一类二元最值问题的代数换元解法

文[1]用极坐标法求解一类二元最值问题,具有普遍性,给人一种统一美的感受.但客观地讲,对于许多二元最值问题而言,用极坐标法并非最好,而用代数换元法效果会更佳.实际上,有的代数换元往往更能触及到问题的本质,从而就比三角换元法更简捷.本文通过文[1]、文[2]中的几个例题为例介绍如下,供同学们参考.     

一类解三角形问题的又一解法

已知三角形的两边和其中一边的对角,判断三角形解的个数问题是学生学习的一个难点.对此问题,课本高一(下)P129给出了一个较难掌握的图解法,尽管文[1]也给予了详尽的归纳、指导,但依条件的不同,分类较多,判断准则各异,不太具有可操作性.于是,文[2]作者覃埋基老师独辟蹊径,借助余弦定理及二次方程知识给出了另一解法.笔者本着"三角问题三角解决"的想法,给出该类问题的再一种解法,仅供参考.     

几类(En)零解的稳定性

对于方程组零解稳定性的讨论,V.I.Arnold曾提出:如果一个矢量场是由具有固定次数、带有有理系数的多项式来给定,问是否能给出一个判定准则的算法来定出此矢量场中驻定点的稳定性。文[1]研究解决了n=2的情形。文[2]就n=3时高次奇点的稳定性给出了判据。文[3]     

由数学问题2268引发的研究

供题人柳冉同学给出的解答技巧性较强,过程曲折精彩.崔志荣老师在文[2]中从揭示问题的本质出发给出了另外一种解答,很有启发性,并在文末提出了2个猜想.黄盛清老师在文[3]中另辟蹊径,从方程的角度给出了又一个精彩解答,并在文末再次提出了能否将(1)式一般化的问题.本文首先给出一个更为直接的证明,然后将(1)式一般化,从而也证明了文[2]提出的猜想.     

一道三角问题的另解

文[1]和文[2]对一道三角问题进行了解答,文[2]还对文[1]的解答提出了质疑,指出了其中的错误.笔者阅后受益匪浅,但还是觉得其解法不够自然,不易使人想到,以下用解析法给出本题的另一解法,以飨读者.     

再谈一类解三角形的问题

对于“已知三角形的两边及其中一边对角,解斜三角形”的类型(也称为“SSA”型),文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]分别作了介绍,并就其解的个数的判定给出了各具特色的解法,可前不久我校月考中的一题却出现了言之凿凿,而结果迥异的两派,于是笔者愿意在此作进一步探讨.例题△ABC中,a=27     

求地震反演的I_1模极小化模型的解

1 引 言 在文[1]中提出了地震反演的l_1模极小化模型是: min ψ(x)=||x||1, (1.1) s.t. Ax=b,其中A∈R~(m×n),m相似文献   

对一个优美不等式的换元证法

文[1]安振平老师提出了二十六个优美不等式,其中第十九个不等式如下:问题1:若a、b、c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a---2)(3/b---2)(3/c---2)≤1.实际上,早在文[2]中安振平老师就给出了以上不等式(例12),并利用二元均值不等式给出了证明,但需要对字母的正负性加以讨论.笔者最近研究了以上不等式,发现了一个简单且不需要讨论的换元证法,现整理如下     

再谈一类解三角形的问题

对于“已知三角形的两边及其中一边对角，解斜三角形”的类型（也称为“SSA”型），文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]分别作了介绍，并就其解的个数的判定给出了各具特色的解法，可前不久我校月考中的一题却出现了言之凿凿，而结果迥异的两派，于是笔者愿意在此作进一步探讨。     

再谈一道三角题的证明

题目 已知:α,β∈0,π/2,且sinα+β=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2. 此题是1983年第17届前苏数学竞赛十年级试题,比较常见的方法是应用三角函数单调性用反证法证明,文[1]想到此题一个比较简单的直接证明,文[2]又给出了一个更加简洁的直接证明,最近,笔者通过构造法得到此题的又一个直接证明.     

待定系数法解一类条件最值题

问题设x,y是实数,且a_1x~2+b_1xy+c_1y~2=m(m≠0)时,求S=a_2x~2+b_2xy+c_2y~2的取值范围.文[1]利用构造一个一元二次方程,由判别式△≥0给出解以上齐二次问题一种通法,我们不妨称之为判别式法,此法较早见于文[2],而文[3]曾举例指出,此判别式法可能产生增解,若缺检验这一步将可能导致错误     

一道不等式题的再探究

文[1]、文[2]、文[3]、文[4]分别对该题给出了各具特色的解法,但由于这些解法所用到的知识含量以及技巧性都比较高,因此一般学生难以接受．为了寻找适合众多学生的别的解法,笔者从降低问题难度的角度人手,运用减元策略,将上述二元的问题转化为一元问题：     

一道俄罗斯高考题的另解及变式

下面是2006年莫斯科大学力学系入学考试数学试卷的压轴题： 设x和y是任意实数，求表达式｜2x—y-1｜＋｜x＋y｜＋｜y｜的最小值． 文[1]利用数形结合的思想，给出了该题的一个巧解，并在文末提出是否有更好的解法．本文将给出该题的一个简解及变式．     

四边形两个优美性质的深入探究

文[1]、[2]分别给出了圆内接四边形中有关三角形内切圆、旁切圆的两个几何恒等式,并综合运用三角、代数知识给出了证明.这两个恒等式"优美"的几何背景是什么?如何用几何方法给出它们的证明?笔者对此作了进一步探究,得到了圆内接四边形一个非常优美的几何性质,由此很容易证得文[1]与文[2]中的有关性质.     

分析转化出新知

文 [1 ]中提出了一个有趣的几何问题 :如图 1 ,Rt△ ABC中 ,∠ C =90°,CD⊥AB,O1、O2 分别是△ ACD和△ BCD的内心 ,O1O2 交 CD于 K,证明1AC 1BC=1CK ( 1 )本题的条件和结论相距较远 ,初看起来 ,是一个几何“险题”.所以 ,文 [1 ]用的是解析方法证明的 ;文 [2 ]用的是几何与三角综合证法 .文 [3]虽然说是用“纯几何方法”,但是它用了文 [2 ]的中间结果 ,所以并不能说是“纯几何”的 .图 1　　　　　　　　　图 2有没有更简洁、更漂亮的“纯几何”证明呢 ?我们来作如下分析 ,将它不断转化 ,以求用纯几何的方法证明 .1 .将 ( 1 …     

一道无理函数最值题的两个数学解法

文[1]作者对此题多方探索未得到数学解法,最后借助于物理知识求解,文[2]则利用一引理给出其纯数学解法,本文从不同的新角度给出此题的两个纯数学解法．     

不用三角代换行吗?

文[1]通过8个例题说明三角代换在解决某些代数问题中的应用,笔者读后,深受启发,同时,笔者又想,这8个例题不用三角代换解行吗?笔者经过研究获得成功,限于篇幅,在此只给出其中几例,供读者参考。     

简解一道美国数学月刊征解题

问题设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊征解题,贵刊文[1]给出一个三角代换的解法,求解过程中还运用到导数的知识,运算繁杂难度较大,不易掌握.文[2]给出一个     

不用三角代换行吗？

文[1]通过8个例题说明三角代换在解决某些代数问题中的应用，笔者读后。深受启发．同时。笔者又想，这8个例题不用三角代换解行吗？笔者经过研究获得成功．限于篇幅，在此只给出其中几例，供读者参考．     

代数换元法在解三角问题中的应用

<正>在某种三角问题中,把一个三角式用一个字母代换,这种变换称代数换元,通过代数换元可把一个复杂的三角题转化一个简单的代数题,使问题的解答化繁为简,化难为易.现举几例加以说明.一、求值例1已知sin³α+cos3α+cos³α=1,求sinα+cosα的值.