两个代数不等式及应用

定理 1　对于 x ,y ,a ,b∈R ,则有　 (x -a) 2 + ( y -b) 2≥ (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2 ( 1 )等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 .证　将 ( 1 )左端减去右端得(x -a) 2 + ( y -b) 2 - (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2=- 2 (ax +by) + 2 (x2 + y2 ) (a2 +b2 )≥ 0 (应用Cauchy不等式 ) .等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 ,可见式 ( 1 )成立 .定理 2　对于 xi,yi∈R ,若当n≥ 2时存在x2 + y2 ≥∑ni=1xi2 + yi2 ,则有(x -∑ni=1xi) 2 + ( y -∑ni=1yi) 2　≥ (x2 + y2 -∑ni=1xi2 + yi2 ) 2 ( 2 )等号成立当且仅当 x1y1=x2y2=… =xnyn=xy 且x…     

两个代数不等式

本文旨在建立两个新的代数不等式 ,并给出它的一个应用 .引理　若x ,y为正数 ,n为正整数 ,则 xn + yn2≥ x + y2n.证略 .定理 1　若a ,b ,c为不大于 1的正数 ,n为正整数 ,则1n1+a+ 1n 1+b+ 1n1+c≤ 3n1+ 3 abc.证　令α ,β为不大于 1的正数 ,则　 11+α+ 11+ β=2 +α + β1+α + β +αβ= 1+ 1-αβ1+α + β +αβ≤ 1+ 1-αβ1+ 2αβ+αβ= 21+αβ,∴ 1n1+α+ 1n1+ β=n 11+α+n 11+ β≤ 2n 1211+α+ 11+ β≤ 2 11+αβ=21+αβ,∴ 1n1+a+ 1n1+b+ 1n1+c+ 1n1+ 3 abc≤ 21n1+ab+ 1n1+c 3 abc≤ 4n1+ 4abc 3 abc=4n1+ 3 abc,∴　 1n1…     

两个几何不等式

设P是ΔABC内部任意一点,P至边BC,CA,AB的距离分别为r1,r2,r3,且分别交于D、E、F.令PA=R1,PB=R2,PC=R3;BC=a,CA=b,AB=c.ha,hb,hc分别表示△ABC的高,R,r,△分别表示ΔABC的外接圆半径、内切圆半径和面积;以∑,∏分别表示循环求和与循环求积.     

涉及两个单形的几何不等式及应用

建立了涉及两个n维单形的几个不等式,推广了一些重要几何不等式.     

两个优美的几何不等式

文[1]给出如下一个优美几何不等式. 已知ra,rb,rc是△ABC的分别以a,b,c为邻边的旁切圆的半径,则 ra-rb2+rb-rc2+rc-ra2≥a-b2+b-c2+c-a2. 受其启发,笔者得到了如下两个一等式.     

两个几何不等式的证明

文[1]中,胡如松先生提出了如下猜想,现予以证明.设△DEF为△ABC内接三角形(如图).并设△ABC的三内角为A,B,C;三边BC=a,CA=b,AB=c;EF=a0,FD=b0,DE=c0.分别设△ABC,△DEF,△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R,R0,R1,R2,R3;r,r0,r1,r2,r3;P,P0,P1,P2,     

对两个代数不等式的探索

文[1]给出了如下定理及猜想:定理1对于任意实数x,y,a,b有(x-a)2 (y-b)2≥(x2 y2-a2 b2)2.定理2已知x,y,xi,yi∈R(i=1,2,…,n),且x2 y2≥n∑i=1xi2 yi2,则(x-n∑i=1xi)2 (y-n∑i=1yi)2≥(x2 y2-n∑i=1xi2 yi2)2(1)猜想,已知x,y,xi,yi∈R(i=1,2,…,n),则(x-n∑i=1xi)2 (y-n∑i=1y     

两个几何不等式简证

文[1]证明了以下两个几何不等式: (1)(mb-mc)2+(mc-ma)2+(ma-mb)2≥(1)/(4)[(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2]; (2)(hb-hc)2+(hc-ha)2+(ha-hb)2≤(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2.     

涉及两个单形的几何不等式

本文建立了涉及两个单形一个几何不等式,并应用它得到单形的一些几何不等式。     

两个重要几何不等式的关系

两个重要几何不等式的关系２７２５００山东汶上实验中学周长平，宋爱民陈计、王振先生在《数学教学》１９９０年３期“数学问题”栏建立几何不等式：在ΔＡＢＣ中：该不等式外形优美、对称，但证明较难．笔者发现，它竟是著名的Ｇｅｒｒｅｔｓｅｎ不等式ｐ２≥２Ｒ２＋８...     

单形极集的两个几何不等式及其应用

本文给出关于单形极集的两个几何不等式，作为其应用，获得单形的一个构造定理和关于单形中硕的一个几何不等式。     

对两个几何不等式的再探讨

对两个几何不等式的再探讨２１３１５１江苏武进县湟里中学狄继东１９９２年，杨学技先生在文［ｌ］中首先证明了下列不等式：设ｒ１、ｒ２、ｒ３分别为西ＡＢＣ内任意一点尸到三边ａ、ｂ、ｃ的距离，则９３年初，文［２」在否定（２）式的同时，提出并证明了文［３」进一...     

一组代数不等式的几何证明

在同一个直角三角形中,斜边大于直角边是一个众所周知的事实,然而它却有许多应用,现举一例。如图一所示,以AB为直径作半圆O,作CD⊥AB,OE⊥AB,且CF⊥OD。在Rt△OEC中,CE>OE; 在Rt△COD中,OD>CD,OE为⊙O半径,CD为半弦,即OE>CD; 在Rt△FDC中,CD>DF综合起来,有     

构造几何模型证明两个三角不等式

题 1　若α、β、γ均为锐角 ,且满足ｃｏｓ2 α+ｃｏｓ2 β +ｃｏｓ2 γ=1.求证 :ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ≥ 32 .证明　如图 1,设以ａ、ｂ、ｃ为三度的长方体ＡＢＣＤ Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 的对角线ＡＣ1 与三条棱ＡＤ、ＡＢ、ＡＡ1 所成角分别为α、β、γ ,则　　ｃｔｇα=ＡＤＤＣ1=ａｂ2 +ｃ2 ,ｃｔｇβ=ＡＢＢＣ1 =ｂａ2 +ｃ2 ,　　ｃｔｇγ=ＡＡ1 Ａ1 Ｃ1=ｃａ2 +ｂ2 ,∴　ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ　 =ａ2ｂ2 +ｃ2 +ｂ2ａ2 +ｃ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2　 =ａ2 +ｂ2 +ｃ2ｂ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2 -3　 =(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) ( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　 =12 [(ｂ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｂ2 ) ]&;#183;( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　≥ 12 [(ｂ2 +ｃ2 )&;#183; 1ｂ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｃ2 )&;#183; 1ａ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｂ2 )&;#183; 1ａ...     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

两个新的三角不等式及应用

给出两个新的三角不等式，并将其应用于讨论角成等比的三角形形状。     

两个新的三角不等式及应用

给出两个新的三角不等式 ,并将其应用于讨论角成等比的三角形形状 .     

高三代数中一个不等式的几何意义

高三代数中的一个著名不等式 (ab)~(1/2)≤(a b)/2 (a≥0,b≥0)有很多几何意义,如果这些几何意义使学生能够了解,那么无論对于学习代数、几何以及了解它們彼此之間的联系,都是有好处的。現在把这个不等式的几何意义列举如下,以供教师們参考: (1)取直綫ABC,并假定 AB=a,BC=b。     

柯西不等式的两个推论及应用

在中学数学中常遇到如下一个不等式:(n∑i=1xiyi)2≤(n∑i=1xi2)·(n∑i=1yi2),其中xi,yi为任意实数,且等号成立当且仅当xi=kyi(i=1,2,…,n),这就是著名的柯西不等式.推论1已知ai(i=1,2,…,n)是正数,xi∈R(i=1,2,…n)且n∑i=1ai=1,则n∑i=1aixi2≥(n∑i=1aixi)2.证∵ai∈R (i=1