一道女子奥赛题的多种证法

<正>如图1,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,延长O1A交⊙O2于点C,延长O2A交⊙O1于点D,过点B作BE∥O2A交⊙O1于点E,若DE∥O1A,求证:DC⊥CO2.这是2014年中国女子数学奥赛第一题,笔者从多角度来添设辅助线证明本题,供同学们参考.证法一如图1,分别连接DB、O1O2、AB,延长EB交⊙O2于H,连接AH.∵∠ABH=∠EDA=∠O1AO2=∠DAB,     

一道联赛试题的解法探讨

<正>题目如图1,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.这是2012年全国初中数学联合竞赛第二试(B)第二题,是一道内涵丰富、不落俗套、颇具启发性的好题,本文就此题的解法作以下探讨.1.试题原证回放如图2,连接OA、OB、OC.因为AD⊥OP,OA⊥AP,     

一道几何题的别证与变式

图1文[1][2][3]中都有如下一道几何题:如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=12∠A,求证:BE=CF.文[2]中用共角定理给出证明,方法简洁、巧妙,文[3]中利用三角法结合正弦定理证明线段相等.这两种方法难度都较大,本文拟给出两种学生容易接受的常规证法并证明两个变式.图2证法1如图2,过点B作BG∥CE,过点C作CG∥BE,BG、CG相交于点G,连结GF,则∠4=∠2=∠1=12∠A,∠ACG=180°-∠A,四边形BGCE是平行四边形,∴CG=BE,∵∠FBG+∠FCG=∠1+∠4+∠ACG=12∠A+12∠A+180°-∠A=180°,     

一道2022年全国高中数学联赛平面几何题的证法研究

从代数运算与几何综合推理两个视角研究2022年全国高中数学联赛A卷平面几何试题的证法.     

一道联赛题的多种证法

2014年广西高中数学联赛第10题为：如图1,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,△ABC的内切圆分别与边BC、CA切于G、F,求证：DE、GF的交点在∠ABC的角平分线上.标准答案给出的证明较为复杂,下面提供几个简单的证法.证法一如图2,设DE、GF的交点为H,K为边AB与圆的切点,连接AH并延长交BC于W.∵DE∥BC,BD=DA,∴AH=HW.     

一道加拿大奥赛题的证明思路及方法

<正>1998年加拿大数学奥林匹克竞赛的第4题为:如图1,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,D和E分别是边AC和AB上的点,使得∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是直线BD和CE的交点.证明:直线AF和直线BC垂直.     

对一道高考平面几何题演变过程的研究

<正>探究"动态几何图形在变化中的不变性"是平面几何研究中的重点问题,通过对这类问题的研究,不仅有助于学生更深地理解平面几何图形的本质,发现演变规律,更有利于学生掌握探索数学问题发展的思维方法.下面就结合对一道高考平面几何题演变研究的全过程,与读者一起分享这种思维方法.一、原高考题的证明及说明     

接天莲叶无穷碧——一道联赛题的推广及演化

<正>"接天莲叶无穷碧,映日荷花别样红",这是诗人杨万里对西湖美景的绝妙咏叹.其实,这种奇美、绚烂的景象,在数学竞赛问题中并不鲜见.下面是1999年全国高中数学联赛中的一道题.     

2000年全国高中数学联赛平面几何题的三种证法

2000年全国高中数学联合竞赛加试的第一题是一道平面几何题：     

从“密克圆问题”的证明谈起

1　 2 0 0 0年 1 2月 2 0日 ,江泽民主席在澳门回归一周年庆典之后 ,下午 3点 1 0分到濠江中学参观 .他对在场的教师们说 :“我也曾在中学教过书 ,与你们是同行 ,教师的职业是非常高尚的 .”他兴致勃勃地给大家出了一道几何题 ,请大家解答 .他说 ,学习几何能锻炼一个人的思维 .解答数学题 ,最重要的是培养一个人的钻研精神 .教师们对江主席的话报以热烈的掌声 .江主席兴致勃勃地给大家出的一道几何题从电视新闻报道的画面上和声音中可以知道是下面的问题 .如下图 ,将任意凸五边形ＡＢＣＤＥ的边延长 ,交成五角星形ＦＧＨＫＬ .作△ＡＢＦ ,…     

陈省身杯一赛题的另解

<正>题目如图1,已知锐角△ABC满足AB>AC,O、H分别为△ABC的外心、垂心,直线BH与AC交于点B1,直线CH与AB交于点C1.若OH∥B1C1,证明:cos2B+cos2C+1=0.此题是第五届(2014年)陈省身杯全国高中数学奥林匹克第1题,这是一道不落俗套,内涵丰富,解法多样的好题.文[1]中给出了组委会所提供的参考答案,经笔者探究,再给出下面有别于参考答案的新证法.     

一道北方奥赛题的两种简证

2014年北方数学奥林匹克邀请赛第一题：已知△ABC中,∠B、∠C都是锐角,AD⊥BC,DE⊥AC,M是DE中点,AM、BE交于F,求证：若AM⊥BE,则△ABC是等腰三角形.证法一∵∠B、∠C都是锐角,故D在B、C之间,连接DF,∵DE⊥AC,AM⊥BE,     

圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论

四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题．笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理．下面列出其中几个，并给出证明．     

一道高中联赛题的另解

<正>题目如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC≠60°,过点B、C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD、CE,且满足BD=CE=BC.直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G.设CF与BD交于点M,CE与BG交于点N.证明:AM=AN.这是2014年全国高中数学联合竞赛加试的第二题.组委会提供的两种解法中,一种是多次利用角平分线性质定理得证,技巧性较强;另一种是利用余弦定理,通过计算线段长度求得.本文给出两种比较基础的证明方法,供读者参考.     

对一道竞赛题的别解与拓展

题目（2014年全国初中数学联赛试题）如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BE⊥AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,则AE=（）.（A）6^1/2/2（B）2^1/2（C）3^1/2（D）6^1/2对于这道题,组委会给出的解法是,四点共圆再结合相似从而完成求解.本文从不同的角度给出以下四种解法.     

一道几何题的多解

<正>接读贵刊2014年5月下,细读陈明儒老师的《巧用相似三角形解题》一文,收获颇丰.原文作者列举了几个较有难度的例子,很好地展示了相似三角形的使用技巧,值得学习.然而对文中的例6,原文作者用构造相似的方法给出一种解答,技巧性颇强,不易想到.我从一个初中生的角度和自身解题经验出发,综合平时数学老师传授的一些几何技巧,得到了一些更为简洁自然的证法,与大家共享.     

一道波罗的海竞赛题的简捷证法

问题1已知a,b,c>0,且abc=1,求证:a/(a2+2)+b/(b2+2)+c/(c2+2)≤1.文[1]给出了如上波罗的海数学竞赛试题的一种简单证明,只是不够简单明了,请看笔者提供的简捷证法:     

一道邀请赛题的思考

题目如图,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、N是切点,连NO并延长交DE于K,连AK并延长交BC于M.求证:M是BC的中点.该题是第六届北方数学奥林匹克邀请赛试题,设计新颖,构思巧妙,是一道内容丰富、不落俗     

巧借四点共圆妙证蝴蝶定理

蝴蝶定理确实是一道有意思的经典题,它曾使一代代的几何爱好者着迷,追逐纯几何证法更是爱好者的目标．笔者巧借四点共圆妙证蝴蝶定理,得出两种纯几何新证供同行们参考．