α-链对角占优矩阵与非奇异H-矩阵的判别

设A=（aij）∈Cn×n,若存在α∈（0,1）,使i∈N={1,2,…,n},｜aii｜≥Riα（A）S1i-α（A）,则称A为α-链对角占优矩阵。首先推广α-链对角占优矩阵的概念到广义α-链对角占优矩阵;利用这一概念得到了判别非奇异H-矩阵的几个判定方法,改进和推广了已有的结论。最后用数值例子说明了所给结果的优越性。     

体上一类具有幂等子块的分块矩阵的群逆

设K是一个体, Km×n表示m×n上所有K矩阵的集合.对矩阵A∈K 若存在矩阵X∈Kn×n使AXA=A,XAX=X,AX=XA,则称X为A的群逆.研究分块矩阵广义逆的表达式是矩阵广义逆理论中研究的重要问题.分块矩阵的群逆表达式在奇异微分和差分方程、马尔可夫链、迭代方法和密码学等领域有广泛应用.这里给出了体上分块矩阵[ABB0](A,B∈Kn×n,B2=B,((I-B)A)#存在)的群逆的存在性及表示形式.     

关于矩阵代数的保幂等映射

设M2是2×2全矩阵代数,又设P2为M2中全体幂等矩阵构成的子集.假设映射φ：M2→M2满足A-λB∈P2=〉φ（A）-λφ（B）∈P2.其中A,B∈M2,λ∈C.若存在可逆矩阵T∈Mn,使下式之一成立φ（A）=TAT-1,A∈M2或（A）=TAtT-1,A∈M2.     

非奇异矩阵的几个性质

设A=(aij)n×n∈Cn×n,如果存在正对角矩阵Λ使得AΛ为不可约对角占优矩阵,则称A为拟不可约对角占优矩阵。如果存在正对角矩阵Λ,使得AΛ为具非零元素链对角占优矩阵,则称A为拟具非零元素链对角占优矩阵。对拟不可约对角占优矩阵、拟具非零元素链对角占优矩阵是非奇异H-矩阵给出了严格证明,最后举例说明了结论的应用。     

循环矩阵与反循环矩阵的特征反问题

给定n个复数λ0,λ1,…,λn-1,是否存在n阶循环矩阵或反循环矩阵A,使得λ0,λ1,…,λn-1是矩阵A的特征值？本文称这类问题为循环矩阵与反循环矩阵的特征反问题,并给出了肯定的回答。     

广义Z-矩阵及M-矩阵的几个性质

给出了广义线性互补问题中常用到的广义Z-矩阵及M-矩阵的几个性质。这些性质类似于通常意义下的Z-矩阵及M-矩阵的性质。矩阵A∈R~(n×n)为一个Z-矩阵的充分必要条件是对于某矩阵P∈R~(n×n),P≥0,以及某实数a∈R,使得A=aE-P;A∈R~(n×n)为一个M-矩阵当且仅当A同时为Z-矩阵和P-矩阵;若A是一个Z-矩阵,A是一个具有正对角元的对角矩阵,则M=AA仍是一个Z-矩阵。两个Z-矩阵的和是一个Z-矩阵。对于类(m_1,…,m_n)的竖块矩阵N∈R~(m_0×n),先给出了N的代表子阵的定义,然后得到了广义Z-矩阵及M-矩阵与它们类似的几个性质及其几个等价性结论。这为更好的解广义线性互补问题奠定了一定的基础。     

2×2矩阵代数保持对合的映射

设F是特征不为2热且不为Z3的域,M2是F上的2×2矩阵代数,Γ2是包含M2全体对合元的子集,M2上的变换φ满足A-λB∈Γ2当且仅当φ（A）-λφ（B）∈Γ2,则φ的形式是（A）=εPAP-1,A∈M2,或φ（A）=εPAtP-1,A∈M2,其中P∈M2非奇异,ε∈{-1,1}.     

关于亚正定矩阵

证明了关于亚正定矩阵的两个结论：（1）n阶实正规矩阵A是亚定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值的实部均大零。（2）设A划亚正定矩阵，AB为实方阵，且（AB）′＝A′B，则AB是亚正定矩阵的充分必要条件是B的特征值全大于零。     

体上一类反三角分块矩阵群逆的注记

分块矩阵的广义逆问题在自动控制领域里有重要的作用,而反三角分块矩阵[C A B O]的群逆存在性和表达式一直是一个未解决的问题.令K是体,Km×n表示K上所有m×n矩阵的集合,M=A[X+YB A B O]是K上一类分块矩阵,其中A,B,X,Y∈Kn×n.利用矩阵的分解形式,在矩阵A群逆存在,AX=XA,rank(A)=rank(AX)的条件下,得到了M群逆存在的充分必要条件以及群逆存在时的表达式.     

广义P_0-矩阵及P-矩阵的几个性质

给出了广义线性互补问题中常用到的广义P0矩阵(P矩阵)的几个性质。这些性质类似于通常的半正定矩阵及正定矩阵的性质。矩阵A∈Rn×n为一个半正定(正定)矩阵时,其对角元素是非负(正)的;具有正对角元素的对角矩阵与一个半正定矩阵(正定)的乘积仍为半正定(正定)矩阵;A∈Rn×n为一个P0(P)矩阵的充分必要条件是对任X∈Rn,X≠0,总存在X的某个分量Xi≠0,有Xi(AX)i≥0(>0);若A∈Rn×n是一个半正定矩阵,E为n阶单位矩,则存在某个t>0,使A+tE为一个正定矩阵;而两个半正定(正定)矩阵之和仍为半正定(正定)矩阵。对于类(m1,…,mn)的竖块矩阵N∈Rm0×n,先给出了N的代表子阵的定义,然后得到了广义P0(P)矩阵与它们类似的几个性质。这些性质为更好地解决广义线性互补问题奠定了一定的基础。     

二次矩阵方程X^2-2AX＋B=0的唯一解

为刻画控制理论领域涉及较多的二次矩阵方程的解,利用固定点理论和矩阵范数的相关知识,给出该类方程有解的充分必要条件和有唯一解的判定定理．得出矩阵方程r^2-2AX＋B=0（A,B,X是n×n矩阵）至少有一个解矩阵的充分条件是2n阶构造矩阵R的特征值是两两不同的．并且当｜｜A｜｜≤1,｜｜B｜｜〈1/2时,矩阵方程AX^2-2X＋B=0在闭球/B｜｜B｜｜（0）上有唯一的解．     

2×2自共轭四元数矩阵空间的保行列式加法映射

设Q是一个实四元数体，SCn（Q）是Q上n×n自共轭四元数矩阵空间，f是从SCn（Q）到其自身的映射，如果对任意的A，B∈SCn（Q），都有f（A＋B）=f（A）＋f（B），且det（f（A））=det（A），则称f是SCn（Q）上的保行列式加法映射。文中刻画n=2时SCn（Q）上的保行列式加法映射的形式。     

实数域上对称矩阵空间的保秩函数

令Sn（R）表示R上所有n×n对称矩阵所组成的空间。设f是R→R的一个函数,若f满足rankA=ranf（A）,∨A∈S×n（R）,称f为Sn（R）上的保秩函数,刻画了n≤3时Sn（R）上保秩函数的形式。     

向量范数、矩阵范数的应用——线性方程组解的误差估计的推广

本文对[1]中线性方程组解的误差估计的定理作了推广,即证明了下面的定理: 定理设1)矩阵A=(a_(ij))∈C~(n×n)的摄动矩阵为δ=(δ_(ij))∈C~(n×n),向量B=(b_1,b_2,…,b_n)~T∈C~n的摄动向量为δ~*=(δ_1,δ_2,…,δ_n)~T∈C~n; 2)||A||_a是与某向量范数||X||_a相容的算子范数; 3)A可逆,B≠(O,O,…,O)~T; 4)||A~(-1)δ||_a<1,如果X,X~*分别满足 AX=B(x δ)X~*=B δ~*=B~*     

具有负元素矩阵的Perron-Frobenius性质

利用算子理论方法结合矩阵分块技巧给出具有负元素矩阵及Perron-Frobenius性质的实矩阵的刻画,同时也讨论了该矩阵的性质。给出以下两个结果新的证明：（1）若A∈R^n×n,则下列性质等价。（ⅰ）A和A^T具有强的Perron-Frobenius性质;（ⅱ）A是最终正的;（ⅲ）A^T是最终正的。（2）若A是伪-M-矩阵,则A^-1∈PFn.     

关于乘积矩阵的广义逆

本文仅考虑复数域 C 上 m×n 矩阵 A∈C~(m×n)的广义逆 A~( ),得到了关于等式(A_1A_2)~ =A_2~ A_1~ 成立的一些充分条件。     

域上保持矩阵D-逆的线性算子

设F是至少包含5个元素的域,令Mn（F）为F上的n×n全矩阵代数。在广义逆保持的研究中,特征为2的域上的工作尚不多见,并且由于工作难度大,关于特征2的情形的工作不仅没有加法映射的结果,而且即使是线性映射也只是讨论可逆的情形,并且在基础域附加一些条件。文中刻画当chF=2且n≥m≥2时,从Mn（F）到Mm（F）保持矩阵D-逆的线性算子的形式。利用保幂等的结论证明f为从Mn（F）到Mm（F）的保持矩阵D-逆的非零线性算子当且仅当存在P∈GLn（F）,使得f（A）=PAP-1,A∈Mn（F）;或者存在P∈GLn（F）,使得f（A）=PAtP-1,A∈Mn（F）。     

非负整数集上矩阵的积和式保持问题

设R为非负整数集,用n（R）表示R上所有n×n矩阵构成的集合。令T是Mn（R）到其自身的线性变换,若丁满足per（T（X））=per（X）, X∈Mn（R）,称T为Mn（R）上保持积和式的线性变换。刻画n≥2时,Mn（R）上保。持积和式的加法满射,丰富半环上线性保持问题的成果。     

三角矩阵空间强保持秩可交换的加法满射

F是一个特征不为2的域,Tn（F）表示F上n×n三角矩阵代数,刻画了Tn（F）到自身满足rank（A1A2…Ak）=rank（Aτ（1）Aτ（2）…Aτ（k））当且仅当rank（h（A1）h（A2）…h（Ak））=rank（h（Aτ（1））h（Aτ（2））…h（Aτ（k）））的加法映射形式,其中τ∈Sk,S k是k元对称群。     

Hn矩阵的一些性质

通过给出Ｈｎ矩阵的定义,讨论了它们的一些性质。该矩阵的特征值全为零,特征多项式为≤λ＾ｎ,得到主要结果为Ｇ＝｛Ｉｎ＋λ１Ｈｎ（１）＋λ２Ｈ２（２）＋…＋λｎ－１Ｈｎ（ｎ－１）Ｖλｉ∈Ｒ,ｉ＝１,２,…,ｎ－１｝。按矩阵乘法构成一个群,并给出了在线性系统中的一些应用。