关于一类实二次域的类数与基本单位的上界

设素数P≡1(mod4),k,ε分别表示实二次域Q(p~(1/2))类数和基本单位．本文改进了类数h和基本单位ε的上界,证明了:hlogeε<1/4(p~(1/2) 6)log(2ep~(1/2)),并得到了几个重要的推论．     

借助于圓的二次方程的图解

1.假設已知化簡后的二次方程 x~2 px q=0配成完全平方: (x p/2)~2-(p~2/4-q)=0, -(x p/2)~2 (p~2/4-4)=0。用y~2表示方程的左端 y~2=(p~2/4-q)-(x p/2)~2,由此, (x p/2)~2 y~2=p~2/4-q,所得到的是一个圓的方程,其圓心为点(-p/2,0),半径为r=(p~2/4-q)~(1/p~2/4-q),此圓与Ox軸的交点的横坐标就是二次方程的根。例.图解方程 3x~2-8x-51=0,化簡后的方程是 x~2-2(2/3x)-17=0,或者 -(x-1(1/3))~2 18(7/9)=0。用y~2表示它的左端,得到一个圓的方程 (x-1(1/3)))~2 y~2=18(7/9)。圓心在点(1(1/3),0)半径等于当x=1(1/3)时的y的     

上海市1991年高三年级数学竞赛试题

第一试 (1991年4月7日,上午8:30-10:30) 本试卷共20题,每题6分,满分120分。各题只要填写最后的结果,不必写出中间过程。 1.在(1 x)~n的二项展开式中,若第9项系数与第13项系数相等,则第20项系数为_____. 2.已知集合P={(x,y)|x=sinθ cosθ,y=sin20,0∈R},Q={(x,Y)}x-y 1=0},则用列举法表示P∩Q=__ 。 3.已知p≠0 ,cos(a β)=p 1/2p~2,cos(a-β) =P-1/2p~2,则用p表示tgatgβ=__。 4.已知每项都是正数的无穷等比数列各项的和是5,首项a∈N,则公比9最小的可能值为__。 5.已知sinθ cosθ=2~(1/2),则(log1/2sinθ)(logzcosθ)的值为__。     

交点似有似无

我们来研究当正数P取何值时,圆(x-1/2p)~2 y~2=1与抛物线y~2=2px 有公共点。将两方程联立,消去y整理即方程 x~2 px 1/4p~2-1=0 (*) ∵△=p~2-4(1/4p~2-1)=4>0 所以方程(＊)恒有实根,圆与抛物线恒有公共点。然而,倘若假想p趋向正无穷大,我们知道,此时圆的大小不变,圆心将沿x轴正向移     

介绍一种求∑p~m的方法

当m为大于1的自然数时,我们求∑p~m这种数列的前n项和常常是利用已经算出的∑p(m-1)、∑p(m-2)、…、Σp、Σ1的结果来计算的。例如sum from p=1 to n(p~3)被计算为Σp~3=1/4Σ{(p+1)~4-p~4}-3/2Σp~2-Σp-1/4Σ1     

小区间中的全平方数

<正> 一个正整数n是全平方数是指:p是n的素因子,则p~2|n.Q(x)表示不超过x的全体全平方数的个数.Bateman和Grosswald[1]中证明了:     

妙证一例

例题已知正数p、q满足p~3 q~3=2,求证：p q≤2．证明∵p,q＞0,∴p~3,q~3＞0．由均值不等式p~3 1 1≥3 p~3~(1/3)=3p,q~3 1 1≥3 q~3~(1/3)=3q．两式相加得p~3 q~3 4≥3(p q)．∴6≥3(p q),从而p q≤2．     

广义超特殊p-群的自同构群Ⅲ

确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p~(2n+m),|■G|=p~m,其中n≥1,m≥2,Aut_fG是AutG中平凡地作用在Frat G上的元素形成的正规子群,则(1)当G的幂指数是p~m时,(i)如果p是奇素数,那么AutG/AutfG≌Z_((p-1)p~(m-2)),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,p)×Zp.(ii)如果p=2,那么AutG=Aut_fG(若m=2)或者AutG/AutfG≌Z_(2~(m-3))×Z_2(若m≥3),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,2)×Z_2.(2)当G的幂指数是p~(m+1)时,(i)如果p是奇素数,那么AutG=〈θ〉■Aut_fG,其中θ的阶是(p-1)p~(m-1),且Aut_f G/Inn G≌K■Sp(2n-2,p),其中K是p~(2n-1)阶超特殊p-群.(ii)如果p=2,那么AutG=〈θ_1,θ_2〉■Aut_fG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2~(m-2))×Z_2,并且Aut_fG/Inn G≌K×Sp(2n-2,2),其中K是2~(2n-1)阶初等Abel 2-群.特别地,当n=1时...     

广义超特殊p-群的自同构群(Ⅱ)

重新确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p~(2n+m),|ζG|=p~m,其中n≥1,m≥2,Aut_cG是AutG中平凡地作用在ζG上的元素形成的正规子群,则(i)若p是奇素数,则AutG=〈θ〉×Aut_cG,其中θ的阶是(p-1)p~(m-1);若p=2,则AutG=〈θ_1,θ_2〉×Aut_cG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2m-2)×Z_2.(ii)如果G的幂指数是p~m,那么Aut_cG/InnG≌Sp(2n,p).(iii)如果G的幂指数是p~(m+1),那么Aut_cG/InnG≌K×Sp(2n-2,p),其中K是p~(2n-1)阶超特殊p-群(若p是奇素数)或者初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,Aut_cG/InnG≌Z_p.     

广义拟内射模的自同态环

本文的目的,是推广[1]中定理1.22和[2]中命题1(1).我们得到:设R是环,且Q=End_R(M),其中M是广义拟内射模.那么有(1)J(Q)=Z(Q);(2)Q/J(Q)是Von Neumann正则环.     

特殊形状常系数綫性非齐次微分方程特解的求法

設 L(p)=a_0p~n+a_1p~(n-1)+…+a_(n-1)p+a_n,(1)其中a_0,a_1,…,a_n为常数;p=d/dt,p~2=d~2/dt~2,…,p~n=d~n/dt~n,則 L(p)x=f(t) (2)为常系数綫性非齐次微分方程。現在研究当f(t)为某些特殊类型的函数时,方程(2)特解的求法。 1.預备知识。     

关于具有三个不同素因子的盈不完全数（英）

设ρ是可乘算术函数,定义为对每个素数方幂p~α,ρ(p~α)=p~α-p~(α-1)+p~(α-2)-…+(-1)~α.对正整数n,若2ρ(n)=n+d,其中d是n的真因子,则称n为盈因子是d的盈不完全数.本文得到了具有三个不同素因子的所有奇盈不完全数和部分偶盈不完全数.     

关于一类中心循环的有限P-群的自同构群

确定了一类中心循环的有限p-群G的自同构群.设G=X_3(p~m)~(*n)*Z_(p~(m+r)),其中m≥1,n≥1和r≥0,并且X_3(p~m)=x,y|x~(p~m)=y~(p~m)=1,[x,y]~(p~m)=1,[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1.Aut_nG表示Aut G中平凡地作用在N上的元素形成的正规子群,其中G'≤N≤ζG,|N|=p~(m+s),0≤s≤r,则(i)如果p是一个奇素数,那么AutG/Aut_nG≌Z_(p~((m+s-1)(p-1))),Aut_nG/InnG≌Sp(2n,Z_(p~m))×Z_(p~(r-s)).(ii)如果p=2,那么AutG/Aut_nG≌H,其中H=1(当m+s=1时)或者Z_(2~(m+s-2))×Z_2(当m+s≥2时).进一步地,Aut_nG/InnG≌K×L,其中K=Sp(2n,Z_(2~m))(当r0时)或者O(2n,Z_(2~m))(当r=0时),L=Z_(2~(r-1))×Z_2(当m=1,s=0,r≥1时)或者Z_(2~(r-s)).     

轨形Gromov-Witten不变量沿光滑点的加权涨开公式

本文考虑,当一个紧辛轨形群胚(X,ω)沿着光滑点作加权涨开时,它的形如<α_1,…,α_m,[pt]>_(g,A)~X的轨形Gromov-Witten不变量的变化公式,其中[pt]∈H_(dR)~(2n)(X)是生成元,dimX=2n.我们证明了对于非零A∈H_2(|X|,Z),<α_1,…,α_m,[pt]>_(g,A)~X={_(g_1,pl(A)-e’)~xdimX=4,g≥0,∑((-1)g_1·2)/(2g_1+2)!_(g_2,pl(A)-e’)~xdimX=6,g≥0,_(g_1,pl(A)-e’)~xdimX≥8,g=0其中x是X沿一光滑点的权α=(α_1,…,α_n)的加权涨开,且α_1≥α_i,2≤i≤n.     

三次方程的一个解法

任意三次方程的解法可见一般的高等代数课本,这里我们直接利用三角函数与双曲线函数的恆等式来求解;这种方法原理很简明,计算很方便,也很实用。大家知道,实系数三次方程y~3+ay~2+by+c=0经过未知数代換y=x-a/3后,可化成不含二次项的方程 x~3+px+q=0,(1)其中 p=-a~2/3+b,q=2a~3/27-ab/3+c。当q~2/4+p~3/27<0方程(1)有三个实根;当q~2/4+p~3/27>0时有一个实根和二个共軛的复根;当q~2/4+p~3/27>0时方程(1)有重根,其根是不难求得的。现在讨论前面二种情形。     

亚纯函数的精确号函数个数与公共Borel方向总数的联系

本文我们得到了如下结果 1)设f(z)为一亚纯函数,级为ρ(0<ρ<+∞),至少有一个不恒等于无穷的精确亏函数a(z),则 p~*≤q~*,其中p~*是f(z)的精确亏函数个数,q~*是f(z)的公共Borel方向总数。 2)设f(z)一亚纯函数,级为ρ(0<ρ<+∞),则 p~*≤q0,q1,q2…,},其中,p~*如上所述,q_i是f~((4))(z)的Bord方向个数(i=0,1,2,…)。     

具有凹凸非线性项和变号位势函数拟线性椭圆系统解的多重结果

研究拟线性椭圆系统(?)的非平凡非负解或正解的多重性,这里Ω(?)R~N是具有光滑边界(?)Ω的有界域,1≤qp~*/p~*-q,其中当N≤p时,p~*=+∞,而当1相似文献   

丢番图方程X~2-(a~2+4p~(2n))Y~4=-4p~(2n)

令α,n≥1为整数,p为素数.本文证明了丢番图方程X~2-(a~2+4p~(2n))Y~4=-4p~(2n)以及X~2-(a~2+p~(2n))Y~4=-p~(2n)在一定条件下最多只有两组互素的正整数解(X,Y).     

极坐标方程求解的方法与技巧

本文就极坐标方程求解一些特征量的方法和技巧作一些探索、归纳和总结。方法一:化方程为直角坐标标准方程求解。例1 求曲线5p~2cos20 3p~2-2=0的焦距。分析:本题要求2c,但方程看不出曲线特征,也没给出任何一个特征量。若化方程为p~2=2/3 5cos0,不是极坐标方程的标准形式,难于求解。只好探索,用直角坐标标准方程求解,略解如下。解原方程化为 5p~2(2cos~20-1) 3p~2-2=0     

一类奇异拟线性(p,q)-方程组解的存在性

研究一类拟线性椭圆方程组■其中N≥3,1p≤q≤N,-∞a (N-p)/p,-∞b (N-q)/q, d∈(q,p~*)(p~*=(pN)/(N-p)若Np,p~*=∞若N≤p).函数V_1(x),V_2(x),F(u,v),f_1(x)及f_2(x)是满足适当条件的已知函数.运用山路引理和Ekeland变分原理证明了问题至少存在两个非平凡的弱解.