等腰三角形性质与判定的应用

1.复习提问师:前面我们研究了等腰三角形,请大家回顾,等腰三角形有哪些性质?生:等腰三角形的两条腰相等,两个底角相等,顶角的平分线、底边上的高、中线互相重合.师:判定一个三角形是等腰三角形的方法有哪些?生:有两条边相等或有两个角相等的三角形是等腰三角形.     

等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

趣读畸形的等腰三角形

<正>如果将等腰三角形ABC的顶角顶点A分裂为两个点,记为A1、A2,连线A1A2与底边BC交于点D,仍保持两腰A1B和A2C相等,我们不妨把所得图形称为畸形的等腰三角形,如图1所示.特别地,若点D为底边BC的中点,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的底边上的中线.若∠BA1D=∠CA2D,则称A1A2D为畸形的等腰三角形的顶角平分线.非常有趣的一个现象是等腰三角形的一些性质,也传给了畸形的等腰三角形.例如,等     

关于正多边形的一个有益性质的发现与证明

笔者用类比和对称的思想方法,发展并证明了正多边形的一个有益的性质。问题起源于等腰三角形一个熟知的性质。引理.等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和为定值,它等于腰上的高。显然,对于正三角形有定理1.正三角形的边上任一点到各边距     

等腰三角形中不确定性问题的解决

等腰三角形的边分为两类,即腰和底边,而两腰相等.等腰三角形的角也分为两类,即顶角和底角,而两底角相等.因此,很多题目以此为切入点设计了诸多不确定性因素,这给学生解题带来了诸多困扰,其中最常见的错误就是漏解.本文中主要对等腰三角形中出现不确定性因素时该如何解决进行了研究.     

九年级数学(北师大版)第一学期期中自测题

一、选择题(每小题2分,共20分)1.下列命题正确的是().A.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合B.等腰三角形只有两边相等C.等腰三角形底边上的中线上的任一点到两腰的距离相等D.有一个角为45°的等腰三角形是直角三角形2.等边三角形的高为2,则它的面积是().A.2B.4C.43D.4333.某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元.如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程应为().A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000D.200+200×3x=10004.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个…     

等腰三角形一条性质的多种证明与拓展

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点P是边BC上任意一点,     

命题的引伸

命题 1　求证 :等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和等于一腰上的高 (义教初中几何第二册 197页Ｂ组第 2题的 (1) ) .证明　如图 1,设Ｐ为底边ＢＣ上任意一点 ,Ｐ到两腰的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,腰ＡＢ =ＡＣ =ａ ,腰上的高为ｈ ,连结ＡＰ ,图 1则　Ｓ△ＡＢＰ+Ｓ△ＡＣＰ=Ｓ△ＡＢＣ ,即　 12 ａｒ1 + 12 ａｒ2 =12 ａｈ .∴　ｒ1 +ｒ2 =ｈ .如果把“等腰三角形”改成“等边三角形” ,那么Ｐ点的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点” ,即有如下命题 :命题 2　已知等边△ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离分别为ｒ1 、ｒ…     

分类讨论中的“失误”

题1已知一等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形的周长分为17/2,15两部分,求此等腰三角形各边的长.     

定值问题与特解法

初中几何中常见到一种定值问题。例1 P 为等腰三角形 ABC 的底边 BC上任意一点,求证 P 到两腰距离之和 PM+PN 为定值(图1)。     

几种常见函数的性质及其应用

“函数及其图象”内容是中学数学的重要内容之一 ,它在生产实践中应用最为广泛 ,也是数学“数形结合”思想的重要体现 .因而学习本内容的关键是掌握利用几何图形研究代数问题的方法 .为了帮助大家对本内容的学习 ,下面就此内容作系统归纳并精选出一些例题 ,供大家参考 .一、函数概念函数 :设在某变化过程中有两个变量x ,y ,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值 ,y都有唯一确定的值与它对应 ,那么就说y是x的函数 ,x叫自变量 .根据函数的含义 ,需使自变量的每一个值都有确定的函数值 ,因此根据函数的解析式求自变量取值范围的原则是 :自变量的取值必须保证该式有意义 .具体要求如下表所示 :函数解析式自变量x的取值范围求法( 1 )整式 x可取任意实数( 2 )分式令分母≠ 0 ,求x的取值( 3 )偶次根式令被开方式≥ 0 ,求x即可( 4 )奇次根式x可取任意实数( 5 )幂的形式①正整数　次幂②零次幂③负整数　指数幂x可取任意实数令底数≠ 0 ,求x即可先化为正整数指数幂 ,令分母≠ 0　　注意的两个问题 :( 1 )当函数式同时出现以上几种形式中的若干种时 ,则必须逐一求得x的取值范围 ,再取其公共部分才是...     

求二面角的平面角的常用方法

二面角是立体几何三大角中难度最大的问题，学生往往因不能正确地作出平面角而使解题搁浅．本文通过一些典型的例题，概括总结出求二面角的平面角的十种常用方法，旨在共同提高解题能力．1应用三角形的性质利用等腰三角形的性质．当二面角是由共底边的两个等腰三角形所组成时，两等腰三角形的顶点与底边中点的连线垂直底边，所以这两条中线所成的角就是这个二面角的平面角．例1正三棱锥S—ABC的侧面与底面所成的二面角为α，相邻侧面所成的二面角为β，求证：分析在正三棱维S－ABC中，相邻两个侧面均为全等的等腰三角形，且所成的二面角…     

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…     

“共腰双等腰”模型的变形与推广

作两个等腰三角形,使其有一条公共的腰、另外两腰垂直,这样的构图方式有三种情形(_六个图形),这些图形不仅底边有特殊的位置关系,图形之间也有巧妙的关联.在“共腰双等腰”前提下,将“另外两腰垂直”的条件变成“另外两腰相交”,还可以得到与角有关的新的数量关系.     

数学问题2042的错解分析及修正

《数学通报》2012年第3期第2042号数学问题为: 四面体的四个面都为全等的等腰三角形,求等腰三角形底角的范围. 原解答首先作四面体S-ABC(如上图),四面均为全等的等腰三角形,其中底边SA、BC长为a、底角为θ,取BC的中点M,连接AM、SM.过S作SO⊥面ABC,垂足为O.易证O在AM上.这是原文讨论的一个基本出发点,也是导致原解答出错误的根本原因.     

等腰三角形实现极值原理

大量的几何极值问题,往往归结到考虑三角形的有关几何量的极值问题。而在许许多多三角形的极值命题中,我们发现一个很有趣又非常重要的规律,即等腰三角形实现极值的规律。具体说,如果讨论的几何量是三角形的底边、顶角、面积、周长、底边上的高以及两腰之和这六种,那么,在定底边或定顶角的条件下,只要另五个量再固定一个,其余四个量的极值都是在等腰的情形实现。我们这里所列举的命题比上面讲的等腰三角形实现极值原理更加     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.(1)解方程■(2)如果a,b,c满足a²+2b²+2c²-2ab-2bc-6c+9=0,那么2021a-2022b+2023c=______.(湖北省麻城市中馆驿中心学校(中驿镇中)(438304)明国华)2．设有大中小3个等腰三角形,它们的底边长相等,腰长成等差,而且底边长就是这个差,分别以各边为一边作正方形,9个正方形的面积之和为2023,这样的3个等腰三角形是否存在?     

易出错的几个小问题

“一着不慎,全盘皆输”.在解数学的综合题中,有这么几个小问题常常使同学们一不留神便“掉进陷阱”,前功尽弃.问题一已知x的取值范围,求1/x的取值范围.[例1]已知-2相似文献   

分类讨论思想在初中数学解题中的应用——以等腰三角形为例

等腰三角形在初中数学学习中占据十分重要的地位,常常与多个问题相关联,性质灵活多样,且顶点、角、腰和底边之间都存在极强的不确定因素.鉴于此,必须要融入分类讨论思想,引导学生在讨论中避免漏解的现象,真正提升学生的解题正确率.本论文就以此切入,结合常见考试题目,对分类讨论思想的具体应用进行了详细地探究,具备极强的参考价值.     

新题征展(128)

A 题组新编 1.已知定义在R上的函数,f(x)=x3(ax-3),其中a为常数. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值; (2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围; (3)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.