类比推理的难因分析及教学策略

1引言类比推理与归纳推理都属于合情推理,是新课程新增内容之一.这一内容的增加,旨在引导学生运用常用的推理方法去猜测、探索一些数学结论,有利于创新意识的培养.类比推理的关键在于理解类比的方法,感受数学发现的过程,而不必追求对概念的抽象表述或类比结论的正确性.首先是要有联想,能类比.因为类比推理不是证明,不要求类比结论一定正确,结论错误当属正常.教学重点不是获得正确的结论,而是能使学生会产生联想,主动进行类比,这是第一位的.当然,我们往     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

由“平方差公式”引发的联想与探究

<正>对于同学们来说,能否"从一个问题出发,进行联想与探究"是很重要的,这其中表现的是同学们发现问题、提出问题和解决问题的能力.我们学习乘法公式时首先学习的是平方差公式,学习了它以后,我们从平方差公式出发,如何进行联想与探究呢?一、联想平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2.由此怎样联想呢?不能"乱想、瞎想".我们就它     

一道平面几何题在圆锥曲线中的探究

1一道平面几何题的演变在梯形ABCD中,AB∥CD,E为BC上一点,且AB=BE,CE=CD.求证:以AD为直径的圆过点E.此题证明简单,兹不赘述.通过此题我们发现,由条件AB=BE,CE=CD可联想到抛物线的定义,这就提示我们可以将结论转化为抛物线的性质.     

谈谈一道数学竞赛题的教育价值

一道好的数学竞赛题,往往蕴藏着丰富的内涵,如果我们能充分挖掘其中的潜能,那将会大大提高其教育价值,下面本人仅以一道竞赛题为例谈一下自己粗浅的看法。命题1:如图1.设AM是△ABC边BC上的中线,任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N,求证:AB/APAM/AV、AC/AQ成等差数列(1978年辽宁省中学数学竞赛复赛题)。围绕着这道竞赛题,可以从以下几个方面展示其教育价值。一、变换视角,增强联想思维能力。视角一,我们先考察命题1结论的整体特征,AB/AP、AM/AN、AC/AQ成等差数列,即AM/AN=1/2(AB/AP AC/AQ),再联想到几何量成等差数列的有什么定理?容易想到梯形中位线定理。因此,要创造出现梯形的条件,那么,梯形位置应在何处?由特征式等AM/AN=1/2(AB/AP AC/AQ)得到启示,     

对"再谈梯形与不等式"一文的看法

文[1]中,作者对构造一个特殊梯形,直观地解释一组著名不等式,这种创造性的研究精神值得数学爱好者学习.笔者仔细研读,觉得文[1]构造梯形以及求特殊线段的过程较繁琐,并且分一个梯形为两个相似梯形的线段MN是怎样得到的没有讲清楚,只是表达了该线段的客观存在性.笔者发现一个更好的方法去构造这个梯形,也容易求出相应的特殊线段,现提出来供大家交流.     

一道源于课本习题的中考试题探究

一、试题探源义务教育课程标准实验教科书人教版八年级数学下册P119页练习中第2题是:图1如图1,四边形AB-CD由三个全等的等边三角形组成,它是一个等腰梯形吗?为什么?由题设条件不难判断四边形ABCD为等腰梯形.反思求解过程,可发现此梯形由题设条件有AB=CD=AD,BC=2AD.即梯形的上底与两腰相等,下底等于上底的两倍,且下底角等于60°.     

一道华杯赛试题引出的梯形的性质

<正>本文从一道华杯赛的题目出发,将平行四边形上的一个结论推广到梯形上,并在此基础上探究梯形的相关性质,得到了梯形的三个有趣的性质,希望对学一知三,创新思考,提升能力起到示范作用.1问题及其解法(第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题)在平行四边形ABCD的边上任取一点N,过N作平行于对角线AC,BD的直线,分     

定比分点坐标公式引出的几个结论

有向线段Ｐ1Ｐ2 的定比分点坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ =ｙ1 λｙ21 λ (λ≠ - 1) ,这是一个结构整齐、对称、富于数学美的公式 .该公式是点分线段得到的 ,若用线段分面 ,用面分体会有什么结论呢 ?笔者就λ >0的情况进行了一些探索得到如下几个结论 .结论 1　梯形上、下底边长分别为ａ ,ｂ ,平行于底边的线段长为ｘ ,此线段把梯形的高自上而下分成ｍ∶ｎ两段 ,记λ =ｍ∶ｎ ,则ｘ =ａ λｂ1 λ .图 1　梯形证　如图 1,设梯形ＡＥＦＤ的高为ｈ ,梯形ＥＢＣＦ的高为ｈ2 ,作ＤＱ∥ＡＢ交ＥＦ ,ＢＣ于点Ｐ ,Ｑ ,作ＦＧ∥ＡＢ交ＢＣ于点Ｇ …     

等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

再谈梯形与不等式

文[1]中,笔者曾构造了一个特殊梯形,直观地解释了一个著名不等式,在对这个梯形的继续研究中,发现如果让和底边垂直的腰长等于上下底的和,通过计算特殊线段的长度,同样可以直观地解释这组著名不等式.     

一道传统试题的研究及引申

今天,老师在引导我们研究一道传统试题后,又让我们发现了这一试题的两个引申,现介绍如下,供同学们学习时参考."梯形"练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,对角线AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).     

直角梯形的最优分割

文 [1 ]将上海市一个数学竞赛题推广 ,讨论了下述问题 .图 1问题 1　有一直棱柱形容器 ,棱柱底面是直角梯形ＡＢＣＤ ,尺寸如图 1 ,侧棱长ｌ,内有体积Ｖ=ｋα2 ｌ的液体 ,今将容器一条侧棱平放桌面上 ,如何放置液体表面积最小 (设容器是封闭的 ,液体不含溢出 ) ?设液面与梯形ＡＢＣＤ的交线是ＰＱ ,则梯形在ＰＱ下方部分的面积Ｓ=ｋａ2 ,液体表面积是ＰＱ·ｌ,要使表面积最小 ,即ＰＱ最短 ,由此引入下述问题问题 2　直角梯形ＡＢＣＤ尺寸如图 1 ,其面积是 32 ａ2 .设 0 <ｋ<32 ,Ｐ ,Ｑ是梯形边界上两点 ,线段ＰＱ分梯形为两部分 ,其中一部分…     

再谈由“平方差公式”引发的联想与思考

<正>联想是一种思维方式,联想是由此及彼的思考.在文[1]中,谈到了如何从平方差公式出发进行联想与探究,这里再谈由平方差公式引发的联想与探究.一、再联想在文[1]中,已谈到,从平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2左式可以联想到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4……;并得到它们的展开式的各项系数可排列成"杨     

刚性Volterra泛函微分方程梯形方法的B-理论

最近,李寿佛建立了刚性Volterra泛函微分方程Runge_Kutta方法和一般线性方法的B-理论,其中代数稳定是数值方法B-稳定与B-收敛的首要条件,但梯形方法表示成Runge—Kutta方法的形式或一般线性方法的形式都不是代数稳定的,因此上述理论不适用于梯形方法.本文从另一途径出发,证明求解刚性Volterra泛函微分方程的梯形方法是B-稳定且2阶最佳B-收敛的,最后的数值试验验证了所获理论的正确性.     

直角梯形问题举例

近几年来的中考数学考题中出现了许多与直角梯形有关的题目,这些题目设计新颖,创新独特,令人注目.现举几例,供参考.一、动点问题例1 如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=7,BC=3,AD=2,     

在证题中启发学生联想一例

一个数学问题的解决,要根据联想到的概念、公式、定理等有关知识,选择入手方法,并进行分析、推理等。因此,在教学过程中培养学生的联想能力是提高解题能力的一个重要方面。本文就重点中学高中代数第二册复习参考题二B组的第27题证明中如何启发学生从不同角度进行联想,谈点粗浅体会。题目:利用等比数列{a_n}的前n项和的公式证明 a~n a~(n-1)b a~(n-2)b~2 … b~n =a~(n 1)-b~(n 1)/a-b这里n是自然数,a、b是不为零的常数,且a≠b。一、启发学生联想已知定义和公式。遇到一个证题,首先要联想到条件和结论     

从结论与条件的联系进行观察联想——学会观察联想之一

一个科学工作者 ,要想在事业上有所发现、有所发明、有所创造、有所贡献 ,就必需具备敏锐的观察能力和丰富的联想能力 .一个学生分析问题解答问题能力的强与弱 ,往往取决于他的观察联想能力的强与弱 .俗语说 ,万事起头难 .就解题来说 ,难就难在从观察联想中迅速找到解题途径 .要想具备这种能力 ,必须经过较长期的自觉的锻炼和积累 .我们将从几个方面进行介绍 .本文先从问题的结论与条件的联系谈起 .一些题目 ,其结论与条件存在着内在的联系 ,经过审题观察发现了这种联系 ,又能联想到所学过的定义、定理、公式和法则以及一些范例的解法 ,就可…     

初二几何第二学期期中自测题

A组一、填空题 (每小题 4分 ,共 40分 )1 .多边形每一个内角都等于 1 3 5° ,则它是边形 ,一个多边形的每一个外角都等于 60°,则它是边形 .2 . ABCD的周长为 2 0cm ,AB =6cm ,则BC =cm ;当∠B =3 0°时 ,AD ,BC的距离AE =cm .3 .对角线互相平分且相等的四边形是 ,对角相等的四边形是 ;4.菱形的周长为 1 6cm ,两个相邻的角的度数比为1∶2 ,其对角线长为cm和cm .5 .等腰梯形一个钝角的度数为 1 2 5°,则其余三个角的度数分别为 ,,.6.一个等腰梯形中位线长为 8,高为 4,其底角为3 0° ,则此等腰梯形的周长为 .7.如图 1 ,点D ,E分别是A…     

发现数学

数学,是一门规律性极强的学科,在学习过程中,虽然,我们不一定会得到重大的数学成果.但我们可以在不断的总结和思索中发现规律,得到乐趣.下面,给大家介绍我由平常习题得到的两个结论:习题1求Cnm 3Cnm 1 3Cnm 2 Cnm 3的值.Cnm 3Cnm 1 2Cnm 2 Cnm 3=(Cnm Cnm 1) 2(Cnm 1 Cnm 2) (C