紧Riemann流形上的第一特征值估计 *

设 M 是紧Riemann流形 ,其Ricci曲率具有负下界 -R(R >0 ) ,d是M的直径 ,证明了其Laplace算子的第一特征值λ1≥π²/d² - 0.52R ,且只要R≤ 5π² /3d² ,就有λ₁≥π²/d² - R/2 .     

图的正(负)特征值平方和界的估计

图G的特征值是指该图邻接矩阵的特征值,图G的正特征值平方和用符号S⁺(G)表示.关于图的正(负)特征值平方和界的估计,[Discrete Math.,2016,339(9):2215-2223]给出一个有趣的猜想:对于连通图G有min{S^-(G),S⁺(G)}≥n-1,其中n表示图G的顶点数,S^-(G)表示图G负特征值的平方和.该猜想至今还远远没有被证明,只是对一些特殊的图类可以证明该猜想成立,如二部图、正则图、完全多部图、超能量图和杠铃图.本文主要证明了对顶点数不超过4的连通图的每个顶点作任意爆破后该猜想成立.     

Laplace算子特征值和的精细下界

该文研究了Rⁿ中Laplace算子在有界域Ω上的Dirichlet特征值和的下界.众所周知:第k个Dirichlet特征值λ_k(Ω)服从Weyl渐近公式,即λ_k(Ω)～4π²/[w_nV(Ω)]^2/nk^2/n当k→∞时,其中w_n和V(Ω)分别为是Rⁿ中n维单位球的体积和Ω的体积.根据上述公式,Pólya猜测λ_k(Ω)≥4π²/[w_nV(Ω)]^2/nk^2/n,?k∈N.这就是著名的Pólya猜想.对这一问题的研究由来已久,已有很多的工作.特别是,近几十年来最显著的成就之一是由Berezin^[4],以及李伟光和丘成桐^[3]分别独立取得的.他们部分解决了Pólya猜想,只是多了一个因子n/(n+2).后来,Melas^[7]改进...     

_n型仿射Weyl群α值5的A_2×A_(12)~2型左胞腔

描述了_n型仿射Weyl群a值为5的A_2×A_(12)²型左胞腔的个数.并计算出当n=8时,这样的左胞腔个数为8个;当n=9时,这样的左胞腔个数为35个;当n≥10时,左胞腔个数为1/(30)(n2型左胞腔的个数.并计算出当n=8时,这样的左胞腔个数为8个;当n=9时,这样的左胞腔个数为35个;当n≥10时,左胞腔个数为1/(30)(n⁵-20n5-20n⁴-155n4-155n³+7520n3+7520n²-7254n+220240)个.     

关于本原商高数的新猜想

设a,b,c是满足a=m²-n2-n²,b=2mn,c=m2,b=2mn,c=m²+n2+n²的正整数,其中m,n是适合m>n,gcd(m,n)=1,2|mn的正整数.运用初等数论方法讨论了方程c2的正整数,其中m,n是适合m>n,gcd(m,n)=1,2|mn的正整数.运用初等数论方法讨论了方程c^x+bx+b^y=ay=a^z的正整数解(x,y,z).证明(m,n)≡(0,1),(0,5),(1,2),(2,3),(3,4),(4,1),(4,5),(5,6),(6,7)或(7,0)(mod8)时,方程无解.上述结果部分地解决了有关本原商高数的一个新猜想.     

带比例关系的实带状矩阵特征值反问题

研究了通过矩阵A的顺序主子矩阵A_((k))=(aij)_(i,j=1)^(n-k+1)的特征值{λ_i(n-k+1)的特征值{λ_i^((k)))}_(i=1)((k)))}_(i=1)^(n-k+1)k=1,2,…,r+1来构造一个带比例关系的实带状矩阵的特征值反问题.对当特征值{λ_i(n-k+1)k=1,2,…,r+1来构造一个带比例关系的实带状矩阵的特征值反问题.对当特征值{λ_i^((k))}_(i=1)((k))}_(i=1)^(n-k+1)中有多重特征值出现时,应当如何来构造这类矩阵进行了讨论,并给出了问题的具体算法及数值例子.     

从直角三角形到直角四面体的类比

<正>类比是一位伟大的引路人,她可以帮助我们提出新的问题,作出新的发现.下面我们运用类比对高中数学选修2—2人教A版课本P₈₃例3作进一步的探究.课本P₈₃例3类比直角三角形的勾股定理c²=a²+b²提出猜想:在直角四面体中有S²= S₁²+S₂²+S₃²,即斜面面积的平方等于三个直角面面积的平方和,但是课本并未给出证明,现证明如下:     

关于Pell方程组x2-(m2-1)y2=z2-(n2-1)y2=1

设m,n,L为正整数,本文证明了:如果mε,ε∈(0,1),且m>(123789LL(1/2))⁽1/(1-ε)),或j>10.25×10¹²log⁴(2(L+1)(123789LL(1/2))⁽1/(1-ε))),Pell方程组x²-(m2-1)y²=z²-(n²-1)y²=1的正整数解满足1≤k≤δL²,这里δ∈[1/2(123787LL(1/2))⁽1/(ε-1)),1],以及■且j=k=1或k+2≤j<1/3(5-2ε)k,2|(j+k),k>3/(1-ε),并改进了文[Proc.Amer.Math.Soc.,2015,143(11):4685-4693]的结果.     

我为高考设计题目

题342在数列{a_n}中,若对任意的n∈N^*,都有a_n≤M(实常数)成立,且对任意的aa,则称数列{a_n}具有性质P(M).(1)设等比数列{b_n}(n∈N^*)的前n项和为Tn,若b_3²+b_4=0,b²-2b_3=0;证明:数列{T_n}具有性质P(2);(2)数列{a_n}的前n项和S_n满足:nS_m+n-(m+n)S_n+3(m+n)mn=0(m,n∈N^*);若数列{S_n}具有性质P(884),求a_1的取值集合.     

华林—哥德巴赫问题:1个立方与9个四次方

设N为充分大的整数.本文证明了对于不超过N且满足某些必要同余条件的正整数n除至多O(N^17/18+ε)之外均可以表示为p₁³+p₂⁴+p₃⁴+p₄⁴+p₅⁴+p₆⁴+p₇⁴+p₈⁴+p₉⁴+p₁₀⁴的形式,其中p₁,p₂,…,p₁₀为素数.     

含参数拟线性薛定谔方程的特征值问题

本文考虑如下拟线性薛定谔方程:-Δu+(κu)/2△u²=λ|u|^p-2u,x∈Ω,这里u∈H(Ω),20,N≥3且Ω是有界区域.结合变分方法和摄动讨论,作者证明了存在常数κ₀> 0,使得对任何的κ∈(0,κ₀),这类特征值问题有解(λ,u).特别地,如果限制|u|_p^p=α,作者发现对任何的κ> 0,存在α₀> 0,使得在α <α₀时,该特征值问题的解总是存在的.此外,作者采用不同于Morse迭代的方法构造出了常数κ₀和α₀的精确表达式.     

余弦定理的一种变式及应用

<正>大家知道,余弦定理是:在△ABC中,a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a²=(b+c)2=(b+c)²-2bc(1+cos A).b2-2bc(1+cos A).b²=(c+a)2=(c+a)²-2ca(1+cosB).c2-2ca(1+cosB).c²=(a+b)2=(a+b)²-2ab(1+cosC).由观察知这三个式子有以下的列功能.(1)把已知三角形两边和与积及夹角,可迅速求第三边,为解题奠定基础;(2)已知等式中有两数和与两数积,因此它们可以与韦达定理建立联系;     

Toeplitz算子的特征值和特征向量

记L²为单位圆周T上的Lebesgue平方可积函数全体.定义Hardy空间H²是L²中的解析多项式所张成的闭子空间.对于复平面中的单位开圆盘D中的任一点z,函数K_z(w)=1/(1-zw)是H²中的再生核函数.对任意的f∈■,众所周知T_fK_z=f(z)K_z,即K_z是T_f的属于特征值f(z)的特征向量.反过来,若存在z∈D(或对每一个z∈D),使得K_z是T_f的特征向量,是否必有f∈■针对这些问题,本文给出了以再生核K_z为特征向量的Toeplitz算子以及有界线性算子的完全刻画,还给出了以所有的f(z)(z∈D)为特征值的Toeplitz算子的部分刻画.     

平行四边形的一个性质

<正>一、性质如图1, P为■ABCE所在平面上任一点,记PA=a,PB=b,PC=c,PD=d,AB=s,BC=t,BD=m,则m²-(s2-(s²+t2+t²)=(b2)=(b²+d2+d²)-(a2)-(a²+c2+c²).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m2).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m²+n2+n²=a2=a²+c2+c²+2bd.证明如图3,以BD为半径作⊙B,以CD为半径作⊙C,⊙B与⊙C的另一交点为D′,直线AD与⊙B、⊙C的另一交点分别为E、F.连结DD′、ED′、FD′,易知BC⊥DD′(连     

任意阶Laplace算子的特征值估计

设D为n维Euclid空间Rn的一个有界区域,且0＜λ1≤λ2≤…≤λk≤…是l阶Laplace算子的Dirichlet问题{(-△)lu=λu, 在D中,u=(e)u/(e)n=…=(e)l-1u/(e)nl-1=0,在(e)D上的特征值.得到了该问题用其前k个特征值来估计第(k+1)个特征值λk+1的不等式k∑i=1(λk+1-λi)≤1/n(4l(n+2l-2)]1/2{k∑i=1(λk+1-λi)1/2λil-1/lk∑i=1(λk+1-λi)1/2λi1/l}1/2,此不等式不依赖于区域D.对l≥3,上述不等式比所有已知的结果都要好.陈庆民与杨洪苍考虑了l=2的情形.我们的结果是他们结果的自然推广.当l=1时,我们的不等式蕴含杨洪苍不等式的弱形式.文中还给出了陈和杨的一个断言的直接证明.     

数值积分对特征值有限元外推的影响

§1.引言在分片一致三角形剖分下,用线性有限元法解特征值问题求得近似特征值λ、λ~(h/2).[1]证明了对λ~h.λ~(h/2)作外推可提高收敛阶:     

黎曼猜想下一个素数k次幂及四个素数3次幂的华林-哥德巴赫问题

令k≥1是一个整数.在黎曼猜想成立的条件下,本文给出了n=p₁^k+p₂³+p₃³+p₃⁴+p₅³平均表法个数的一个合适的渐近公式,其中p₁,p₂,p₃,p₄,p₅都是素数,推广了之前的结果.     

Engle群上次Laplace算子的特征值不等式（英文）

Engel群是次黎曼几何中的一类重要的单连通幂零李群.本文研究了Engel群E=(R⁴,■,{δ_λ})的有界区域Ω上次Laplace算子△_E的狄利克雷特征值问题■其中v是边界?Ω的单位外法向量场.我们建立了该问题的一些万有特征值不等式.     

丢番图方程(m2+1)x+(cm2-1)y=(am)z

设m,a,c均是大于1的正整数.当am≡1(mod 4)或am≡3(mod 8),3■m或2■a,2|m,3■m时,得到了丢番图方程(m²+1)^x+(cm²-1)^y=(am)^z,1+c=a²,m≥2只有正整数解(x,y,z)=(1,1,2).特别地,当a≡1,3,5 (mod 8),a≠3或a≡7 (mod 8),a≡2(mod 3)时,方程2^x+(a²-2)^y=(a)^z只有正整数解(x,y,z)=(1,1,2).     

S~(n+1)上具有三个互异常仿Blaschke特征值的超曲面

设x∶M→S⁽ⁿ⁺¹⁾是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面.在S(n+1)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面.在S⁽ⁿ⁺¹⁾的Mbius变换群下浸入x的四个基本不变量是:Mbius度量g;Mbius第二基本形式B;Mbius形式φ和Blaschke张量A.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Mbius不变量,其中λ是常数.D称为浸入x的仿Blaschke张量,仿Blaschke张量的特征值称为浸入x的仿Blaschke特征值.如果φ=0,对某常数λ,仿Blaschke特征值为常数,那么超曲面x∶M→S(n+1)的Mbius变换群下浸入x的四个基本不变量是:Mbius度量g;Mbius第二基本形式B;Mbius形式φ和Blaschke张量A.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Mbius不变量,其中λ是常数.D称为浸入x的仿Blaschke张量,仿Blaschke张量的特征值称为浸入x的仿Blaschke特征值.如果φ=0,对某常数λ,仿Blaschke特征值为常数,那么超曲面x∶M→S⁽ⁿ⁺¹⁾称为仿Blaschke等参超曲面.本文对具有三个互异仿Blaschke特征值(其中有一个重数为1)的仿Blaschke等参超曲面进行了分类.