Alcuni problemi relativi alle formule di quadratura del tipo di tchebycheff

In this paper we study quadrature formulas of the form $$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x)^a (1 + x)^\beta f(x)dx = \sum\limits_{i = 0}^{r - 1} {[A_i f^{(i)} ( - 1) + B_i f^{(i)} (1)] + K_n (\alpha ,\beta ;r)\sum\limits_{i = 1}^n {f(x_{n,i} ),} } } $$ (α>?1, β>?1), with realA _i ,B _i ,K _n and real nodesx _n,i in (?1,1), valid for prolynomials of degree ≤2n+2r?1. In the first part we prove that there is validity for polynomials exactly of degree2n+2r?1 if and only if α=β=?1/2 andr=0 orr=1. In the second part we consider the problem of the existence of the formula $$\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - x^2 )^{\lambda - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} f(x)dx = A_n f( - 1) + B_n f(1) + C\sum\limits_{i = 1}^n {f(x_{n,i} )} }$$ for polynomials of degree ≤n+2. Some numerical results are given when λ=1/2.     

Sul problema di tchebyschev per formule di quadratura alle derivate dell'integrando

The authors establish a necessary and sufficient condition to effectively construct a quadrature formula type (2.1)₁ ((2.1)₂) with the property (2.2). Once this is verified, they assign-in the case g>2(n−1)—a simple expression for the integral of the relative Peano's Kernel. The authors consider the case m=1 and demonstrate, under this hypothesis, that (2.1)₂, with property (2.2), is effectively constructable for each weight function (1.1) and each even choice of the non negative integer r. Finally, the authors determine the quadrature formulae (2.1)₁ and (2.1)₂, if W(x)=1, in the case r=1 and r=2.      

Studio del resto di formule di quadratura mediante l'esame del segno della funzione d'influenza

Sommario Si sa che le proprietà del resto nelle formule di quadatura dipendono essenzialmente dalla struttura della funzione d'influenza. Pertanto, in questo lavoro, si è introdotta una nuova tecnica che permette di riconoscere casi, parzialmente noti, in cui la funzione d'influenza è a segno costante e, di conseguenza, il resto assume la formaE=k.f ^(N+1) (ξ).

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Summary We know that the properties of the remainder in the quadrature formulae depend essentially from the structure of the influence's function. Therefore, in this work we have introduced a new technique that let us study partially well-known cases, in which the influence's function is of constant sign and, consequently, the remainder assumes the form:E=k.f ^(N+1) (ξ).

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Lavoro svolto nell'ambito delle attività del G.N.A.F.A. e dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo.     

Sulla convergenza delle formule di quadratura del tipo Gauss-Lobatto per il calcolo di integrali singolari V.P.

Sommario L’autore considera formule di quadratura del tipo Gauss-Lobatto per il calcolo di integrali a valor principale secondo Cauchy rispetto ad un peso generalizzato regolare di Jacobi. Vengono dimostrati teoremi di convergenza e stabilite alcune stime dell’errore. Si generalizzano e migliorano, inoltre, precedenti risultati.

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The author considers Gauss-Lobatto rules for evaluating of Cauchy singular integrals with respect to a generalized smooth Jacobi weight. Convergence theorems are given, and some estimates of the remainder are established. The previous results are generalized and improved.

     

Sulle formule di quadratura di Tschebyscheff

For the Tschebyscheff quadrature formula: $$\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - x^2 } \right)^{\lambda - 1/2} f(x) dx} = K_n \sum\limits_{k = 1}^n {f(x_{n,k} )} + R_n (f), \lambda > 0$$ it is shown that the degre,N, of exactness is bounded by: $$N \leqslant C(\lambda )n^{1/(2\lambda + 1)} $$ whereC(λ) is a convenient function of λ. For λ=1 the complete solution of Tschebyscheff's problem is given.     

Su alcune possibili estensioni delle formule di quadratura gaussiane

The concept of «extended gaussian quadrature rules» is considered for rules of type (1.1) and new rules of type (2.2) are obtained. The number of nodes and the order of derivation are increased, and the choice of the new nodes and weights is made in order to have the maximum polynomial order for the rules.     

Formule di quadratura di tipo gaussiano con valori delle derivate dell'integrando

The coefficientsA _hi (m,s) and the nodesx _i (m,s) for Gaussian-type quadrature formulae

$$\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx = \mathop \sum \limits_{h = 0}^{2s} \mathop \sum \limits_{i = 1}^m } A_{hi} \cdot f^{(h)} (x_i )$$     

Valutazione dell'errore per una formula di quadratura alla Tchebycheff di tipo chiuso

In this paper we study the remainder term of a quadrature formula of the form $$\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx = A_n \left[ {f( - 1) + f(1)} \right] + C_n \sum\limits_{i = 1}^n {f(x_{n,i} ) + R_n \left[ f \right],} } $$ , withx _x,i ∈^-1,1, andR _n [f]=0 whenf(x) is a polynomial of degree ≤n+3 ifn is even, or ≤n+2 ifn is odd. Such a formula exists only forn=1(1)11. It is shown that, iff(x)∈ ^C(h+1) [-1,1], (h=n+3 orn+2), thenR _n [f]=f ^h+1 (τ)·± _n . The values α _n are given.     

Un metodo per il calcolo dei nodi e dei pesi delle formule di quadratura di Gauss-Hermite

Sommario In questo lavoro viene presentato un metodo estremamente veloce per il calcolo dei nodi e dei pesi associati nelle formule di quadratura di Gauss-Hermite: tale metodo utilizza matrici facilmente deducibili dalla matrice tridiagonale che può essere associata ad ogni polinomio di Hermite. Sono riportati anche alcuni tempi di esecuzione e risultati numerici.

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We propose a fast method for the calculation of the abscissas and the weights of the Gauss-Hermite quadrature formulas. Such method utilizes matrices easily deducible from the tridiagonal matrix which can be associated with every Hermite polynomials. We relate also some execution's times and numerical results.

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Presentato al Convegno U.M.I. 1975, Cagliari     

Formule di quadratura «chiuse» di tipo gaussiano: Tabulzione dei nodi e dei coefficienti

The coefficientsA _hi and the nodesx _mi for «closed” Gaussian-type quadrature formulae $$\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx = \sum\limits_{h = 0}^{2_8 } {\sum\limits_{i = 0}^{m + 1} {A_{hi} f^{(h)} (x_{mi} ) + R\left[ {f(x)} \right]} } } $$ withx _m0 =?1,x _{m, m+1} =1 andR[f(x)]=0 iff(x) is a polinomial of degree at most2m(s+1)+2(2s+1)?1, have been tabulated for the cases: $$\left\{ \begin{gathered} s = 1,2 \hfill \\ m = 2,3,4,5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ .     

Formule ottimali di integrazione numerica del tipo predittore-correttore

Riassunto In questo lavoro si prende in considerazione la definizione di stabilità per le formule di integrazione approssimata a passo multiplo, per la quale è stata adottata da Wilf e da altri autori la denominazione distabilità assoluta e si dà una analoga definizione per le formule del tipo a coppie predittore-correttore. Inoltre, facendo uso di un criterio di stabilità applicato da Wilf per la ricerca di formule ottimali del tipo correttore, si indica un procedimento per la determinazione di comppie ottimali predittore-correttore che, nella pratica del calcolo, sono preferite all'uso iterato di un solo correttore.

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Wilf's definition of absolute stability for corrector methods in the numerical integration of differential equations is modified to apply to couples of predictor-corrector formulae. An optimal predictor-corrector formula is indicated.

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Gli esperimenti numerici e la rappresentazione grafica dei risultati sono stati eseguiti in collaborazione con la dottoressa L. Manacorda Galletti che qui colgo l'occasione di ringraziare. La ricerca si è svolta nell'ambito del gruppo di ricerca n. 22 del Comitato per la Matematica del C. N. R.     

Rappresentazione e valutazione del resto nelle formule di integrazione numerica generalizzate

In previous articles we proved that the truncation errorE(f) of a quadrature formula over the interval [a,b] is always expressible in the form $$E(f) = \lambda _1 f^{(m + 1)} (\xi _1 ) - \lambda _2 f^{(m + 1)} (\xi _2 )$$ withf∈C ^m+1 [a,b], λ ₁ #x03BB; ₂ known positive constants, ξ₁, ξ_{1 2}∈]a,b[ generally unknown,m precision degree. Further we gave a similar representation, obviously more complicated, for the truncation error of integration formulas over multidimensional intervals. Developing logically the above mentioned researches, here we consider composite integration rules; as a matter of fact it is possible, not only to extend the preceding results, but also to find characteristic asymptotic properties of the truncation error representation, deeply related to the subdivision of the integration interval. Some numerical evaluations point out the applicability of the obtained estimations.     

Formule di quadratura con funzione di influenza di segno costante

Sommario Si espongono tre procedimenti per costruire formule di quadratura, relative ad un integrale col pesog(x)≥0, che abbiano la funzione di influenza di segno costante.

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Summary Three procedures are exposed to construct quadrature formulae, relative to an integral with a weightg(x)≥0, whose influence function doesn't change sign.

     

Stabilità massimale nei metodi di integrazione numerica del tipo predittore-correttore

Riassunto Si descrive un procedimento per la determinazione di formule massimamente stabili ak passi, del tipo a coppia predittore-correttore, per l'integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. La stabilità massimale è intesa nel senso definito da Wilf. Come esempi sono stati eseguiti i calcoli relativi ai casik=1, 2, 3.

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A procedure is described, for finding maximally-stablek-step predictor-corrector methods, for the numerical integration of ordinary differential equations. The maximal-stability is to be understood as defined by Wilf. Calculations are fully developped for the casesk=1, 2, 3.

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Lavoro svolto nell'ambito del gruppo di ricerca n. 22 del Comitato per la Matematica del C. N. R.     

Sui resti di alcune formule lineari di approssimazione

Some linear approximation formulae with very simple expressions of the remainder are given.      

Analisi di superfici di utilità mediante funzioni di tipo spine bilineare

In this paper we consider utility functions which depend on two attributes, and analize their characteristics using a model based on bilinear spline functions. Subjective utility values are taken into account and fitted by means of a bilinear spline. In this way we may obtain a piecewise bilinear surface representing utility. This representation provides us a simple method to analize risk aversion and allows to derive inference procedures about the utility function. Numerical illustrations are included.      

Sul calcolo approssimato di particolari funzioni ipergeometriche confluenti con la tecnica del «τ-method»

For linear homogeneous differential equations of orderm, with polynomial coefficients, the τ-method is described and a relative error valnation is obtained. The method is than used for the numerical approximation of particular confluent hypergeometric-functions.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Gruppo di Ricerca n⁰ 18 del C. N. R. (1969).     

Qualche contributo alla teoria delle formule di Runge-Kutta

Riassunto Utilizzando i coefficienti delle formule elementari di quadratura si ritrovauo in modo sistematico tutte le classiche formule di Runge-Kutta di ordine ≤4 e, sfruttando una opportuna transformazione suggerita da Fehlberg, si determinano anche formule di ordine superiore numericamente semplici.

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From the elementary quadrature rules the classical Rnuge-Kutta formulae of order ≤4 are derived; simple formulae of higher order are also obtained by means of a transformation suggested by Fehlberg.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca n⁰ 22 del C. N. R. (1963–64).     

Su una classe di formule espliciteA-stabili per l'integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie

Sommario Si dimostra che ogni formula lineare ak passiA-stabile definisce un metodo esplicito, in una particolare classe di metodi lineari ak passiA-stabili e a coefficienti variabili. A questa classe di metodi viene estesa la teoria della stabilità e convergenza dei metodi tradizionali a coefficienti costanti. Si applicano i risultati per ricavare alcune formule espliciteA-stabili che, impiegate insieme a opportuni correttori, danno luogo a metodi di predizione e correzioneA-stabili.

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EachA-stable lineark-step method is shown to define an explicit one in a class ofA-stable lineark-step, with variable coefficients, methods. For this class of methods an outline of stability and convergence theory is given. Application is made in derivingA-stable explicit formulae, which are useful to performA-stable predictor-corrector methods.

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Lavoro esegnito con contributo del C.N.R. nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni.