=J ,AF∩CE =K .则内接四面体ILKJ的体积VILKJ= 1+λ1λ2 λ3λ4 +λ21λ22 λ23λ24 (1+λ1+λ1λ2 ) (1+λ2 +λ2 λ3) (1+λ3+λ3λ4 ) (1+λ4 +λ4 λ1) VABCD.图 1　四面体分析　如图 1,要求出内接四面体ILKJ的体积与原四面体体积的关系 ,只需计算…     

四面体的界心

文[1]中,笔者把三角形的奈格尔(Nagel)点[2]概念及性质引申推广至有棱切球的特殊四面体中.本文拟将奈格尔点概念进一步引申推广至一般四面体中.三角形的奈格尔(Nagel)点被国内作者称为三角形的界心;——这是由三角形的三条周界中线交于一点而得名(同一个三角形的界心与奈格尔点是同一点,以下统称为三角形的界心).     

直角三角形类比直角四面体

如果三角形有一个内角为直角 ,则称这个三角形为直角三角形 ;类似地 ,四面体若有一个顶点处的三个平面角都是直角 ,则称这个四面体为直角四面体 .直角三角形与直角四面体有许多性质非常相近或相似 ,本文将给以简要归纳及论证 ,以期读者从中体验平面图形与空间图形的内在联系与和谐与统一的数学美 .类比 1　在直角△ABC中 ,∠C =90°,D为C在斜边AB上的射影 ,则BC2 =BD·AB .类似地 ,在直角四面体A1 A2 A3A4中 ,点A1为直角顶点 ,记Ai 所对的面的面积为Si(i=1 ,2 ,3,4) ,O为点A1 在底面上的射影 ,则S42 =S△A2 OA3 ·S1 .证　如图…     

四面体的界心

文[1]中,笔者把三角形的奈格尔(Nagel)点[2]概念及性质引申推广至有棱切球的特殊四面体中.本文拟将奈格尔点概念进一步引申推广至一般四面体中. 三角形的奈格尔(Nagel)点被国内作者称为三角形的"界心"[3～10]——这是由三角形的三条"周界中线"交于一点而得名(同一个三角形的界心与奈格尔点是同一点,以下统称为...     

四面体的若干性质

文[1],[2]介绍了三角形的若干性质:命题1已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3.本文先给出一个简捷的证明:记PA1=λ1PA,PB1=λ2PB,PC1=λ3PC,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数.由条件知PA1 PB1 PC1=0,于是P为△A1B1C1的重心,从而S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1=31S△A1B1C1,即S△PB1C1∶SPC1A1∶S△PA1B1=1∶1∶1.而S△PB1C1S△PBC=12|PB1|·|PC1|sin∠B1PC112|PB|·|PC|sin∠BPC=λ2λ3,即SPB1C1=λ2λ3SPBC.同理有SPC1A1…     

四面体的求积公式

任何一个平面多边形总可以分割成若干个三角形,因此,由三边求积公式有可能计算任何平面多边形的面积。同样,任何一个多面体总可以分割成若干个四面体,而四面体的形状和大小由共六条棱的长度和连接顺序所确定,如果能根据四面体的六条棱长计算四面体的体积,也就可能解决了任意多面体的求积问题。本文将证明一个较易记忆的已知四面体的六棱求其体积的公式。     

四面体（高一）

四面体又叫三棱锥,它是最简单、最基本的多面体,四面体在立体几何中的地位就象三角形在平面几何中的地位一样,在数学竞赛中,立体几何以四面体为主要内容。     

四面体中的Cosnita-Turtoiu不等式

设△ABC三边上的高和内切圆半径分别为ha,hb,hc,r.则Cosnita-Turtoiu不等式[1]是:h1 rh1-r hh22- rr hh33- rr≥6①最近,文[2]给出了①的上界.即h1 rh1-r hh22- rr hh33- rr<7②本文将不等式①,②推广到三维空间的四面体.定理设四面体A1A2A3A4的内切球半径为r,过顶点Ai的高为hi     

四面体与其内接四面体体积间的一个不等关系

本文给出如下四面体与其内接四面体体积之间的一个不等关系．     

从三角形到四面体

在《直线、平面和简单几何体》学习中,老师经常通过例子教给我们如何由平面几何中的命题类比到空间去.学完本章后,老师给同学们安排了一项课题:类比——从平面到空间.所谓类比,是把具有形式或结构相似的一些事物联系起来,由已知的其中一个事物具有某种特性,进而推断另一个事物的性质.下面是我们的一点尝试.     

四面体外心坐标公式

文[1]给出了四面体的界点、界心及其坐标公式,并提出:"求四面体外心的一般坐标公式"的问题.本文解决这一问题,给出四面体外心坐标公式.     

四面体的若干性质

文[1]，[2]介绍了三角形的若干性质： 命题1 已知△ABC及其内部一点P，若λ1^→PA＋λ2^→PB＋λ3^→PC=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则S△PBC：S△PCA：S△PAB=λ1：λ2：λ3。     

四面体中的Menelaus定理

著称于世的Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理是证明三点共线和一些复杂比关系等问题的有力武器．从公元一世纪发现至今,研究者诸多,例如其证法就达数十种之多,到本世纪七十年代初就有人把定理推广到凸ｎ边形的情况,使该定理的应用更加广泛．本文的目的是想把定理引伸到三维空间的...     

四面体的一个不等式

本文证明的定理是浙江陈计与陈剑京提出的一个征解问题[1] .引理　平行四边形对角线之和不小于两组对边距离之和的 2倍 ,相等关系成立 ,当且仅当四边形是正方形 .证明　如图 1 ,平行四边形 ABCD中 ,AM⊥ BC于 M,AN⊥ CD于 N .在 MC上截取 ME =BM,连结 DM,DE,AE.则易知 AE= AB,DE =AC.在△ DBE中 ,DM是中线 ,故AC BD =DE BD≥ 2 DM =2 AM2 AD2≥ 2 AM2 AN2≥ 2 ( AM AN) .其中第一个“≥”号中 ,等号成立当且仅当 B,M,E重合 ,即∠ ABC =90°,此时 D,N也重合 ,第二个“≥”号中等号也成立 .第三“≥”…